届江苏省南通市泰州市高三年级第一次调研测试数学试题理.docx
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届江苏省南通市泰州市高三年级第一次调研测试数学试题理
2018届江苏省南通市、泰州市高三年级第一次调研测试
数学试题(理)
数学Ⅰ
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,.若,则实数的值为.
2.已知复数,其中为虚数单位,则复数的实部为.
3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本,则应从高三年纪抽取名学生.
4.根据如下图所示的伪代码,可知输出的结果为.
5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为.
6.若实数,满足则的最大值为.
7.在平面直角坐标系中,已知点为抛物线的焦点,则点到双曲线的渐进性的距离为.
8.在各项均为正数的等比数列中,若,,则的值为.
9.在平面直角坐标系中,将函数的图象向右平移个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则的值为.
10.若曲线在与处的切线互相垂直,则正数的值为.
11.如下图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm,圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6的正三棱柱零件,则该正三棱柱的底面边长为.(不计损耗)
12.如图,已知矩形的边长,.点,分别在边,上,且,则的最小值为.
13.在平面直角坐标系中,已知点,,从直线上一点向圆引两条切线,,切点分别为,.设线段的中点为,则线段长的最大值为.
14.已知函数,若函数有4个零点,则实数的取值范围是.
第Ⅱ卷(共90分)
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在三棱锥中,,,是的中点,点在棱上,点是的中点.
求证:
(1)平面;
(2)平面平面.
16.在中,角,,所对的边分别是,,,且,.
(1)求的值;
(2)求的值.
17.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆()的离心率为,两条准线之间的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的左顶点为,点在圆上,直线与椭圆相交于另一点,且的面积是面积的2倍,求直线的方程.
18.如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是长边为的正方形,另一部分是以为直径的半圆,其圆心为.规划修建的3条直道,,将广场分割为6个区域:
I、III、V为绿化区域(图中阴影部分),II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上,分别与,相交于点,.(道路宽度忽略不计)
(1)若经过圆心,求点到的距离;
(2)设,.
试用表示的长度;
当为何值时,绿化区域面积之和最大.
19.已知函数()有极值,且函数的极值点是的极值点,其中是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求关于的函数关系式;
(2)当时,若函数的最小值为,证明:
.
20.若数列同时满足:
对于任意的正整数,恒成立;对于给定的正整数,对于任意的正整数()恒成立,则称数列是“数列”.
(1)已知判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列是“数列”,且存在整数(),使得,,,成等差数列,证明:
是等差数列.
数学II(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,饼子啊相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:
几何证明选讲]
如图,已知的半径为2,的半径为1,两圆外切于点.点为上一点,与切于点.若,求的长.
B.[选修4-2:
矩阵与变换]
已知,向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量,求与.
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线与曲线(为参数)相交于,两点,求线段的长.
D.[选修4-5:
不等式选讲]
已知,,求的最小值.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20份.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在四棱锥中,,,两两垂直,,且,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)已知点为线段上异于的点,且,求的值.
23.
(1)用数学归纳法证明:
当时,
(,且,);
(2)求的值.
试卷答案
一、填空题
1.12.3.254.10
5.6.57.8.
9.10.11.12.
13.14.
三、解答题
15.
(1)在中,是的中点,是的中点,
所有.
又因为平面,平面,
所有平面.
(2)在中,,是的中点,
所以,
又因为,平面,平面,,
所有平面.
又因为平面,
所有平面平面.
16.
(1)在中,根据余弦定理及,.
又因为,所有.
在中,由余弦定理得,
.
(2)因为,所有,及得,
又,所有
在中,,
所有
.
17.
(1)设椭圆的焦距为,由题意得,,,
解得,,所有,
所以椭圆的方程为.
(2)方法一:
因为,
所以,
所以点为的中点,
因为椭圆的方程为,
所有.
设,则.
所有,,
由得,
解得,(舍去).
把代入,得,
所有,
因此,直线的方程为即,.
方法二:
因为,所以,所以点为的中点,
设直线的方程为.
由得,
所有,解得.
所有,,
代入得,
化简得,
即,解得,
所以,直线的方程为即,.
18.以所在直线为轴,以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.
(1)直线的方程为,
半圆的方程为(),
由得.
所有,点到的距离为.
(2)由题意,得.
直线的方程为,
令,得.
直线的方程为,
令,得.
所有,的长度为
,.
区域IV、VI的面积之和为
,
区域II的面积为
,
所以().
设,则,
,
当且仅当,即时“=”成立.
所有,休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.
答:
当时,绿化区域I、III、V的面积之和最大.
19.
(1)因为,令,解得.
列表如下.
-
0
+
↓
极小值
↑
所以时,取得极小值.
因为,
由题意可知,且
所以,
化简得.
由,得.
所以,.
(2)因为,
所以
记,则,令,解得,
列表如下.
-
0
+
↓
极小值
↑
所有时,取得极小值,也是最小值,
此时,
.
令,解得.
列表如下.
-
0
+
↓
极小值
↑
所以时,取得极小值,也是最小值.
所以
.
令,则,
记,,
则,.
因为,,
所以,所有单调递增.
所以,
所以.
20.
(1)当为奇数时,,所以.
.
当为偶数时,,所以.
.
所以,数列是“数列”.
(2)由题意可得:
,
则数列,,,…是等差数列,设其公差为,
数列,,,…是等差数列,设其公差为,
数列,,,…是等差数列,设其公差为.
因为,所以,
所以,
所以①,②.
若,则时,①不成立;
若,则时,②不成立;
若,则①和②都成立,所以.
同理得:
,所以,记.
设,
则
.
同理可得:
,所以,
所以是等差数列.
【另解】,
,
,
以上三式相加可得:
,所以,
所以,
,
,
所以,所以,
所以,数列是等差数列.
21.
A.延长交与点,
连结,,,则过点,
由切割线定理得:
.
因为,
与均为等腰三角形,
所以,所以,
所以,即.
因为,所以.
B.由已知得,
所以所以.
设,
则即.
所以,,.
所以,.
C.曲线的普通方程为.
联立解得或
所以,,
所以.
D.因为,,
所以,.
两式相加:
,
所以.
当且仅当且时“=”成立.
即时,取得最小值8.
22.以为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,
(1)由题意可知,,.
设平面的法向量为,
则即令,
则,.
所以.
平面的法向量为,
所以,
由题意可知,,,
设,
则,
因为,所以,
化简得,所以或.
又因为点异于点,所以.
23.
(1)①当时,等式右边
等式左边,等式成立.
②假设当时等式成立,
即.
那么,当时,有
这就是说,当时等式也成立.
根据①和②可知,对任何等式都成立.
(2)由
(2)可知,,
同时求导,得
,
所以
,
所以.
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- 江苏省 南通市 泰州市 三年级 第一次 调研 测试 数学试题