七年级数学下思维探究有理数的运算有答案.docx
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七年级数学下思维探究有理数的运算有答案
七年级数学下思维探究-有理数的运算(有答案)
杨辉,中国南宋时期杰出的数学家,大约于世纪中叶至末叶生活在钱塘(今杭州)一带.他一生著作很多,著名的数学书共种卷.大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他年所著的《详解九算术》一书里记载着,他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法.
3.有理数的运算
有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.
有理数的运算不同于算术数的运算:
这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.
运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有:
利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等.
问题解决
例1
(1)已知,记,,…,,则通过计算推测的表达式________.(用含的代数式表示)
(2)若、是互为相反数,、是互为倒数,的绝对值等于,则的值是____.
试一试对于
(2),运用相关概念的特征解题.
例2已知整数、、、满足,且,那么等于().
A.B..D.
试一试解题的关键是把表示成个不同整数的积的形式.
例3计算
(1);
(2);
(3).
试一试对于
(1),设原式,将各括号反序相加;对于
(2),若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于(3),视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手,
例4在数学活动中,小明为了求的值(结果用表示),设计了如图所示的几何图形.
(1)请你用这个几何图形求的值;
(2)请你用图②,再设计一个能求的值的几何图形.
试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键.
例在,,…,前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.
分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是.代数和的最小值能是吗?
能是吗?
由于任意添“+”号或”-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.
因与的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于.
又,
所求非负代数和的最小值为.
类比
类比是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.
触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法.
例6观察下面的计算过程
.
问:
(1)从上面的解题方法中,你发现了什么?
用字母表示这一规律.
(2)“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:
。
提出问题比解决问题更重要”.
请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题.
分析与解
(1).
(2)从连续自然数到连续偶数,从个到个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:
①;
②;
③;
④.
数学冲浪
知识技能广场
1.如图,每一个小方格的面积为,则可根据面积计算得到如下算式:
________.(用表示,是正整数).2.某数学活动小组的位同学站成一列做报数游戏,规则是:
从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加,第位同学报,第位同学报,第位同学报,这样得到的个数的积为_________.
3.计算:
(1)_________.
(2)_______.
4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在堂上快速地计算出,今天我们可以将高斯的做法归纳如下:
①
②
①+②有,.
请类比以上做法,回答下列问题:
若为正整数,,则_______.
.设,在代数式,,,,,,中负数的个数是()
A.B..D.
6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:
克以内元,每增加克(不足克按克计)元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为克,则他应付邮资()元.
A.B..D.
7.为了求的值,可令,则,因此,所以.仿照上面推理计算出的值是().
A.B..D.
8.下面是按一定规律排列的一列数:
第个数:
;
第个数:
;
第个数:
;
……
第个数:
.
那么,在第个数、第个数、第个数、第个数中,最大的数是()
A.第个数B.第个数.第个数D.第个数
9.观察图形,解答问题:
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:
图①图②图③
三个角上
三个数的积
三个角上
三个数的和
积与和的商
(2)请用你发现的规律求出图④中的数和图⑤中的数.
10.观察下列等式:
第个等式:
;
第个等式:
;
第个等式:
;
第个等式:
;
……
请解答下列问题:
(1)按以上规律列出第个等式:
_______=_______;
(2)用含的代数式表示第个等式:
_______=________(为正整数);
(3)求的值.
思维方法天地
11.计算:
(1)______.
(2)_______.
(3)_________.
12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为,,的形式,又可分别表示为,,的形式,则_______.
13.已知,则________.
14.已知、、满足且,则代数式的值是______.
1.的值是()
A.B..D.
16.如果个不同的正整数、、、满足,那么等于()
A.B..D.E.
17.如果,那么的值为()
A.B..D.不确定
18.观察下列各式:
(1);
(2);
(3);
(4);
……
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是()
A.B.
.D.
19.观察下面的等式:
,;
,;
,;
,.
(1)小明归纳上面各式得出一个猜想:
“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?
为什么?
(2)请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.
20.同学们,我们曾经研究过的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为.但为时,应如何计算正方形的具体个数呢?
下面我们就一起研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道
时,我们可以这样做:
(1)观察并猜想:
,
,;
……
(2)归纳结论:
=(________)+(___________)
=________+_________
;
(3)实践应用:
通过以上探究过程,我们就可以算出当为时,正方形网格中正方形的总个数是________.
应用探究乐园
21.我国著名数学家华罗庚曾说过:
“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.
例如,求的值,其中是正整数.
对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法(首尾两头加),问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对的奇偶性进行讨论.
如果采用数形结合的方法,即用图形的性质说明数量关系的事实,那就非常的直观,现利用图形的性质求的值,方案如下:
如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为,,,…,个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有行,每行有个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为,即.
(1)仿照上述数形结合的思想方法;设计相关图形,求的值,其中是正整数.(要求:
画出图形,并利用图形作必要的推理说明)
(2)试设计另外一种图形,求的值,其中是正整数.(要求:
画出图形,并利用图形作必要的推理说明)
22.在“”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为,就称数是“可被表出的数”(如是可被表出的数,这是因为是的一种可被表出的方法).
(1)求证:
是可被表出的数,而是不可被表出的数;
(2)求可被表出的不同方法的种数.
̳
3.有理数的运算
问题解决
例1
(1)
(2)
例2D,,,,.
例3
(1)设原式,又,两式相加得,所以;
(2);
(3)原式,其中.
例4
(1)原式;
(2)略.
数学冲浪
1.2.3.
(1);
(2)
4.由,得
.B6.A7.D
8.A提示:
第个数为,把第、、、个数分别求出.
9.
(1)略
(2)图④:
,,;
图⑤:
,解得.
10.
(1);
(2);(3)原式
11.
(1);
(2);(3)
12.这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,与中有一个为,与中有一个为,可推得,.
13.14.1.B16.E
17.A18.
19.
(1)小明的猜想显然是不正确的,易举出反例,如.
(2)将第一组等式变形为,,得出如下猜想:
“若是正整数,则”.
证明:
左边右边.
20.
(1);;;
(2);;
;;;
(3).
21.原式,构造平行四边形或正方形.
22.
(1),无论怎样填“”、“”号,代数好一定是奇数,又,故是可被表出的数,而是不可被表出的数.
(2)设填“”号的数字和为,填“”号的数字和为,则,又,解得,,因,,故填“”号的数字至少有个至多有个,由此知填“”号的数之和为,只要计算出从到中选出若干个其和为的数字的不同方法,就得到可表出的不同方法,经讨论知有种.
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