六年级奥数优胜教育第21讲数论综合含答案.docx
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六年级奥数优胜教育第21讲数论综合含答案
第二十一讲数论综合
例1:
将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4×3×2×1=24)。
将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。
请求出这24个四位数中最大的一个。
例2:
一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数?
例3:
由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少?
例4:
从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?
例5:
一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每5米作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差4米?
例6:
某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问:
这一家的电话号码是什么数?
A
1.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.
2.下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这
991个991个
个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.
3.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改?
4.2,3,5,7,11,…都是质数,也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?
5.把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等.
B
6.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.
7.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?
8.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:
8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?
9.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.
10.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除?
如果回答:
“可以”,则只要举出一种排法;如果回答:
“不能”,则需给出说明.
C
11.一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。
问男女生各多少人?
12.2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?
13.03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数?
14.1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积?
15.有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。
1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:
(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?
(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。
(写出解题过程)
1.有____个四位数满足下列条件:
它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。
2.如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数是__。
3.
+
+
=__。
4.甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:
甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小是____。
5.下列数不是八进制数的是()
A、125B、126C、127D、128
1.在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?
2.某班学生不超过60人,在一次数学测验中,分数不低于90分的人数占
,得80~89分的人数占
,得70~79分得人数占
,那么得70分以下的有________人。
3.自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有_______个。
4.三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少?
5.五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数(即一个整数的三次方),这样一组数中的最大数的最小值是多少?
6.一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个是多少?
7.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行.从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的同学留下,其余的同学出列;留下的同学第三次从左向右1至1l报数,报到11的同学留下,其余同学出列.那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是______.
8.有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是l,而是三个不同的质数.那么,这样的三个质数可以是、、.
第二十一讲数论综合
数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括:
整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
基本公式
1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有ab|c。
2.已知c|ab,(b,c)=1,则c|a。
3.唯一分解定理:
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n=p1
×p2
×...×pk
(#)
其中p1 该式称为n的质因子分解式。 4.约数个数定理: 设自然数n的质因子分解式如(#) 那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) 所有约数和: (1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk ) 5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b]×(a,b)。 6.自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法。 7.平方数的总结: ①平方差: A -B =(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。 ②约数: 约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分答案: 把数字分答案,使他满足积是平方数。 ④立方和: A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。 8.十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。 9.周期性数字: abab=ab×101 1.全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分,解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式,并在解题中灵活运用公式。 例1: 将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4×3×2×1=24)。 将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。 请求出这24个四位数中最大的一个。 答案: 不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,c<b=5,c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4; 因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。 而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾。 因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。 这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。 例2: 一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数? 答案: 现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手。 5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。 这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。 例3: 由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少? 答案: 各位数字和为1+3+4+5+7+8=28。 所以偶数位和奇数位上数字和均为14 为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6 那么第3位一定是5,第5位为1,该数最大为875413。 例4: 从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。 按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米? 答案: 边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得(2002,847)=77 所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。 辗转相除示例: 2002÷847=2…308求2个数的最大公约数,就用大数除以小数 847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 例5: 一根木棍长100米,现从左往右每6米画一根标记线,从右往左每5米作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差4米? 答案: 100能被5整除,所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。 这样我们都以从左往右作,可见转化成讨论5,6的最小公倍数中的情况,画图可得有2根距离为4米,所以30,60,90里各有2条,但发现最后96和100也是距离4米,所以总共2×3+1=7。 例6: 某住宅区有12家住户,他们的门牌号分别是1,2,…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除,问: 这一家的电话号码是什么数? 答案: 设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12 根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1,2,….12的公倍数 [1,2,…..12]=27720 所以x=27720m 27720m+9是13的倍数,27720除以13余数为4 所以4m+9是13的倍数m=1,14,27…. 第一家电话号码是27720m+1m取14合适; 因此第一家电话号码是27720*14+1=388081 A 1.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 答案: 一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能 230560或238568 又230560 88=2620 238568 88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 2.下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这 991个991个 个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____. 答案: 33…3□44…4 991个991个 =33…3 10993+3□4 10990+44…4 990个990个 因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要 990个990个 3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6. 3.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改? 答案: 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法: 把1改为0;把4改为3;把1改为9;把2改为1. 4.2,3,5,7,11,…都是质数,也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位? 答案: 由于长+宽是36 2=18 将18表示为两个质数和18=5+13=7+11 所以长方形的面积是5 13=65或7 11=77 故长方形的面积至多是77平方单位. 5.把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等. 答案: 先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等. 14=7 220=2 2 5 21=3 728=2 2 7 30=2 3 57 从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7. 六个数可分成如下两组(分法是唯一的): 第一组: 7、28、和30 第二组: 14、21和20 且7 28 30=14 21 20=5880满足要求. B 6.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____. 答案: 符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有: 39、79. 所以,所求的和是39+79=118. 7.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法? 答案: 把1430分解质因数得1430=2 5 11 13 根据题目的要求,应在2、5、11及13中选用若干个数,使它们的乘积在100到200之间,于是得三种答案: (1)2 5 11=110; (2)2 5 13=130; (3)11 13=143. 所以,有三种分法: 一种是分为13队,每队110人;二是分为11队,每队130人;三是分为10队,每队143人. 8.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下: 8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油? 答案: 于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(加瓶)共重 (8+9+10+11+12+13) 3=21(千克) 而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有 (1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重 千克, 最重的两瓶内的油为13- 2=12(千克). (2)油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重 千克,最重的两瓶内的油为13- 2= (千克),这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去. 9.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____. 答案: 因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15 15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13 13=169不合要求,13 15=195适合要求.所以,答案应是195. 10.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除? 如果回答: “可以”,则只要举出一种排法;如果回答: “不能”,则需给出说明. 答案: 假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾. C 11.一个学校参加兴趣活动的学生不到100人,其中男同学人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的2/5。 问男女生各多少人? 答案: 男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5~3/7之间,同理可得男生在4/7~3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/70~30/70之间,所以只能是29人,这样男生为41人。 12.2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几? 答案: 先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。 由于分解出2的个数比5多,这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。 而能分解出5的一定是5的倍数。 注意: 5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题,如5的倍数有[10/5]=2个。 2005=5×401684=2×2×171 375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2,4个质因子5,要使得乘积的最后4位都是0 应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。 因此□里最小是4。 13.03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息发布及时,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,问04年的招生人数? 答案: 看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设03年的为A ,04年的为B ,从中我们发现04年的比03年多101人,这样我们可以列式子B -A =101 此后思路要很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开, 所以B -A =(A+B)(A-B)=101,可见右边的数也要分成2个数的积,还得考虑同奇偶性,但101是个质数,所以101只能分成101×1,这样A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人数为51×51=2601。 14.1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积? 答案: 最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除2以外都是奇数质因数,可见我们只要找需要多少个2,所以只要看1~2008中2n谁最大,可见210=1024,所以为10个2。 15.有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。 1号同学写了一个自然数,2号说: “这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问: (1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。 (写出解题过程) 答案: (1)首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对。 不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。 因此,这个数能被2,3,4,5,6,7都整除。 其次利用整除性质可知,这个数也能被2×5,3×4,2×7都整除,即编号为10,12,14的同学说的也对。 从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。 (2)这个数是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060 因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是60060。 1.有____个四位数满足下列条件: 它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。 答案: 6 2.如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数 是__。 答案: 设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得: 100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3. + + =__。 答案: 周期性数字,每个数约分后为 + + + =1 4.甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足: 甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小是____。 答案: 题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5×3×3×3,所以丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是: 2×3×3×5=90。 5.下列数不是八进制数的是() A、125B、126C、127D、128 答案: 八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。 1.在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少? 答案: 1+2+……+100=5050 9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495 随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555 2.某班学生不超过60人,在一次数学测验中,分数不低于90分的人数占 ,得80~89分的人数占 ,得70~79分得人数占 ,那么得70分以下的有________人。 答案: 有 、 、 ,说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数,故为[7、2、3]=42的倍数; 又由于人数不超过60人,故这班的人数只能为42人。 从而70分以下的有: 42× =1人。 3.自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数,这样的自然数有_______个。
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