高考领航高届高级一轮人教理科数学全书学案第六章.docx
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高考领航高届高级一轮人教理科数学全书学案第六章
第一节 不等式的性质及一元二次不等式
教材细梳理
知识点1 不等式的基本性质
(1)对称性:
a>b⇔b<a.
(2)传递性:
a>b,b>c⇒a>c.
(3)可加性:
a>b⇒a+c>b+c.
(4)可乘性:
a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc.
(5)加法法则:
a>b,c>d⇒a+c>b+d.
(6)乘法法则:
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则:
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).
(8)开方法则:
a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
思考1:
若a>b>0,则ac2>bc2是否成立?
提示:
不成立.当c=0时不成立.
思考2:
若a>b,则<是否成立?
提示:
不成立.若增加条件ab>0,就有<成立.
思考3:
若a>b>0,m>0,则>>(b>m)是否成立?
提示:
成立.由真分数的性质可知,不等式成立.
知识点2 三个“二次”之间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两相异实数根x1=,
x2=
(x1<x2)
有两相等实数根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
(-∞,x1)∪
(x2,+∞)
R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
(x1,x2)
∅
∅
思考1:
不等式(x-a)(x-2a)<0的解集是什么?
提示:
当a>0时,解集是(a,2a);当a=0时,解集是∅;当a<0时,解集是(2a,a).
思考2:
不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是什么?
提示:
不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是.
四基精演练
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若>1,则a>b.( )
(2)一个不等式的两边同时加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( )
(3)a>b>0,c>d>0⇒>.( )
(4)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )
(5)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )
答案:
(1)×
(2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.(知识点1)设a<b<0,c>0,则下列不等式中不成立的是( )
A.> B.>
C.|a|c>-bcD.>
解析:
选B.由题设得a<a-b<0,所以有<⇒<,所以B项中式子不成立.
3.(知识点2)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A.B.
C.D.
解析:
选D.A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},
B={x|2x-3>0}=.
所以A∩B=.
4.(知识点2)已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是________.
解析:
若a=0,则f(x)=-1≤0恒成立,
若a≠0,则由题意,得解得-4≤a<0,综上,得a∈[-4,0].
答案:
[-4,0]
考点一 比较两个数(式)大小及不等式
性质的应用[基础练通]
1.[一题多解]已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A.->0 B.sinx-siny>0
C.-<0D.lnx+lny>0
解析:
选C.解法一:
(取特殊值进行验证)因为x>y>0,选项A,取x=1,y=,则-=1-2=-1<0,排除A;选项B,取x=π,y=,则sinx-siny=sinπ-sin=-1<0,排除B;选项D,取x=2,y=,则lnx+lny=ln(xy)=ln1=0,排除D.
解法二:
(利用函数的单调性)因为函数y=在R上单调递减,且x>y>0,所以<,即-<0.
2.(2018·长春模拟)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )
A.c≥b>aB.a>c≥b
C.c>b>aD.a>c>b
解析:
选A.∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=+>0,
∴b>a,∴c≥b>a.
3.[一题多解]若a=,b=,c=,则( )
A.a<b<cB.c<b<a
C.c<a<bD.b<a<c
解析:
选B.解法一:
易知a,b,c都是正数,=
=log8164<1,所以a>b;
==log6251024>1,所以b>c.即c<b<a.
解法二:
对于函数y=f(x)=,y′=,
易知当x>e时,函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.
1.比较两个数(式)大小的两种方法
2.判断关于不等式命题真假的技巧
在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如函数单调性、导数等.另外特殊值法应是首选方法.
考点二 一元二次不等式的解法[探究变通]
[例1]
(1)设函数f(x)=则不等式f(x)>f
(1)的解集为________.
解析:
f
(1)=12+4×1+6=11,当x≥0时,x2+4x+6>11,解得x>1或x<-5,又x≥0故x>1,
当x<0时,x+6>11,解得x>5,与x<0矛盾,故无解.
综上f(x)>f
(1)的解集为(1,+∞).
答案:
(1,+∞)
(2)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a<0).
解:
原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
∵a<0,∴原不等式化为(x+1)≤0,
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1.
综上所述:
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
[母题变式]
1.若本例
(1)条件不变,则不等式f(2-a2)>f(a2-3a)的解集为________.
解析:
由f(x)的图象(图略)知,f(x)在R上是增函数.
由f(2-a2)>f(a2-3a)得2-a2>a2-3a
解得-<a<2.
答案:
2.若本例
(2)中“a<0”改为“a∈R”,如何解?
解:
①当a=0时,不等式可化为-2x-2≥0,不等式的解集为{x|x≤-1};
②当a≠0时,不等式可化为(ax-2)(x+1)≥0,
(ⅰ)当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
不等式对应的方程的两个实数根为和-1,且>-1,
∴不等式的解集为;
(ⅱ)当a<0时,不等式化为(x+1)≤0,
不等式对应方程的两个实数根为和-1.
当-2<a<0,即<-1时,不等式的解集为
{x};
当a=-2,即=-1时,不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2,即>-1时,不等式的解集为
{x}.
综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为;
当-2<a<0时,不等式的解集为;
当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2时,不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的步骤
1.二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
2.]判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
3.]确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
1.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为( )
A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}
C.{x|0<x<3}D.{x|x<0或x>3}
解析:
选C.由题意a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax,整理得ax2+(b-2a)x+(a+c-b)>0①,又不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则a<0,且-1,2分别为方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得即②,将①两边同除以a得
x2+x+<0,将②代入①得x2-3x<0,解得0<x<3,故选C.
考点三 一元二次不等式恒成立问题[创新贯通]
命题点1
在R上恒成立问题
[例2] 对∀x∈R,不等式2kx2+kx-<0成立,则实数k的取值范围为________.
解析:
当k=0时,不等式显然成立,
当k≠0时,依题意得
解得-3<k<0,
即k的取值范围为-3<k≤0.
答案:
(-3,0]
命题点2
在给定区间上恒成立问题
[例3] [一题多解]设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:
要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.有以下两种解法:
解法一:
令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
所以m<,所以0<m<;
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g
(1)⇒m-6<0,所以m<6,所以m<0.
综上所述:
m的取值范围是{m|m<}.
解法二:
因为x2-x+1=+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以,m的取值范围是.
答案:
命题点3
给定参数范围恒成立求x的范围
[例4] (2018·沈阳模拟)对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求实数x的取值范围.
解:
由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.其图象是一条直线.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
∴
解得x<1或x>3.
故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],
函数f(x)的值恒大于零.
一元二次不等式恒成立问题的求解策略
1.不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或
2.形如f(x)≥0(x∈[a,b])的不等式确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,使最小值大于等于0,从而求参数的范围.
3.形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.可利用一次、二次函数的性质求参数;也可分离参数转化为求最值问题.
2.(2018·宜昌联考)不等式m(x2+1)-x-3>0对任意实数m∈[1,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是________.
解析:
不等式左边是关于m的一次函数,且单调递增,所以只需x2+1-x-3>0,即x2-x-2>0,解得x>2或x<-1.
答案:
(-∞,-1)∪(2,+∞)
3.在R上定义运算:
=ad-bc,若≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选D.由定义知,≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,
∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立,
∵x2-x+1=+≥,
∴a2-a≤,解得-≤a≤,
则实数a的最大值为,故应选D.
转化与化归思想在不等式中的妙用
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数的帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于二次函数、二次方程、一元二次不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般将一元二次不等式问题转化为相应二次函数问题求解.
[例3]
(1)(2018·中山模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
解析:
由题意知f(x)=x2+ax+b=+b-.
因为f(x)的值域为[0,+∞),所以b-=0,即b=.
所以f(x)=.
又f(x)<c,所以<c,
即--<x<-+.
所以
②-①,得2=6,所以c=9.
答案:
9
(2)(2018·唐山调研)已知函数f(x)=,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:
当x∈[1,+∞)时,f(x)=>0恒成立,即x2+2x+a>0恒成立.
即当x≥1时,a>-(x2+2x)恒成立.
令g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1,
则g(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g
(1)=-3,故a>-3.
所以实数a的取值范围是{a|a>-3}.
答案:
(-3,+∞)
[素材库]
1.(2018·湖北孝感调研)已知函数f(x)=x2+4x+4,若存在实数t,当x∈[1,t]时,f(x+a)≤4x恒成立,则实数t的最大值是( )
A.4 B.7
C.8D.9
解析:
选D.1,t是方程f(x+a)=4x的两个根,整理方程,得(x+a)2+4(x+a)+4=4x,即x2+2ax+a2+4a+4=0.根据根与系数之间的关系可得
由②,得t=a2+4a+4,代入①中,得1+a2+4a+4=-2a,即a2+6a+5=0,解得a=-1或-5.
当a=-1时,t=-2a-1=1,而由x∈[1,t],可知t>1,所以不满足题意;当a=-5时,t=-2a-1=9.所以实数t的最大值为9.
2.对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围是________.
解析:
设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
则当x=1时,f(p)=0.所以x≠1.
f(p)在0≤p≤4上恒为正,等价于
即解得x>3或x<-1.
答案:
(-∞,-1)∪(3,+∞)
3.对于实数a,b,c有下列命题:
①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则>;⑤若a>b,>,则a>0,b<0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号).
解析:
若c>0,则①不成立;由ac2>bc2,知c≠0,则a>b,②成立;由a<b<0,知a2>ab,ab>b2,即a2>ab>b2,③成立;由c>a>b>0,得0<c-a<c-b,故>,④成立;若a>b,-=>0,则ab<0,故a>0,b<0,⑤成立,故所有的真命题为②③④⑤.
答案:
②③④⑤
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·运城模拟)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.ac>bd B.ac<bd
C.ad<bcD.ad>bc
解析:
选B.根据c<d<0,有-c>-d>0,由于a>b>0,两式相乘有-ac>-bd,ac<bd.
2.(2018·安徽淮北一中模拟)若(x-1)(x-2)<2,则(x+1)(x-3)的取值范围是( )
A.(0,3)B.[-4,-3)
C.[-4,0)D.(-3,4]
解析:
选C.由(x-1)(x-2)<2解得0<x<3,令f(x)=(x+1)·(x-3)=x2-2x-3(0<x<3),则f(x)图象的对称轴是直线x=1,故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,f(x)在x=1处取得最小值-4,在x=3处取得最大值0,故(x+1)(x-3)的取值范围为[-4,0).
3.(2018·福建连城检测)已知a1>a2>a3>0,则使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)成立的x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
解析:
选B.由(1-aix)2<1,得ax2-2aix<0,得ax<0,其解集为,又<<,所以使得(1-aix)2<1(i=1,2,3)成立的x的取值范围是,故选B.
4.(2018·桂林二模)若a,b为实数,则“0<ab<1”是“a<或b>”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选A.对于0<ab<1,如果a>0,则b>0,a<成立,如果a<0,则b<0,b>成立,因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件;反之,若a=-1,b=2,结论“a<或b>”成立,但条件0<ab<1不成立,因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件,即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件.
5.(2018·聊城三模)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是( )
A.13B.18
C.21D.26
解析:
选C.设f(x)=x2-6x+a,其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线,如图所示.关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则,即,解得5<a≤8,又a∈Z,所以a=6,7,8,所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.选C.
6.(2018·深圳中学模拟)已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是( )
A.ac>bcB.ac>bc
C.loga(a-c)>logb(b-c)D.>
解析:
选D.因为c<0,a>b,所以ac<bc,故A错误;当c<0时,幂函数y=xc在(0,+∞)上是减函数,所以ac<bc,故B错误;若a=4,b=2,c=-4,则loga(a-c)=log48<2<logb(b-c)=log26,故C错误;-==>0,所以>成立,故D正确.选D.
7.(2018·成都二诊)若关于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(0,+∞)B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[0,+∞)
解析:
选B.解法一:
当x=0时,不等式1≥0恒成立,
当x>0时,x2+2ax+1≥0⇒2ax≥-(x2+1)⇒2a≥-,
又-≤-2,当且仅当x=1时,取等号,所以2a≥-2⇒a≥-1,所以实数a的取值范围为[-1,+∞).
解法二:
设f(x)=x2+2ax+1,函数图象的对称轴为直线x=-a,当-a≤0,即a≥0时,f(0)=1>0,所以当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0恒成立;
当-a>0,即a<0时,要使f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,需f(-a)=a2-2a2+1=-a2+1≥0,得-1≤a<0.
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
8.(2018·潍坊模拟)在R上定义运算⊙:
x⊙y=x(2-y),若不等式(x+m)⊙x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:
由题意得不等式(x+m)(2-x)<1,
即x2+(m-2)x+(1-2m)>0对任意x∈R恒成立,
因此Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0,
即m2+4m<0,解得-4<m<0.
答案:
(-4,0)
9.(2018·扬州模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元.预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值为________.
解析:
由已知条件可得,七月份销售额为500×(1+x%),八月份销售额为500×(1+x%)2,一月份至十月份的销售总额为3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],可列出不等式为4360+1000[(1+x%)+(1+x%)2]≥7000.
令1+x%=t,则t2+t-≥0,
即≥0.又∵t+≥0,
∴t≥,∴1+x%≥,
∴x%≥0.2,∴x≥20.故x的最小值是20.
答案:
20
10.已知函数f(x)=ax2+bx-a+2.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a,b的值;
(2)若b=2,a≥0,解关于x的不等式f(x)>0.
解:
(1)∵不等式f(x)>0的解集是(-1,3),
∴-1,3是方程ax2+bx-a+2=0的两根,
∴可得解得
(2)当b=2时,f(x)=ax2+2x-a+2=(x+1)(ax-a+2),
①当a=0时,f(x)>0,即2x+2>0,∴x>-1
②a>0,∴(x+1)(ax-a+2)>0⇔(x+1)>0,
(ⅰ)当-1=,即a=1时,解集为{x|x∈R且x≠-1};
(ⅱ)当-1>,即0<a<1时,解集为{x|x<或x>-1};
(ⅲ)当-1<,即a>1时,
解集为.
B级 能力提升练
11.(2018·北京卷)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )
A.对任意实数a,(2,1)∈A
B.对任意实数a,(2,1)∉A
C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A
D.当且仅当a≤时,(2,1)∉A
解析:
选D.若点(2,1)∈A,则不等式x-y≥1显然成立.且满足解得a>.即点(2,1)∈A⇒a>,其等价命题为a≤⇒点(2,1)∉A成立.
12.(2017·山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+<
解析:
选B.(特值法),∵a>b>0,ab=1,∴令a=3,
b=,则a+=6,log2(a+b)=log2<2,
==,即a+>log2(a+b)>,故选B.
13.(2018·南昌模拟)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是________.
解析:
解法一:
∵x2+ax-2>0在x∈[1,5]上有解,令f(x)=x2+ax-2,
∴f(0)=-2<0,f(x)的图象开口向上,
∴只需f(5)>0,即25+5a-2>0,解得a>-.
解法二:
由x2+ax-2>0在x∈[1,5]上有解,
可得a>=-x在x∈[1,5]上有解.
又f(x)=-x在x∈[1,5]上是减函数,
∴=-,只需a>-.
答案:
14.(2018·银川质检)已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.
解:
(1)因为函数f(x)=的定义域为R,所以ax2+2ax+1≥0恒成立,
当a=0时,1≥0恒成立.
当a≠0时,则有
解得0<a≤1,
综上可知,a的取值范围是[0,1].
(2)因为f(x)==,
a>0,所以当x=-1时,f(x)min=,由题意得,=,所以a=,所以不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-<0.解得-<x<,
所以不等式的解集为.
15.(2018·汕头模拟)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-
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