高中数学竞赛预赛训练试题3.docx
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高中数学竞赛预赛训练试题3
湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)
姓名:
班级:
分数:
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算:
.设,,则集合的所有元素之和为()
A.16B.18C.20D.22
2.已知是等比数列,,则的取值范围是()
A.B.C.D.
3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为()
A.B.C.D.
4.已知、为非零的不共线的向量,设条件;条件对一切,不等式恒成立.则是的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分而且必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.设函数定义在上,给出下述三个命题:
①满足条件的函数图象关于点对称;②满足条件的函数图象关于直线对称;③函数与在同一坐标系中,其图象关于直线对称.其中,真命题的个数是
()
A.0B.1C.2D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点
③的最大值为5④的最小值为1
其中真命题为()
A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④
7.设,,,,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8.设函数,且,,则()
A.2B.1C.0D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分.请将正确的答案填在横线上.)
9.在平面直角坐标系中,定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等,其中实数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 _________________________________.
10.已知集合,若点、点满足且,则称点优于.如果集合中的点满足:
不存在中的其它点优于,则所有这样的点构成的集合为___________________________________________.
11.多项式的展开式在合并同类项后,的系数为______________________.(用数字作答)
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.
13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有不同的染法.(用数字作答)
14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:
第棵树种植在点处,其中,当时,
其中,表示实数的整数部分,例如,按此方案,第2008棵树种植点的坐标为___________________.
三、解答题(本大题共4小题,共62分.要求有必要的解答过程.)
15.(本小题满分14分)设实数,求证:
其中等号当且仅当或成立,为正实数.
16.(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.
17.(本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为,令,,
求证:
18.(本小题满分18分)过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结
(1)当点在直线上运动时,证明:
直线恒过定点;
(2)当∥时,定点平分线段
湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)详细解答
1.解:
集合的元素:
,,,,故集合的所有元素之和为16.选A.
2.解:
设的公比为,则,进而.
所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列.
.
显然,.选C.
3.解:
5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:
第1类,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.
4.解:
设,,则表示与共线的任一向量,表示点到直线上任一点的距离,而表示点到的距离.当时,由点与直线之间垂直距离最短知,,即对一切,不等式恒成立.反之,如果恒成立,则,故必为点到的垂直距离,,即.选C.
5.解:
用代替中的,得.如果点在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然,故①是真命题.用代替中的,得.如果点在的图象上,则,即点关于点的对称点也在的图象上,故②是真命题.由②是真命题,不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.
6.解:
假设、相交于点,则、共面,所以、、、四点共圆,而过圆的弦的中点的弦的长度显然有,所以②是错的.容易证明,当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时,最大为5,故③对.当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时,最小为1,故④对.显然是对的.①显然是对的.故选A.
7.解:
因为,所以,
;
;.
又,故故选B.
8.解:
由,
令,则为奇函数且单调递增.
而,,
所以,,,
从而,
即,故.选D.
9.解:
由条件得 ①
当时,①化为,无解;
当时,①化为,无解;
当时,①化为 ②
若,则,线段长度为1;若,则,线段长度为;若,则,线段长度为4.综上可知,点的轨迹的构成的线段长度之和为.填.
10.解:
优于,即位于的左上方,“不存在中的其它点优于”,即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为
.
填.
11.解:
由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程
①
的不超过去100的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为
下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150,故只能有一个数超过100,不妨设.将方程①化为
记,则方程的自然数解的组数为
因此,的系数为.填7651.
12.解:
因为底面周长为3,所以底面边长为,底面面积为.
又因为体积为,所以高为.该球的直径为,球的体积.填.
13.解:
第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后,有如下三种情况:
(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
(2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有种染法,第四行的染法随之确定;
(3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有4种,而在第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有2种,第四行的染法随之确定.
因此,共有染法为种.填90.
14.解:
令,则
故是周期为5的函数.
计算可知:
;;;;.
所以,
;;…;.
以上各式叠加,得
;
同理可得.
所以,第2008棵树的种植点为.填.
15.证明:
由对称性,不妨设,令,则因,可得
…………………………(3分)
设,则对求导,得.…………(6分)
易知,当时,,单调递减;当时,,单调递增.…………………………………………………(9分)
故在或处有最大值且及两者相等.
故的最大值为,即.………………(12分)
由,得,其中等号仅当或成立.
…………………………………………………………………………(14分)
16.解:
如果某方以或获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,问题转化为:
求“乙在五局中至少赢三局的概率”.…………(3分)
乙胜五局的概率为;………………………………………………(6分)
乙胜四局负一局的概率为;………………………………(9分)
乙胜三局负二局的概率为……………………………(12分)
以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为……………(14分)
17.解:
(1)因为,所以函数的定义域为,…(2分)
又.……………………………………………(5分)
当时,,即在上是减函数,故
………………………(8分)
因为,所以
.
……………………………………………(12分)
又容易证明,所以
,
…………………………………(14分)
.
即……………………(16分)
18.证明:
(1)设、、.则椭圆过点、的切线方程分别为
,.……………………………………(3分)
因为两切线都过点,则有
,.
这表明、均在直线①上.由两点决定一条直线知,式①就是直线的方程,其中满足直线的方程.…………………(6分)
(1)当点在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为
代入①消去得②
对一切恒成立.……………………………………………(9分)
变形可得
对一切恒成立.故有
由此解得直线恒过定点.……………………………(12分)
(2)当∥时,由式②知解得
代入②,得此时的方程为③
将此方程与椭圆方程联立,消去得
…………………………………(15分)
由此可得,此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即
这就是说,点平分线段.…………………………(18分)
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