圆锥曲线大题有答案.docx
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圆锥曲线大题有答案
三、解答题
4分,第2小题满分9分.
B2
uur
FQ,求直线I的方程•
1.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第1小题满分
已知椭圆C的两个焦点分别为只(1,0)、F2(1,0),短轴的两个端点分别为B
(1)若RBB2为等边三角形,求椭圆c的方程;
ujir
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线I与椭圆C相交于P、Q两点,且F1P
22
【答案】[解]
(1)设椭圆C的方程为x2y21(ab0).
ab
a2b2421
根据题意知。
„,解得a24,b2'
a2b2133
22
故椭圆C的方程为Xy1.
41
33
2
⑵容易求得椭圆C的方程为Xy21.
2
当直线I的斜率不存在时,其方程为x1,不符合题意;
当直线I的斜率存在时,设直线I的方程为yk(x1).
设P(X1,yJ,Q(X2,y2),则
unruuiruiruur
因为F1PF1Q,所以F1PFQ0,即
2
(X11)(X21)y“2X1X2(X1X2)1k(为1)(X21)
解得k21,即k
7
所以,a2.
又由已知,c1,
所以椭圆C的离心率eC12
aV22
2X2
由知椭圆c的方程为—y1.
设点Q的坐标为(x,y).
⑵当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为ykx2.
因为M,N在直线I上,可设点M,N的坐标分别为(石,心2),(x2,kx22),则
2222
AM|(1k2)x;,AN(1
22
k)X2.
又AQ
(1
k2)x2.
AM
2
k2x
1
k2
AN
—2
X1
1
1k2X22,即
1
2
X2
X1
X2
2
XX2
2
2x1x2
2
kx
2代入
y21中,得
2k2
8kx
8k
2k2
160,得k2
由②可知x!
X2
代入①中并化简,得
8k
2k21,X1X2
18
2
10k23
因为点Q在直线y
kx
2上,所以
3
由③及k2,可知0
2
x2
;,即x
y2,代入③中并化简,得10
x
26,0
0,6
2
2
3x218.
又0,2聖5满足10
5
3x2
18,故x
由题意,Q
x,y在椭圆C内部,所以
1,
又由10y
18
3x2有
所以点Q的轨迹方程是
10y
3x2
18,其中,
1
2
2
3.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆
2
C:
x2
a
2
;21(ab0)的左、
右焦点分别是F1,F2,离心率为3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆
2
C截得的线段长为1.
(i)求椭圆C的方程;
(n)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF?
设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点
M(m,0),求m的取值范围
umvujuvujuvuuuvuuvujuvuuuvujuv
(n)由题意可知:
UJUVuUJv=UUUVuUJv,PFUuu/M=PFJuuvM,设P(xo,y0)其中x24,将向量坐标代|PF1||PM||PF2||PM||PR|IPF2I
232
入并化简得:
m(4x°16)3x012x0,因为x04,
333
所以m—x°,而Xo(2,2),所以m(—,—)
422
4.(2013年高考上海卷(理))
2
X(3分+5分+8分)如图,已知曲线G:
2
1,曲线C2:
|y||x|1,p是平面上
一点,若存在过点p的直线与g,C2都有公共点,则称p为“C1—C2型点”
(1)在正确证明G的左焦点是“c1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程
(不要求验证);
条直线,其中h交圆C2于两点,I2交椭圆G于另一点D
(1)求椭圆G的方程
2
【答案】解:
(I)由已知得到b1,且-a4a-,所以椭圆的方程是Xy-1;
4
(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在
6.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题
轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点
(1)求该椭圆的标准方程;
⑵取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点
过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准
方程.
a-0a(0,1)x(0,1),y(0,1).
C.
已知圆:
,圆:
,动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线
(i)求c的方程;
(n)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆的圆心为(1,0),半径=3.
设动圆的圆心为(,),半径为R.
(I厂•圆与圆外切且与圆内切,•••|PM|+|PN|===4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为•
(n)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=<2,•RW2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
•当圆P的半径最长时,其方程为,
当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.
当的倾斜角不为时,由MR知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),•••设:
由于圆M相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,•|AB|==.
当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,
综上,|AB|=或|AB|=.
319
【答案】解:
(1)由P(1,)在椭圆上得,221①
2a4b
依题设知a2c,则b23c2②
②代入①解得c21,a24,b23.
22
故椭圆C的方程为xy1.
43
⑵方法一:
由题意可设AB的斜率为k,
则直线AB的方程为yk(x1)③
代入椭圆方程3x24y212并整理,得(4k23)x28k2x4(k23)0,
设A(X1,y1),B(X2,y2),则有
22
8k3级第3)④
4k2
在方程③中令
x4得,M的坐标为(4,3k).
3
从而k12,k2
x1
y1
3
x21
3k3
2
41
注意到A,F,B共线,则有kkAF
kBF,即有
y1
1
y2
1
所以k1k2
3y12x11
3y2—722
x21
y1
x11
y2
x21
3(
2x11
X2
12)
x1x2(x-1x2)1
3
2k
2
x1x2
④代入⑤得
Kk22k
8k22
34(k23)8k24k234k23
4k2
2k
1
1,
又k3k
1
2,所以k1
k22kg.故存在常数2符合题意.
方法二:
设B(xo,yo)(xo
1),则直线FB的方程为:
y—y^(x1),
X。
1
令x4,求得M(4,3yo),
Xo1
从而直线PM的斜率为k3
2yoxo1
2(xo1)
yy\(x1)
联立X。
1,得a(5Xo83yo),
X2y42X05‘2X05
———1
43
则直线PA的斜率为:
匕2y02X05,直线PB的斜率为:
k2
2y0
2(X0
3
1)'
所以k1k22y—2X—5
2(X01)
2(X01)
2y03
2(X01)
2y;0;12k3,
故存在常数2符合题意•
9.(2013年广东省)已知抛物线
C的顶点为原点,其焦点F0,c
c0
到直线I:
xy20的距离为32
设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线P代PB,其中A,B为切点•
2
(I)求抛物线C的方程;
(n)当点PXo,y。
为直线I上的定点时,求直线AB的方程;
【答案】(I)依题意,设抛物线C的方程为x24cy,由
32
结合
2
0,解得c1.
所以抛物线C的方程为x24y.
(n)抛物线C的方程为x2
4y,即y
1X2,求导得y
4
设A^,%,BX2,y2(其中
2
X1
y1人,y
4
2
X2
2),则切线
4
PA,PB的斜率分别为
1
2片,2X2,
所以切线PA的方程为yy1
互xx-i,即y—X—%,即2y2y10
222
同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20
因为切线PA,PB均过点Px),y0
所以X1X02yo2y1
0,X2X02y°2y20
所以n,%,X2,y2为方程x°x
2y。
2y0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x2y
2y。
0.
10.(2013年高考北京卷(理))已知
A、
2
X
B、C是椭圆W—
2
y1上的三个点,0是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积
X2
【答案】解:
(1)椭圆Wy21的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂
4
直平分•所以可设A(1,m),代入椭圆方程得1m21,即m3.所以菱形OABC的面积是
42
11
|OB||AC|22|m|3.
22
22
11.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))已知双曲线C:
X2y21a0,b0的左、右焦
ab
点分别为片,F2,离心率为3,直线y2与C的两个交点间的距离为6.(I)求a,b;;
解:
(I)由题设知,即故•(2分)
所以的方程为•(2分)
将代入上式,求得
由题设知,解得•所以.(5分)
uuu
2FA.当点A在抛物线C上运动时,求动点P
„uuu
已知抛物线C:
y24x的焦点为F.
(1)点A、P满足AP
的轨迹方程;
uuu
【答案】⑴设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xa,ya),则AP(xXA,y『a),
uua
因为F的坐标为(1,0),所以FA(xA1,yA),
uuuuuu由AP2FA得(xXa,yyA)2(Xa1,yA).
xxA2(xA1)xA2x
即'1解得
yyA2yAyAy
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分
别为匕底仏.问:
是否存在常数,使得«+k2=k3.?
若存在求的值;若不存在,说明理由
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