中考数学高频考点剖析专题11 统计与概率之统计问题解析卷.docx

中考数学高频考点剖析专题11 统计与概率之统计问题解析卷.docx

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中考数学高频考点剖析专题11统计与概率之统计问题解析卷

备考2019中考数学高频考点剖析

专题十一统计与概率之统计问题

考点扫描☆聚焦中考

统计问题，是每年中考的都会涉及的问题，考查的知识点包括统计方面的基本概念、统计图的应用和统计综合问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

每年中考统计问题必有一解析题出现。

解析题主要以统计图的综合应用为主。

结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行统计问题的探讨：

（1）统计方面的基本概念；

（2）条形、折线和扇形统计图；

（3）统计问题的综合应用．

考点剖析☆典型例题

例1（2018•江苏扬州•3分）下列说法正确的是（　　）

A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2

B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查

C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分

D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃

【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定义分别分析得出答案．

【解答】解：

A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；

B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；

C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130

分，故此选项错误；

D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是7﹣（﹣2）=9℃，故此选项错误；

故选：

B．

【点评】此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把握相关定义是解题关键．

例2（2018•四川凉州•3分）一组数据：

3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（　　）

A．2，1，0.4B．2，2，0.4C．3，1，2D．2，1，0.2

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．

【解答】解：

从小到大排列此数据为：

1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为

[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．

故选：

B．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

例3（2018·山东青岛·3分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2　＜　S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）

【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．

【解答】解：

从图看出：

乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＜S乙2．

故答案为：

＜．

【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

例4（2018•株洲市）为提高公民法律意识，大力推进国家工作人员学法用法工作，今年年初某区组织本区900名教师参加“如法网”的法律知识考试，该区A学校参考教师的考试成绩绘制成如下统计图和统计表（满分100分，考试分数均为整数，其中最低分76分）

（1）求A学校参加本次考试的教师人数；

（2）若该区各学校的基本情况一致，试估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；

（3）求A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比.

【答案】

（1）45;

（2）500；（3）60%.

【解析】分析：

（1）利用表格中数据分布即可得出A学校参加本次考试的教师人数；

（2）利用A学校参加本次考试的教师人数与成绩在90.5分以下的人数，即可估计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数；

（3）利用表格中数据可得A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比．

详解：

（1）由表格中数据可得：

85.5以下10人，85.5以上35人，

则A学校参加本次考试的教师人数为45人；

（2）由表格中85.5以下10人，85.5-90.5之间有：

15人；

故计该区参考教师本次考试成绩在90.5分以下的人数为：

×900=500（人）；

（3）由表格中96.5以上8人，95.5-100.5之间有：

9人，

则96分的有1人，可得90.5-95.5之间有：

35-15-9=11（人），

则A学校参考教师本次考试成绩85.5～96.5分之间的人数占该校参考人数的百分比为：

×100%=60%．

点睛：

此题主要考查了频数分布直方图以及利用样本估计总体和统计表，正确获取正确信息是解题关键．

例5（2018年江苏省泰州市•8分）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件．投入市场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的40%．如图是这4款软件研发与维护人数的扇形统计图和利润的条形统计图．

根据以上信息，网答下列问题

（1）直接写出图中a，m的值；

（2）分别求网购与视频软件的人均利润；

（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发与维护人数，使总利润增加60万元？

如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由．

【分析】

（1）根据各类别百分比之和为1可得a的值，由游戏的利润及其所占百分比可得总利润；

（2）用网购与视频软件的利润除以其对应人数即可得；

（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，根据“调整后四个类别的利润相加=原总利润+60”列出方程，解之即可作出判断．

【解答】解：

（1）a=100﹣（10+40+30）=20，

∵软件总利润为1200÷40%=3000，

∴m=3000﹣（1200+560+280）=960；

（2）网购软件的人均利润为

=160元/人，

视频软件的人均利润

=140元/人；

（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，

根据题意，得：

1200+280+160x+140（10﹣x）=3000+60，

解得：

x=9，

即安排9人负责网购、安排1人负责视频可以使总利润增加60万元．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

考点过关☆专项突破

类型一统计相关概念

1.（2018·湖北江汉·3分）下列说法正确的是（　　）

A．了解某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查

B．数据3，5，4，1，1的中位数是4

C．数据5，3，5，4，1，1的众数是1和5

D．甲、乙两人射中环数的方差分别为s甲2=2，s乙2=3，说明乙的射击成绩比甲稳定

【分析】直接利用方差的意义以及中位数的定义和众数的定义分别分析得出答案．

【解答】解：

A.了解某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，故此选项错误；

B.数据3，5，4，1，1的中位数是：

3，故此选项错误；

C.数据5，3，5，4，1，1的众数是1和5，正确；

D.甲、乙两人射中环数的方差分别为s甲2=2，s乙2=3，说明甲的射击成绩比乙稳定．

故选：

C．

2.（2018·山东泰安·3分）某中学九年级二班六组的8名同学在一次排球垫球测试中的成绩如下（单位：

个）

3538424440474545

则这组数据的中位数、平均数分别是（　　）

A．42、42B．43、42C．43、43D．44、43

【分析】根据中位线的概念求出中位数，利用算术平均数的计算公式求出平均数．

【解答】解：

把这组数据排列顺序得：

3538404244454547，

则这组数据的中位数为：

=43，

=

（35+38+42+44+40+47+45+45）=42，

故选：

B．

【点评】本题考查的是中位数的确定、算术平均数的计算，掌握中位数的概念、算术平均数的计算公式是解题的关键．

3.（2018·广西贺州·3分）若一组数据：

1.2.x、4.5的众数为5，则这组数据的中位数是（　　）

A．1B．2C．4D．5

【解答】解：

∵数据1.2.x、4.5的众数为5，

∴x=5，

将数据从小到大重新排列为1.2.4.5.5，

所以中位数为4，

故选：

C．

4.（2018·山东潍坊·3分）某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为（　　）

年龄

19

20

21

22

24

26

人数

1

1

x

y

2

1

A．22，3B．22，4C．21，3D．21，4

【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2，再利用众数和方差的定义求解可得．

【解答】解：

∵共有10个数据，

∴x+y=5，

又该队队员年龄的中位数为21.5，即

，

∴x=3、y=2，

则这组数据的众数为21，平均数为

=22，

所以方差为

×[（19﹣22）2+（20﹣22）2+3×（21﹣22）2+2×（22﹣22）2+2×（24﹣22）2+（26﹣22）2]=4，

故选：

D．

5.（2018·广西梧州·3分）九年级一班同学根据兴趣分成A.B.C.D.E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（　　）

A．10人B．l1人C．12人D．15人

【分析】从条形统计图可看出A的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求出总人数．然后结合D所占的百分比求得D小组的人数．

【解答】解：

总人数=

=50（人）

D小组的人数=50×

=12（人）．

故选：

C．

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从上面可得到具体的值，以及用样本估计总体和扇形统计图，扇形统计图表示部分占整体的百分比．

6.（2018·云南省昆明·4分）下列判断正确的是（　　）

A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组学生的身高较整齐

B．为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为4000

C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：

比赛成绩/分

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

参赛队个数

9

8

6

4

3

则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7

D．有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件

【分析】直接利用样本容量以及方差的定义以及中位数的定义和必然事件的定义分别分析得出答案．

【解答】解：

A.甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误；

B.为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为100，故此选项错误；

C.在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：

比赛成绩/分

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

参赛队个数

9

8

6

4

3

则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.6，故此选项错误；

D.有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件，正确．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了样本容量以及方差、中位数和必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．

7.（2018•呼和浩特•3分）随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，已知前年和去的年收入分别是60000元和80000元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出的以下四个结论正确的是（　　）

A．①的收入去年和前年相同

B．③的收入所占比例前年的比去年的大

C．去年②的收入为2.8万

D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入

解：

A.前年①的收入为60000×

=19500，去年①的收入为80000×

=26000，此选项错误；

B.前年③的收入所占比例为

×100%=30%，去年③的收入所占比例为

×1005=32.5%，此选项错误；

C.去年②的收入为80000×

=28000=2.8（万元），此选项正确；

D.前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误；

故选：

C．

8.（2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）甲，乙两名跳高运动员近期20次的跳高成绩统计分析如下：

=1.70m，

=1.70m，s甲2=0.007，s乙2=0.003，则两名运动员中，　乙　的成绩更稳定．

【分析】根据方差的性质，可得答案．

【解答】解：

=1.70m，

=1.70m，s甲2=0.007，s乙2=0.003，

∵

=

，s甲2＞s乙2，

则两名运动员中，乙的成绩更稳定，

故答案为：

乙．

【点评】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

9.（2018·四川宜宾·3分）某校拟招聘一名优秀数学教师，现有甲、乙、丙三名教师入围，三名教师师笔试、面试成绩如右表所示，综合成绩按照笔试占60%、面试占40%进行计算，学校录取综合成绩得分最高者，则被录取教师的综合成绩为分　78.8分　．

教师

成绩

甲

乙

丙

笔试

80分

82分

78分

面试

76分

74分

78分

【考点】W2：

加权平均数．

【分析】根据题意先算出甲、乙、丙三人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．

【解答】解：

∵甲的综合成绩为80×60%+76×40%=78.4（分），

乙的综合成绩为82×60%+74×40%=78.8（分），

丙的综合成绩为78×60%+78×40%=78（分），

∴被录取的教师为乙，其综合成绩为78.8分，

故答案为：

78.8分．

【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按60%和40%进行计算．

10.（2018·浙江临安·3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼　20000　条．

【考点】通过样本去估计总体

【分析】捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为

，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答．

【解答】解：

1000

=20000（条）．

故答案为：

20000．

【点评】本题考查的是通过样本去估计总体．

类型二统计图的应用

1.（2018·重庆市B卷）（4.00分）某企业对一工人在五个工作日里生产零件的数量进行调查，并绘制了如图所示的折线统计图，则在这五天里该工人每天生产零件的平均数是　34　个．

【分析】根据平均数的计算解答即可．

【解答】解：

，

故答案为：

34

【点评】此题考查折线统计图，关键是根据平均数的计算解答．

2．（2018•山东菏泽•3分）据资料表明：

中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国．机器人几大关键技术领域包括：

谐波减速器、RV减速器、电焊钳、3D视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是　57.6　度．

【考点】VB：

扇形统计图．

【分析】根据圆心角=360°×百分比，计算即可；

【解答】解：

美国所对应的扇形圆心角=360°×（1﹣21%﹣32%﹣31%）=57.6°，

故答案为57.6．

【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

3．（2018•四川凉州•3分）有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是　小林　．

【分析】观察图象可得：

小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定；根据题意，一般新手的成绩不太稳定，故新手是小林．

【解答】解：

由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定，故新手是小林．

故填小林．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

4.（2018•呼和浩特•3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气（　　）

A．惊蛰B．小满C．立秋D．大寒

解：

A.惊蛰白昼时长为11.5小时，高于11小时，不符合题意；

B.小满白昼时长为14.5小时，高于11小时，不符合题意；

C.秋分白昼时长为12.2小时，高于11小时，不符合题意；

D.大寒白昼时长为9.8小时，低于11小时，符合题意，

故选：

D．

5.（2018·辽宁省葫芦岛市）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（　　）

A．众数是90分　　　　　　B．中位数是95分　　　　　　C．平均数是95分　　　　　　D．方差是15

【解答】解：

A．众数是90分，人数最多，正确；

B．中位数是90分，错误；

C．平均数是

分，错误；

D．方差是

=19，错误；

故选A．

6.（2018·云南省·4分）2017年12月8日，以“[数字工匠]玉汝于成，[数字工坊]溪达四海”为主题的2017一带一路数学科技文化节•玉溪暨第10届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国3D大赛”）总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（　　）

A．抽取的学生人数为50人

B．“非常了解”的人数占抽取的学生人数的12%

C．a=72°

D．全校“不了解”的人数估计有428人

【分析】利用图中信息一一判断即可解决问题；

【解答】解：

抽取的总人数为6+10+16+18=50（人），故A正确，

“非常了解”的人数占抽取的学生人数的

=12%，故B正确，

α=360°×

=72°，故正确，

全校“不了解”的人数估计有1300×

=468（人），故D错误，

故选：

D．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．

7.（2018·云南省昆明·7分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：

A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名购买者？

（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　108　度．

（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？

【分析】

（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；

（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；

（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．

【解答】解：

（1）56÷28%=200，

即本次一共调查了200名购买者；

（2）D方式支付的有：

200×20%=40（人），

A方式支付的有：

200﹣56﹣44﹣40=60（人），

补全的条形统计图如右图所示，

在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：

360°×

=108°，

故答案为：

108；

（3）1600×

=928（名），

答：

使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.（2018·云南省曲靖）某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．

依据以上信息解答以下问题：

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；

（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．

【解答】解：

（1）样本容量为6÷12%=50；

（2）14岁的人数为50×28%=14.16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，

则这组数据的平均数为

=14（岁），

中位数为

=14（岁），众数为15岁；

9.（2018·广西贺州·8分）某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：

时间（小时）

　频数（人数）

　频率

2≤t＜3

4

0.1

3≤t＜4

10

0.25

4≤t＜5

a

0.15

5≤t＜6

8

b

6≤t＜7

12

0.3

合计

40

1

（1）表中的a=　　，b=　　；

（2）请将频数分布直方图补全；

（3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？

【解答】解：

（1）总人数=4÷0.1=40，

∴a=40×0.15=6，b=

=0.2；

故答案为6，0.2

（2）频数分布直方图如图所示：

（3）由题意得，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×（0.15+0.2+0.3）=780名．

类型三统计方面的综合应用

1．（2018•江苏扬州•8分）江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．

最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

最喜爱的项目

人数

篮球

20

羽毛球

9

自行车

10

游泳

a

其他

b

合计

根据以上信息，请回答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是　50　，a+b　11　．

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为　72°　．

（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．

【分析】

（1）依据9÷18%，即可得到样本容量，进而得到a+b的值；

（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆