中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册.docx
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中考数学一轮复习第四章三角形第2节三角形及其性质练习册
第2节 三角形及其性质
课时1 一般三角形及等腰三角形
(建议答题时间:
40分钟)
1.(2017泰州)三角形的重心是( )
A.三角形三条边上中线的交点
B.三角形三条边上高线的交点
C.三角形三条边垂直平分线的交点
D.三角形三条内角平分线的交点
2.(2017金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是( )
A.2,3,4B.5,7,7
C.5,6,12D.6,8,10
3.(2017株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是( )
A.145°B.150°C.155°D.160°
第3题图
4.(2017甘肃)已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为( )
A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0
5.(2017德阳)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
第5题图第6题图
6.(2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40°B.36°C.30°D.25°
7.(2017荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.75°
第7题图第8题图第9题图
8.(2017郴州)小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( )
A.180°B.210°C.360°D.270°
9.(2017天津)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( ).
A.BCB.CEC.ADD.AC
10.(2017泰州)将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为________.
第10题图第12题图第13题图
11.(2017成都)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为________.
12.(2017江西)如图①是一把园林剪刀,把它抽象为图②,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=________度.
13.(2017湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为点E,请任意写出一组相等的线段________.
14.(2017徐州)△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,DE=7,则BC=________.
15.(2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是________.
16.(2017陕西)如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为________.
第16题图第18题图
17.(2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________.
18.(2017宁夏)在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=DM,当AM⊥BM时,则BC的长为________.
19.(2017达州)△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是________.
20.(2017内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.
求证:
△BDE是等腰三角形.
第20题图
21.(2017北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.
求证:
AD=BC.
第21题图
22.(2017连云港)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:
过点A、F的直线垂直平分线段BC.
第22题图
课时2 直角三角形及勾股定理
(建议答题时间:
40分钟)
1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A.,,B.1,,
C.6,7,8D.2,3,4
2.(2016沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )
A.B.4C.8D.4
第2题图第3题图
3.(2017大连)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
A.2aB.2aC.3aD.a
4.(2017黄石)如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=,则∠CDE+∠ACD=( )
A.60°B.75°C.90°D.105°
第4题图第5题图
5.(2017重庆巴蜀月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若BC=4,AC=8,则BD=( )
A.3B.4C.5D.6
6.(2017陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为( )
A.3B.6C.3D.
第6题图第7题图
7.(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A.3B.4C.5D.6
8.(2017株洲)如图,在Rt△ABC中,∠B的度数是________度.
第8题图第11题图第12题图
9.(2017安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于________.
10.(2017岳阳)在△ABC中,BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为________.
11.(2017常德)如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是________.
12.(2017娄底)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是________.(用含m的代数式表示)
13.(2017杭州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于________.
第13题图第14题图
14.(2017武汉)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°,BD=2CE,则DE的长为________.
15.(2017山西)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4cm,则EF的长为________cm.
第15题图第16题图
16.(2017河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为________.
17.(2018原创)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长.(结果保留根号)
第17题图
18.(2018原创)如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
(1)求DB的长;
(2)在△ABC中,求BC边上高的长.
第18题图
19.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,
(1)求AB的长;
(2)求CD的长.
第19题图
20.(2017徐州)如图,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC、DB.
(1)线段DC=________;
(2)求线段DB的长度.
第20题图
答案
课时1一般三角形及等腰三角形
1.A2.C3.B
4.D 【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边,得:
a+b>c,∴c-a-b=c-(a+b)<0,∴|c-a-b|=a+b-c,|a+b-c|=a+b-c,∴|a+b-c|-|c-a-b|=0.
5.B 【解析】∵BE是∠ABC的角平分线,∴∠ABC=2∠ABE=50°,又∵∠BAC=60°,则∠C=70°,又∵∠ADC=90°,∴∠DAC=20°.
6.B 【解析】设∠C=x°,∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=x°,∴∠ADB=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,∴∠B=180°-4x°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=x°,∴180°-4x°=x°,解得x=36,∴∠B=∠C=36°.
7.B 【解析】∵∠A=30°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,又∵l为AB的垂直平分线,∴DB=DA,∠DBA=∠A=30°∴∠CBD=∠CBA-∠DBA=75°-30°=45°.
8.B 【解析】如解图,∵∠C=∠F=90°,∴∠3+∠4=90°,∠2+∠5=90°,又∵∠2=∠4,∴∠3=∠5,∵∠1=∠3,∴∠1=∠5=180°-∠β,∵∠α=∠D+∠1=∠D+180°-∠β,∴∠α+∠β=∠D+180°=30°+180°=210°.
第8题解图
9.B 【解析】∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线,∴点B关于AD的对应点为点C,∴CE等于BP+EP的最小值.
10.15° 11.40° 12.75 13.CD=DE
14.14
15.100° 【解析】由三角形内角和定理可知,若等腰三角形的一个内角为100°,则这个内角为顶角,此时两底角均为40°,即该三角形顶角的度数是100°.
16.64° 【解析】∵在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线,∴∠1=∠ABD=∠ABC,∠2=∠ACE=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB),∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-52°=128°,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=×128°=64°.
17.2 【解析】假设点D与点B重合,可得DE+DF为等边三角形AC边上的高,再由等边三角形的边长为4,可求AC边上的高为2,故DE+DF=2.
18.8 【解析】∵AM⊥BM,∴∠AMB=90°,在Rt△ABM中,∵D是AB的中点,∴DM=AB=3,∵ME=DM,∴ME=1,DE=4,又∵DE∥BC,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=8.
19.1<m<4 【解析】如解图,延长AD到点E,使AD=ED,连接CE,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵在△ABD和△ECD中,BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴AB=EC,在△AEC中,∵AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,∴2<2AD<8,∴1<AD<4即1<m<4.
第11题解图
20.证明:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵DE∥AC,
∴∠ADE=∠DAC.
∴∠BAD=∠ADE,
∵AD⊥BD,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD+∠B=90°.
∵∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠B=∠BDE,
∴BE=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
21.解:
∵AB=AC
∴在△ABC中,
∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×(180°-36°)=72°,
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°,
∴∠ABD=∠A,∴AD=BD,
又∵在△ABC中,∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
∴AD=BC.
22.
(1)解:
∠ABE=∠ACD.理由如下:
∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴∠ABE=∠ACD;
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
由
(1)可知∠ABE=∠ACD,
∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.
又∵AB=AC,
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即过点A、F的直线垂直平分线段BC.
课时2 直角三角形及勾股定理
1.B2.D
3.B 【解析】∵CD⊥AB,CD=DE=a,∴CE=a,∵在△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,∴AB=2CE=2a.
4.C 【解析】∵点E为BC边的中点,CD⊥AB,DE=,∴BE=CE=DE=,∴∠CDE=∠DCE,BC=.在△ABC中,AC2+BC2=1+()2=4=AB2,∴∠ACB=90°,∴∠CDE+∠ACD=∠DCE+∠ACD=90°.
5.C 【解析】设BD=x,∵边AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD=x,则CD=8-x,在Rt△BCD中,根据勾股定理,得x2-(8-x)2=42,解得x=5.
6.A 【解析】∵∠ACB=∠A′C′B′=90°,AC=BC=3,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=45°,在Rt△ABC中,AB===3,又∵△ABC≌△A′B′C′,∴A′B′=AB=3,∠C′A′B′=∠CAB=45°,∴∠CAB′=∠C′AB′+∠CAB=45°+45°=90°,在Rt△CAB′中,AC=3,AB′=3,∴B′C===3.
7.C 【解析】如解图,∵S正方形ABCD=13,∴AB=,∵AG=a,BG=b,∴a2+b2=AB2=13,∵(a+b)2=a2+2ab+b2=21,∴2ab=(a+b)2-a2-b2=21-13=8,∴ab=4,∴S△ABG=ab=×4=2,∴S小正方形=S大正方形-4S△ABG=13-4×2=5.
第7题解图
8.25 9.
10.2 【解析】∵方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴b2-4ac=16-4b=0,解得b=4.又∵BC=2,AB=2,AC=b=4,∴AB2+BC2=
(2)2+22=42=AC2,∴∠B=90°,∴AC边上的中线长为2.
11.0 第11题解图 12.2+m 【解析】如解图,连接BD,∵D为AC的中点,∴BD⊥AC,BD平分∠ABC,∴∠BDC=90°,∠ABD=∠C=45°,∴∠BDF+∠FDC=90°,又∵∠EDF=90°,∴∠BDF+∠BDE=90°,∴∠CDF=∠BDE,∴△BED≌△CFD(ASA),∴BE=CF,DE=DF,则BE+BF+EF=BC+EF=2+EF,而Rt△DEF中,DE=DF=m,∴EF=m,则△BEF的周长为2+m. 第12题解图 13.78 【解析】如解图,过点A作AH⊥BC于点H,∵AB=15,AC=20,∠BAC=90°,∴由勾股定理得,BC==25,∵AD=5,∴DC=20-5=15,∵DE⊥BC,∠BAC=90°,∴△CDE∽△CBA,∴=,∴CE=×20=12. 第13题解图 14.3-3 【解析】∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴BC=6,∠B=∠BCA=30°,如解图,将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′,∴∠D′CA=∠B=30°,AD=AD′,∴∠D′CE=60°,∵∠DAE=60°,∠DAD′=120°,∴∠EAD′=60°,∴△EAD′≌∠EAD(SAS),∴ED′=ED,∴ED′+BD+EC=6,∴EC=,∵CD′=BD=2CE,∠D′CE=60°,∴∠D′EC=90°,∴D′E2+EC2=D′C2,即DE2+()2=(×2)2,解得DE=3-3(负根舍去). 第14题解图 15.+ 【解析】如解图,连接DE,在EF上找一点G,使得DG=EG,连接DG,在Rt△ABD中,∠A=60°,∴AD=AB,又∵E为AB的中点,∴AE=AB=DE,∴AD=AE=DE,∴△ADE为等边三角形,∴DE=AD=4cm,∠DEA=60°,又∵EF⊥CD,∠C=90°,∴EF∥CB,∴∠AEF=∠ABC=75°,∴∠DEF=15°,在Rt△EFD中,∠EFD=90°,∵DG=EG,∴∠GDE=∠DEF=15°,∴∠DGF=30°,设DF=x,则EG=DG=2x,FG=x,EF=(2+)x,根据勾股定理得DF2+EF2=DE2,即x2+(2+)2x2=16,解得x=-,∴EF=(+)cm. 第15题解图 16.或1 【解析】 (1)当∠B′MC为直角时,此时点M在BC的中点位置,点B′与点A重合,如解图①,则BM长度为BC=; (2)当∠MB′C为直角时,如解图②,根据折叠性质得,BM=B′M,BN=B′N,B′M∥BA,∴=,即==,∴=,即=,即=,∵BC=+1,∴BM=1.故BM长为或1. 第16题解图 17.解: ∵∠BDC=45°,∠ABC=90°, ∴△BDC为等腰直角三角形, ∴BD=BC, ∵∠A=30°,∴BC=AC, 在Rt△ABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(2BC)2=(4+BD)2+BC2, 解得BC=BD=2+2(负根舍去). 18.解: (1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3; (2)如解图,延长CB,过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E, ∵DB⊥BC,AE⊥BC, ∴AE∥DB,∵D为AC边的中点,∴BD=AE, ∴AE=6,即BC边上高的长为6. 第18题解图 19.解: (1)在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,BC=15,AC=20, ∴AB===25, 即AB的长是25; (2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD, ∴20×15=25·CD,∴CD=12. 20.解: (1)4; 【解法提示】在△ACD中, ∵∠A=60°,AC=AD, ∴△ACD是等边三角形, ∴DC=AC=4. (2)如解图,过点D作DE⊥BC于点E. 第20题解图 在△CDE中,∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°,CD=4, ∴DE=2,根据勾股定理得CE==2, ∴BE=BC-CE=3-2=, ∴DB===.
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