北师大版初中数学七年级上册知识讲解巩固练习教学资料补习资料第12讲 探索和表达规律基础.docx

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北师大版初中数学七年级上册知识讲解巩固练习教学资料补习资料第12讲探索和表达规律基础

探索规律（基础）知识讲解

【学习目标】

1.通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；

2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；

3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.

【要点梳理】

要点一、规律探索型问题常见类型

1、数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.

要点诠释：

由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.

2、图形规律

根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.

要点诠释：

图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.

3、数表规律

解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.

要点二、规律探索型问题解题技巧

1、抓住条件中的变与不变

找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.

2、化繁为简，形转化为数

有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.

3、要进行计算尝试

找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.

4、寻找事物的循环节

有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.

【典型例题】

类型一、数式规律

1．按某种规律在横线上填上适当的数：

（1）1，3，5，7，9，11，，………；

（2）3，6，12，24，48，96，，………；

（3）1，4，9，16，25，36，，………；

（4）0，3，8，15，24，35，，………；

（5）2，-2，2，-2，2，-2，，……….

【答案】

（1）13；

（2）192；（3）49；（4）48；（5）2.

【解析】

解：

（1）这个数列中，后一项与前一项差为定值2，所以第7个数为：

；

（2）这个数列中，后一项总是前一项的2倍，所以第7个数为：

；

（3）这个数列中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方，所以第7个数为：

；

（4）这个数列中，后一项与前一项的差依次多2，所以第7个数为：

；

（5）这个数列中，每两个数一个循环，奇数位上的数为2，偶数位的数为-2．所以第7个数为：

2．

【总结升华】

（1）一列数中，后一项与前一项的差是一个固定的数，则这列数的第n个数为：

从左往右数第一个数＋固定数值×（n-1）.

（2）一列数中，相邻两项的后一项与前一项的商为固定值q（q≠0），则这列数的第n个数为：

从左往右数第一个数×

.

（3）一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置号的平方或立方,则第n个数为：

或

.

（4）此数列满足：

差值呈固定值2增长，第n个数为

.

（5）此数列中的第n个数可表示为

.

举一反三：

【变式1】按某种规律在横线上填上适当的数：

（1）－5，－2，1，4，；

（2）2，5，10，17，，37；

（3）1，8，27，64，，216．

【答案】

（1）7

（2），26（3）125

【变式2】（2018•德州）一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　）

A．8B．9C．13D．15

【答案】A．

解：

∵每个数都等于它前面的两个数之和，

∴x=1+2=3，

∴y=x+5=3+5=8，

即这组数中y表示的数为8．

2.（2019•丹东）观察下列数据：

﹣2，

，﹣

，

，﹣

，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　　．

【思路点拨】根据题意可得：

所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．

【答案】﹣

．

【解析】

解：

∵﹣2=﹣

，

，﹣

，

，﹣

，…，

∴第11个数据是：

﹣

=﹣

．

故答案为：

﹣

．

【总结升华】此题主要考查了数字变化类，正确得出分子与分母的变化规律是解题关键，另外要注意符号的变化.

举一反三：

【变式】根据以下等式：

1=12，1+2+1=22，1+2+3+2+1=32，…．对于正整数n（n≥4），猜想：

1+2+…+（n-1）+n+（n-l）+…+2+1=．

【答案】n2

类型二、图表规律

3．用火柴棒按下图的方式搭三角形:

（1）填写下表：

三角形个数

1

2

3

4

5

火柴棒根数

（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？

【思路点拨】每多搭一个三角形，就多用两根火柴棒.

【答案与解析】

解：

（1）

三角形个数

1

2

3

4

5

火柴棒根数

3

5

7

9

11

（2）搭n个这样的三角形需要2n+1根火柴棒

【总结升华】将“形”的规律转换为“数”的规律.

举一反三：

【变式】观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．

【答案】

4．（2018•泰安）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：

根据此规律确定x的值为（　　）

A.135B．170C．209D．252

【答案】C．

【解析】

解：

首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少

∵a+（a+2）=20，

∴a=9，

∵b=a+1，

∴b=a+1=9+1=10，

∴x=20b+a

=20×10+9

=200+9

=209

【总结升华】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．

举一反三：

【变式】观察下列有序整数对：

（1，1）．

（1，2），（2，1）．

（1，3），（2，2），（3，1）

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）．

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．

…

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是

【答案】（5,6）

5．如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2018个图案中“♣”，共个．

【思路点拨】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2018被4整除，从而确定是共第503♣．

【答案】503

【解析】

解：

根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2018÷4＝503．

所以共有503个♣．

【总结升华】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．

举一反三：

【变式】观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ．（填图形的名称）

▲■★■▲★▲■★■▲★▲…

【答案】五角星

提示：

6个一循环．

【巩固练习】

一、选择题

1.（2018•黄冈中学自主招生）对正整数n，记n!

=1×2×3×…×n，则1!

+2!

+3!

+…+10!

的末尾数为（　　）

A．0B．1C．3D．5

2.（2019•东莞市一模）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是（　　）

A．48B．56C．63D．74

3.小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）．

A．2010B．2018C．2018D．2019

4．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二．若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过（）．

A．1.5小时；B．2小时；C．3小时；D．4小时．

5.观察下列算式：

根据上述算式中的规律，你认为

的末位数字是（）．

A.

B.

C.

D.

6.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）．

A．50B．64C．68D．72

二、填空题

7.观察下列等式：

9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20，49－25=24，…这些等式反映出自然数间的某种规律，设

表示自然数，用含字母

的等式表示这个规律.

8.观察下面一列有规律的数：

，……，根据规律可知第7个数是________，第n个数应是________（n是正整数）．

9．有一列数：

1，2，3，4，5，6，……当按顺序从第二个数数到第n个数时，共数了________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数（n>m）时,共数了________个数．

10.今天是星期一，58天后是星期．

11.（2019•南宁）观察下列等式：

在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第　　层．

12.（2018•绥化）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=　　．

三、解答题

13.（2019春•郑州期末）任意一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．

重复这个过程…

例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：

832，766，669，999，999，…

（1）你选择的三位数是什么？

按上述规则进行运算你都得到了哪些数？

你得到了什么结论？

（2）换个数试试，你有什么进一步的猜想？

14.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，再分别连接图b中各小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：

图a图b图c

（1）将下表填写完整

图形编号

1

2

3

4

5

……

三角形个数

1

5

9

（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）.

15．从2开始，连续的偶数相加（特别地，把1个2相加也看成和）.和的情况如下：

……

（1）推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？

（2）取n=6，验证

（1）的结论是否正确.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C．

【解析】∵1!

=1，2!

=1×2=2，3!

=1×2×3=6，4!

=1×2×3×4=24，

而5!

、…、10!

的数中都含有2与5的积，∴5!

、…、10!

的末尾数都是0，

∴1!

+2!

+3!

+…+10!

的末尾数为3．

2．【答案】C；

【解析】解：

从方格上方的数的数1、3、5、可以推出m=7，

第一个方格中：

3=1×2+1，

第二个方格中：

15=3×4+3，

第三个方格中：

35=5×6+5，

∴第四个方格中：

n=7×8+7=63．

故选：

C．

3.【答案】D；

【解析】既是三角形数又是正方形数，应是12的倍数．

4.【答案】B；

【解析】16＝24，所以这个过程要经过了4个半小时，即2小时．

5．【答案】C；

【解析】末位数字以2，4，8，6为一个循环，20÷4＝5，所以

的末位数字应与

的末位数字相同．

6.【答案】D；

【解析】第⑥个图形中五角星的个数：

2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2＝72．

二、填空题

7.【答案】

；

8．【答案】

，

；

【解析】

第n个代数式为

.

9．【答案】n－1,n－m＋1；

10.【答案】三；

【解析】58/7=8（星期）……2（天），所以是星期三.

11.【答案】44；

【解析】解：

第一层：

第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，

第二层：

第一个数为22=4，最后一个数为32﹣1=8，

第三层：

第一个数为32=9，最后一个数为42﹣1=15，

∵442=1936，452=2025，

又∵1936＜2019＜2025，

∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第44层，

故答案为：

44．

12.【答案】110

【解析】根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，

可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，

可得：

a=10，c=9，b=91，

所以a+b+c=10+9+91=110.

三、解答题

13.【解析】

解：

（1）如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：

123，326，963，999，999，…

这组数的后面都是999；

（2）如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：

788，221，242，488，551，575，788，…如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：

255，117，717，477，114，414，744，117，…

猜想：

无论给出一个什么样的三位数，总能得到重复出现的一组数：

都是999或6个数为一组重复出现．

14．【解析】

解：

（1）13，17；

（2）1＋4（n－1）＝4n－3.

15.【解析】

解：

（1）n（n+1）；

（2）n=6，n（n+1）=6×7=42=2+4+6+8+10+12，

（1）的结论正确.