鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1附答案.docx
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鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1附答案
2021年鲁教版八年级数学下册《第8章一元二次方程》常考热点优生辅导训练1(附答案)
1.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个不相等的实数根,下列结论正确的是( )A.m≠2B.m>2C.m≥2D.m<2
2.已知x=﹣1是一元二次方程(m+4)x2+2x﹣m2=0的一个根,则m的值为( )
A.﹣1或2B.﹣1C.2D.0
3.某商店销售连衣裙,每条盈利40元,每天可以销售20条.商店决定降价销售,经调查,每降价1元,商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商店每天盈利1200元,每条连衣裙应降价( )
A.5元B.10元C.20元D.10元或20元
4.用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3=0,配方后得到的方程是( )
A.(x﹣1)2=4B.(x+1)2=4C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=1
5.对于任意实数m,关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0,则方程根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
6.已知x1,x2是方程x2﹣2x﹣7=0的两根,则x12﹣x1+x2的值为( )
A.9B.7C.5D.3
7.每年春秋季节,流感盛行,极具传染性.如果一人得流感,不加干预,经过两轮后共有81人得流感,则每人每轮平均会感染几人?
设每人每轮平均感染x人,则下列方程正确的是( )
A.(x+1)2=81B.1+x+x2=81
C.1+x+(x+1)2=81D.1+(x+1)+(1+x)2=81
8.关于x的一元二次方程x2﹣2x=k﹣1,下列结论不正确的是( )
A.当方程有实数根时k≤2
B.当k=1时,方程的实数根为x1=0,x2=2
C.当k>0时,方程一定有两个不相等的实数根
D.若x1、x2为方程的两个实数根,则有|x1﹣1|=|x2﹣1|
9.若等腰三角形的一条边长为5,另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k=0的两个根,则k的值为( )
A.10B.
C.10或
D.
10.若关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(﹣x﹣m+1)2+b=0的解是( )
A.x1=1,x2=﹣2B.x1=1,x2=0C.x1=3,x2=﹣2D.x1=3,x2=0
11.若m,n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则m2+n2﹣mn的值是 .
12.若方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,则|x1﹣x2|= .
13.已知一元二次方程ax2﹣x+1=0(a≠0),有两个实数根,则a的取值范围是 .
14.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0有一个解为x=0,则k= .
15.若m、n是方程x2+2020x﹣2021=0的两个实数根,则m+n﹣2mn之值为 .
16.设α、β是方程x2+2x﹣2021=0的两根,则α2+3α+β的值为 .
17.菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,则该菱形的面积为 .
18.关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,x取m和m+2时,代数式x2+bx+c的值都等于n,则n= .
19.如果关于x的方程
的两个实数根分别为x1,x2,那么
的值为 .
20.已知一元二次方程x2﹣10x+21=0的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为 .
21.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根为x1,x2,使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣16成立,则k的值 .
22.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)(x+2)2=3(x+2);
(2)4x2﹣28x+13=0.
23.关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m=0.
(1)求证:
方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1,x2是该方程的两根,且满足两根的平方和等于3,求m的值.
24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+2k=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)记该方程的两个实数根为x1和x2,若以x1,x2,3为三边长的三角形是直角三角形,求k的值.
25.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析:
(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
(2)若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
26.平遥牛肉久负盛名.据史料记载,清代时已誉满三晋.其制作工艺独特,用料讲究,所产牛肉营养丰富,具有扶胃健脾之功效.某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉,当按每千克140元的价格出售时,平均每天可销售30千克.“十一”期间,为了尽可能扩大销售量,商家决定降价销售.经调查发现,每千克降价1元,每天可多卖2千克.若该经销商想要每天获利1000元,则每千克应降价多少元?
27.如图,利用一面墙(墙长25米),用总长度49米的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留两个1米的小门,设栅栏BC长为x米.
(1)AB= 米(用含x的代数式表示);
(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米,求栅栏BC的长;
(3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米?
若有可能,求出相应x的值;若不可能,则说明理由.
参考答案
1.解:
根据题意得△=m2﹣4×1×(m﹣1)=(m﹣2)2>0,
解得m≠2,
故选:
A.
2.解:
把x=﹣1代入(m+4)x2+2x﹣m2=0得:
(m+4)﹣2﹣m2=0,
解得:
m1=2,m2=﹣1,
故选:
A.
3.解:
设每条连衣裙降价x元,则每天售出(20+2x)条,
依题意,得:
(40﹣x)(20+2x)=1200,
整理,得:
x2﹣30x+200=0,
解得:
x1=10,x2=20.
答:
每条连衣裙应降价10元或20元.
故选:
D.
4.解:
∵x2+2x﹣3=0,
∴x2+2x=3,
则x2+2x+1=3+1,即(x+1)2=4,
故选:
B.
5.解:
∵a=1,b=m+3,c=m+2,
∴△=b2﹣4ac=(m+3)2﹣4×1×(m+2)=(m+1)2≥0.
∴方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根.
故选:
D.
6.解:
∵x1,x2是方程x2﹣2x﹣7=0的两根,
则x12﹣2x1﹣7=0,x1+x2=2,
∴x12﹣x1+x2=x12﹣2x1+x1+x2=7+2=9,
故选:
A.
7.解:
设每人每轮平均感染x人,
∵1人患流感,一个人传染x人,
∴第一轮传染x人,此时患病总人数为1+x;
∴第二轮传染的人数为(1+x)x,此时患病总人数为1+x+(1+x)x=(1+x)2,
∵经过两轮后共有81人得流感,
∴可列方程为:
(1+x)2=81.
故选:
A.
8.解:
A、原方程可以化为(x﹣1)2=k,当k≥0时,方程有实数解,故A不正确.
B、当k=1时,则x2﹣2x=0,
解得x1=0,x2=2.故B正确;
C、∵当k≥0时,方程有实数根,
∴当k>0时,方程一定有两个不相等的实数根;故C正确;
D、当k≥0时,由(x﹣1)2=k可以求得x=1±
,
则有|x1﹣1|=|x2﹣1|.故D正确;
故选:
A.
9.解:
当5为腰长时,将x=5代入原方程得25﹣7×5+k=0,
解得:
k=10,
∴原方程为x2﹣7x+10=0,
∴x1=2,x2=5,
长度为2,5,5的三条边能围成三角形,
∴k=10符合题意;
当5为底边长时,△=(﹣7)2﹣4k=0,
解得:
k=
,
∴原方程为x2﹣7x+
=0,
∴x1=x2=
,
长度为
,
,5的三条边能围成三角形,
∴k=
符合题意;
综上,k的值为10或
,
故选:
C.
10.解:
∵a(﹣x﹣m+1)2+b=0,
∴a(x+m﹣1)2+b=0,
又∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2,x2=﹣1(a,m,b均为常数,a≠0),
∴方程a(x+m﹣1)2+b=0中x﹣1=2或x﹣1=﹣1,
解得x1=3,x2=0,
故选:
D.
11.解:
∵m,n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,
∴m+n=5,mn=﹣2,
则m2+n2﹣mn
=m2+n2+2mn﹣3mn
=(m+n)2﹣3mn
=52﹣3×(﹣2)
=25+6
=31,
故答案为:
31.
12.解:
∵方程x2+5x﹣6=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣6,
∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=(﹣5)2﹣4×(﹣6)=49,
∴|x1﹣x2|=7,
故答案为:
7.
13.解:
∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1=0有两个实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×a×1=1﹣4a≥0,
解得:
a≤
,
∴a的取值范围是a≤
且a≠0.
故答案为:
a≤
且a≠0.
14.解:
把x=0代入方程(k﹣1)x2+3x+k2﹣1=0得方程k2﹣1=0,解得k1=1,k2=﹣1,
而k﹣1≠0,
所以k=﹣1.
故答案为﹣1.
15.解:
∵m、n是方程x2+2020x﹣2021=0的两个实数根,
∴m+n=﹣2020,mn=﹣2021,
则m+n﹣2mn=﹣2020﹣2(﹣2021)=2022.
故答案为:
2022.
16.解:
根据题意知,α2+2α﹣2021=0,即α2+2α=2021.
又∵α+β=﹣2.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2021﹣2=2019.
故答案是:
2019.
17.解:
x2﹣9x+20=0,
(x﹣4)(x﹣5)=0,
x﹣4=0或x﹣5=0,
∴x1=4,x2=5,
∵菱形一条对角线长为8,
∴菱形的边长为5,
∵菱形的另一条对角线长=2×
=6,
∴菱形的面积=
×6×8=24.
故答案为:
24.
18.解:
∵方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4c=0,
∴c=
,
∴原方程可表示为:
x2+bx+
=0,
∵x取m和m+2时,代数式x2+bx+c的值相等,
∴m2+bm+
=(m+2)2+b(m+2)+
,
∴b=﹣2m﹣2,
∴x2+bx+c=x2+(﹣2m﹣2)x+
,
当x=m时,x2+bx+c=m2+(﹣2m﹣2)m+
=m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1=1,
故答案为:
1.
19.解:
∵方程x2+kx+
k2﹣3k+
=0的两个实数根,
∴b2﹣4ac=k2﹣4(
k2﹣3k+
)=﹣2k2+12k﹣18=﹣2(k﹣3)2≥0,
∴k=3,
代入方程得:
x2+3x+
=(x+
)2=0,
解得:
x1=x2=﹣
,
∴
=﹣
,
故答案为:
﹣
.
20.解:
∵x2﹣10x+21=0,
∴(x﹣3)(x﹣7)=0,
∴x1=3,x2=7.
∵三角形是等腰三角形,必须满足三角形三边的关系,
∴腰长是7,底边是3,
周长为:
7+7+3=17.
故答案为:
17.
21.解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根,
∴△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,
解得k≤
,
由根与系数的关系得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣16.
∴x1x2﹣[(x1+x2)2﹣2x1x2]=﹣16,
即﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣16,
∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣16,
整理得k2﹣2k﹣15=0,
解得k1=5(舍去),k2=﹣3.
∴k=﹣3,
故答案为﹣3.
22.解:
(1)∵(x+2)2=3(x+2),
∴(x+2)2﹣3(x+2)=0,
∴(x+2)(x﹣1)=0,
则x+2=0或x﹣1=0,
解得x1=﹣2,x2=1;
(2)∵4x2﹣28x+13=0,
∴(2x﹣1)(2x﹣13)=0,
则2x﹣1=0或2x﹣13=0,
解得x1=0.5,x2=6.5.
23.
(1)证明:
△=(2m+1)2﹣4m=4m2+1,
∵4m2≥0,
∴△>0,
∴方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:
∵x1,x2是该方程的两根,则x1+x2=2m+1,x1x2=m,
∵x12+x22=3,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=3,
∴(2m+1)2﹣2×m=3,
解得m=
或﹣1.
24.
(1)证明:
∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4•2k
=4k2+1+4k﹣8k
=4k2﹣4k+1
=(2k﹣1)2≥0,
∴无论k取何值,方程总有两个实数根;
(2)解:
∵x2﹣(2k+1)x+2k=0,
∴(x﹣2k)(x﹣1)=0,
∴x1=2k,x2=1.
∵以x1,x2,3为三边长的三角形是直角三角形,
当3为斜边时,则(2k)2+12=32,解得k=
(负数舍去),
当2k为斜边时,则(2k)2=12+32,解得k=
(负数舍去).
综上,k的值为
,
.
25.解:
设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:
1+x+(1+x)x=81,
整理得(1+x)2=81,
则x+1=9或x+1=﹣9,
解得x1=8,x2=﹣10(舍去),
答:
每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑;
(2)(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700.
答:
3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
26.解:
设每千克应降价x元,则每千克的销售利润为(140﹣x﹣110)元,平均每天可销售(30+2x)千克,
依题意得:
(140﹣x﹣110)(30+2x)=1000,
整理得:
x2﹣15x+50=0,
解得:
x1=5,x2=10.
又∵为了尽可能扩大销售量,
∴x=10.
答:
若该经销商想要每天获利1000元,则每千克应降价10元.
27.解:
(1)设篱笆BC长为x米,
∵篱笆的全长为49米,且中间共留两个1米的小门,
∴AB=49+2﹣3x=51﹣3x(米),
故答案为:
(51﹣3x);
(2)依题意,得:
(51﹣3x)x=210,
整理,得:
x2﹣17x+70=0,
解得:
x1=7,x2=10.
当x=7时,AB=51﹣3x=30>25,不合题意,舍去,
当x=10时,AB=51﹣3x=21,符合题意,
答:
篱笆BC的长为10米;
(3)不可能,理由如下:
依题意,得:
(51﹣3x)x=240,
整理得:
x2﹣17x+80=0,
∵△=(﹣17)2﹣4×1×80=﹣31<0,
∴方程没有实数根,
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米.
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