第3章符号运算.docx
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第3章符号运算
第3章符号运算
3.1算术符号操作
命令+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能符号矩阵的算术操作
用法如下:
A+B、A-B符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时,A+B、A-B分别对对应分量进行加减;若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行加减。
A*B符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。
按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
即:
若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m,则
,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。
或者至少有一个为标量时,方可进行乘法操作,否则将返回一出错信息。
A.*B符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。
A与B必须为同型阵列,或至少有一个为标量。
即:
An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij=aij*bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。
A\B矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。
我们指出的是,A\B近似地等于inv(A)*B。
若X不存在或者不唯一,则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵),但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。
若A与B为同型阵列时,An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij=aij\bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。
若若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。
A/B矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。
我们指出的是,B/A粗略地等于B*inv(A)。
若X不存在或者不唯一,则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵),但此时要求方程组必须是相容的。
A./B数组的右除法。
A./B为按对应的分量进行相除。
若A与B为同型阵列时,An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij=aij/bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。
若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。
A^B矩阵的方幂。
计算矩阵A的整数B次方幂。
若A为标量而B为方阵,A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。
若A与B同时为矩阵,则返回一错误信息。
A.^B数组的方幂。
A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。
若A与B为同型阵列时,An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij=aij^bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。
若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。
A'矩阵的Hermition转置。
若A为复数矩阵,则A'为复数矩阵的共轭转置。
即,若A=(aij)=(xij+i*yij),则
。
A.'数组转置。
A.'为真正的矩阵转置,其没有进行共轭转置。
例3-1
>>symsabcdefgh;
>>A=[ab;cd];
>>B=[ef;gh];
>>C1=A.*B
>>C2=A.^B
>>C3=A*B/A
>>C4=A.*A-A^2
>>symsa11a12a21a22b1b2;
>>A=[a11a12;a21a22];
>>B=[b1b2];
>>X=B/A;%求解符号线性方程组X*A=B的解
>>x1=X
(1)
>>x2=X
(2)
计算结果为:
C1=
[a*e,b*f]
[c*g,d*h]
C2=
[a^e,b^f]
[c^g,d^h]
C3=
[-(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c),(a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]
[-(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c),(a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]
C4=
[-b*c,b^2-a*b-b*d]
[c^2-a*c-d*c,-b*c]
x1=
(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)
x2=
-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
3.2基本运算
命令1合并同类项
函数collect
格式R=collect(S)%对于多项式S中的每一函数,collect(S)按缺省变量x的次数合并系数。
R=collect(S,v)%对指定的变量v计算,操作同上。
例3-2
>>symsxy;
>>R1=collect((exp(x)+x)*(x+2))
>>R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y)
>>R3=collect([(x+1)*(y+1),x+y])
计算结果为:
R1=
x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)
R2=
y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
R3=
[(y+1)*x+y+1,x+y]
命令2列空间的基
函数colspace
格式B=colspace(A)%返回矩阵B,其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基,其中A可以是符号或数值矩阵。
而size(colspace(A),2)等于rank(A)。
即由A生成的空间维数等于A的秩。
例3-3
>>symsabc
>>A=sym([1,a;2,b;3,c])
>>B=colspace(A)
计算结果为:
A=
[1,a]
[2,b]
[3,c]
B=
[1,0]
[0,1]
[-(3*b-2*c)/(-b+2*a),(-c+3*a)/(-b+2*a)]
命令3复合函数计算
函数compose
格式compose(f,g)%返回复合函数f[g(y)],其中f=f(x),g=g(y)。
其中符号x为函数f中由命令findsym(f)确定的符号变量,符号y为函数g中由命令findsym(g)确定的符号变量。
compose(f,g,z)%返回复合函数f[g(z)],其中f=f(x),g=g(y),符号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号变量。
compose(f,g,x,z)%返回复合函数f[g(z)],而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)。
令x=g(z),再将x=g(z)代入函数f中。
compose(f,g,x,y,z)%返回复合函数f[g(z)]。
而令变量x为函数f中的自变量f=f(x),而令变量y为函数g中的自变量g=g(y)。
令x=g(y),再将x=g(y)代入函数f=f(x)中,得f[g(y)],最后用指定的变量z代替变量y,得f[g(z)]。
例3-4
>>symsxyztuv;
>>f=1/(1+x^2*y);h=x^t;g=sin(y);p=sqrt(-y/u);
>>C1=compose(f,g)%令x=g=sin(y),再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C2=compose(f,g,t)%令x=g=sin(t),再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C3=compose(h,g,x,z)%令x=g=sin(z),再替换h中的变量x。
>>C4=compose(h,g,t,z)%令t=g=sin(z),再替换h中的变量t。
>>C5=compose(h,p,x,y,z)%令x=p(y)=sqrt(-y/u),替换h中的变量x,再将y换成z。
>>C6=compose(h,p,t,u,z)%令t=p(u)=sqrt(-y/u),替换h中的变量t,再将u换成z。
计算结果为:
C1=
1/(1+sin(y)^2*y)
C2=
1/(1+sin(t)^2*y)
C3=
sin(z)^t
C4=
x^sin(z)
C5=
((-z/u)^(1/2))^t
C6=
x^((-y/z)^(1/2))
命令4符号复数的共轭
函数conj
格式conj(X)%返回符号复数X的共轭复数
例3-5
X=real(X)+i*imag(X),则conj(X)=real(X)-i*imag(X)
命令5符号复数的实数部分
函数real
格式real(Z)%返回符号复数z的实数部分
命令6符号复数的虚数部分
函数imag
格式imag(Z)%返回符号复数z的虚数部分
命令7余弦函数的整函数
格式Y=cosint(X)%计算余弦函数在点X处的整函数值。
其中X可以是数值矩阵,或符号矩阵。
余弦函数的整函数定义为:
,其中
为Euler常数,
=0.57721566490153286060651209…i=1,2,…,size(X)。
Euler常数可以通过命令vpa('eulergamma')获得。
例3-6
>>cosint(7.2)
>>cosint([0:
0.1:
1])
>>symsx;
>>f=cosint(x);
>>diff(x)
计算结果为:
ans=
0.0960
ans=
Columns1through7
Inf-1.7279-1.0422-0.6492-0.3788-0.1778-0.0223
Columns8through11
0.10050.19830.27610.3374
ans=
1
命令8设置变量的精度
函数digits
格式digits(d)%设置当前的可变算术精度的位数为整数d位
d=digits%返回当前的可变算术精度位数给d
digits%显示当前可变算术精度的位数
说明设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度(命令为:
vpa)计算的数字位数。
其缺省值为32位数字。
例3-7
>>z=1.0e-16%z为一很小的数
>>x=1.0e+2%x为较大的数
>>digits(14)
>>y1=vpa(x*z+1)%大数1“吃掉”小数x*y
>>digits(15)
>>y2=vpa(x*z+1)%防止“去掉”小数x*y
计算结果为:
z=
1.0000e-016
x=
100
y1=
1.0000000000000
y2=
1.00000000000001
命令9将符号转换为MATLAB的数值形式
函数double
格式R=double(S)%将符号对象S转换为数值对象R。
若S为符号常数或表达式常数,double返回S的双精度浮点数值表示形式;若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵,double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。
例3-8
>>gold_ratio=double(sym('(sqrt(5)-1)/2'))%计算黄金分割率。
>>T=sym(hilb(4))
>>R=double(T)
计算结果为:
gold_ratio=
0.6180
T=
[1,1/2,1/3,1/4]
[1/2,1/3,1/4,1/5]
[1/3,1/4,1/5,1/6]
[1/4,1/5,1/6,1/7]
R=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
命令10符号表达式的展开
函数expand
格式R=expand(S)%对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。
该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。
例3-9
>>symsxyabct
>>E1=expand((x-2)*(x-4)*(y-t))
>>E2=expand(cos(x+y))
>>E3=expand(exp((a+b)^3))
>>E4=expand(log(a*b/sqrt(c)))
>>E5=expand([sin(2*t),cos(2*t)])
计算结果为:
E1=
x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2=
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
E3=
exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)
E4=
log(a*b/c^(1/2))
E5=
[2*sin(t)*cos(t),2*cos(t)^2-1]
命令11符号因式分解
函数factor
格式factor(X)%参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。
若X为一正整数,则factor(X)返回X的质数分解式。
若x为多项式或整数矩阵,则factor(X)分解矩阵的每一元素。
若整数阵列中有一元素位数超过16位,用户必须用命令sym生成该元素。
例3-10
>>symsabxy
>>F1=factor(x^4-y^4)
>>F2=factor([a^2-b^2,x^3+y^3])
>>F3=factor(sym('12345678901234567890'))
计算结果为:
F1=
(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)
F2=
[(a-b)*(a+b),(x+y)*(x^2-x*y+y^2)]
F3=
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
命令12符号表达式的分子与分母
函数numden
格式[N,D]=numden(A)
说明将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式,其中分子与分母是相对互素的。
输出的参量N为分子的符号矩阵,输出的参量D为分母的符号矩阵。
例3-11
>>symsxyabcd;
>>[n1,d1]=numden(sym(sin(4/5)))
>>[n2,d2]=numden(x/y+y/x)
>>A=[a,1/b;1/cd];
>>[n3,d3]=numden(A)
计算结果为:
n1=
6461369247334093
d1=
9007199254740992
n2=
x^2+y^2
d2=
y*x
n3=
[a,1]
[1,d]
d3=
[1,b]
[c,1]
命令13搜索符号表达式的最简形式
函数simple
格式r=simple(S)%该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式,显示任意的能使表达式S长度变短的表达式,且返回其中最短的一个。
若S为一矩阵,则结果为整个矩阵的最短形式,而非是每一个元素的最简形式。
若没有输出参量r,则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式,同时返回最短的一个。
[r,how]=simple(S)%没有显示中间的化简结果,但返回能找到的最短的一个。
输出参量r为一符号,how为一字符串,用于表示算法。
例3-12
>>symsx
>>R1=simple(cos(x)^4+sin(x)^4)
>>R2=simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R3=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R4=simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))
>>R5=simple(cos(x)+i*sin(x))
>>R6=simple((x+1)*x*(x-1))
>>R7=simple(x^3+3*x^2+3*x+1)
>>[R8,how]=simple(cos(3*acos(x)))
计算的结果为:
R1=
1/4*cos(4*x)+3/4
R2=
3*cos(x)^2-1
R3=
cos(2*x)
R4=
cos(x)+i*sin(x)
R5=
exp(i*x)
R6=
x^3-x
R7=
(x+1)^3
R8=
4*x^3-3*x
how=
expand
命令14符号表达式的化简
函数simplify
格式R=simplify(S)
说明使用Maple软件中的化简规则,将化简符号矩阵S中每一元素。
例3-13
>>symsxabc
>>R1=simplify(sin(x)^4+cos(x)^4)
>>R2=simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))
>>S=[(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];
>>R3=simplify(S)
计算结果为:
R1=
2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2
R2=
(a+b)^(1/2*c)
R3=
[x+3,4]
命令15符号矩阵的维数
函数size
格式d=size(A)%若A为m*n阶的符号矩阵,则输出结果d=[m,n]。
[m,n]=size(A)%分别返回矩阵A的行数于m,列数于n。
d=size(A,n)%返回由标量n指定的A的方向的维数:
n=1为行方向,n=2为列方向。
例3-14
>>symsabcd
>>A=[abc;abd;dcb;cba];
>>d=size(A)
>>r=size(A,2)
计算结果为:
d=
43
r=
3
命令16代数方程的符号解析解
函数solve
格式g=solve(eq)%输入参量eq可以是符号表达式或字符串。
若eq是一符号表达式x^2-2*x-1或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’,则solve(eq)对方程eq中的缺省变量(由命令findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。
若输出参量g为单一变量,则对于有多重解的非线性方程,g为一行向量。
g=solve(eq,var)%对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定的变量var求解方程eq(var)=0。
g=solve(eq1,eq2,…,eqn)%输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符号表达式或字符串。
该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。
若g为一单个变量,则g为一包含n个解的结构;若g为有n个变量的向量,则分别返回结果给相应的变量。
g=solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)%对方程组eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,…,varn求解。
注意:
对于单个的方程或方程组,若不存在符号解,则返回方程(组)的数值解。
例3-15
>>solve('a*x^2+b*x+c')
>>solve('a*x^2+b*x+c','b')
>>solve('x+y=1','x-11*y=5')
>>A=solve('a*u^2+v^2','u-v=1','a^2-5*a+6')
计算结果为:
ans=
[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
ans=
-(a*x^2+c)/x
ans=
x:
[1x1sym]
y:
[1x1sym]
A=
a:
[4x1sym]
u:
[4x1sym]
v:
[4x1sym]
命令17以共同的子表达式形式重写一符号表达式
函数subexpr
格式[Y,SIGMA]=subexpr(X,SIGMA)
[Y,SIGMA]=subexpr(X,'SIGMA')
说明找出符号表达式X中相同的子表达式,再结合命令pretty(X)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。
而用命令pretty(Y)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号SIGMA代替。
例3-16
>>t=solve('a*x^3+b*x^2+c*x+d=0');
>>[r,s]=subexpr(t,'s');
>>pretty(t)
>>pretty(r)
计算结果为:
(略)
命令18特征多项式
函数poly
格式p=poly(A)或p=poly(A,v)
说明若A为一数值阵列,则返回矩阵A的特征多项式的系数,且有:
命令poly(sym(A))近似等于poly2sym(poly(A))。
其近似程度取决于舍入误差的大小。
若A为一符号矩阵,则返回矩阵A的变量为x的特征多项式。
若带上参量v,则返回变量为v的特征多项式。
例3-17
>>A=hilb(4);
>>p=poly(A)
>>q=poly(sym(A))
>>s=poly(sym(A),z)
计算结果为:
p=
1.0000-1.67620.2652-0.00170.0000
q=
x^4-176/105*x^3+3341/12600*x^2-41/23625*x+1/6048000
s=
-176/105*z^3+3341/12600*z^2-41/23625*z+1/6048000+z^4
命令19将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式
函数poly2sym
格式r=poly2sym(c)和r=poly2sym(c,v)
说明将系数在数值向量c中的多项式转化成相应的带符号变量的多项式(按次数的降幂排列)。
缺省的符号变量为x;
若带上参量v,则符号变量用v显示。
poly2sym使用命令sym的缺省转换模式(有理形式)将数值型系数转换为符号常数。
该模式将数值转换成接近的整数比值的表达式,否则用2的幂指数表示。
若x有一数值值,且命令sym能将c的元素精确表示,则eval(poly2sym(c))的结果与polyval(c,x)相同。
例3-18
>>r1=poly2sym([1234])
>>r2=poly2sym([.694228,sqrt
(2),sin(
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