高中数学选修21知识点考点附典型例题.docx

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高中数学选修21知识点考点附典型例题

高二数学选修2—1

第一章：

命题与逻辑结构

知识点：

1、命题：

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句

真命题：

判断为真的语句•假命题：

判断为假的语句.

2、"若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论•

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题•其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题

若原命题为"若p，则q”，它的逆命题为"若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否

定，则这两个命题称为互否命题•中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题若原命题为"若p，则q”，则它的否命题为“若p，贝Uq”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否

定，则这两个命题称为互为逆否命题•其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否

命题.

若原命题为"若p，则q”，则它的否命题为“若q，贝Up”.

6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

真

假

假

假

假

四种命题的真假性之间的关系：

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

7、若pq，贝Up是q的充分条件，q是p的必要条件.

若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）.

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq.

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题.

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq.

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假

命题时，pq是假命题.

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p.

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题.

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示.

含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x,px”.

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题"存在中的一个x，使px成立”，记作"x,px

px.全称命题的否定

10、全称命题p:

x,px，它的否定p:

x

是特称命题.

考点：

1、充要条件的判定

2、命题之间的关系

典型例题：

★1.下面四个条件中，使

ab成立的充分而不必要的条件是

A.ab1

B.

ab1

小2i2

C.ab

D.

3.3

ab

★2.已知命题P：

n€N,2n>1000，贝U

P为

A.n€N,

2n<1000

B.

n€N,

2n>1000

C.n€N,

2n<1000

D.

n€N,

2nv1000

★3."x1"是"|x|1"的

A.充分不必要条件

E.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

第二章：

圆锥曲线

知识点：

1、平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

2、椭圆的几何性质:

焦点的位置

图形

焦点在

X轴上

kJ

一.（一-皆

2

焦点在y轴上

标准方程

X

a

£i…

y

2a

bia

b0

范围

a

xa且

byb

b

xb且

a

y

i

a,0、

2a,0

i

0,a、

2

0,a

顶点

i

0,b、

20,b

i

b,0、

2

b,0

轴长

短轴的长2b

长轴的长

2a

焦占

八'、八、、

Fi

c,0、

F2c,0

Fi

0,c、

F2

0,c

2

2

2

焦距

F|F22c

对称性

关于X轴、y轴、

原点对称

离心率

1a

准线方程

3、设是椭圆上任一点,

占

八、、

到Fi对应准线的距离为di，点

到F2对应准线的距离为

d2，则

Fi

di

F2

d2

4、平面内与两个定点Fi,

F2的距离之差的绝对值等于常数（小于

F1F2）的点的轨迹

称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.

5、双曲线的几何性质：

焦点的位置

焦点在x轴上

图形

J'

r

匚

r

1N

卜

焦点在y轴上

2

2

2

2

标准方程

x

爲ia0,b0

y_

~2

書ia

0,b0

a

b2

a

b2

范围

x

a或xa,yR

y

a或y

a,xR

顶点

1

a,0、2a,0

i

0,a、

20,a

轴长

虚轴的长2b

实轴的长

2a

焦占

八\、八、、

Fi

c,0、F2c,0

Fi

0,c、

F20,c

焦距

FiF22cc

22.2ab

对称性

关于x轴、y轴对称，

关于原点中心对称

离心率

e2i

b2ei

a

a

准线方程

a2

a2

渐近线方程

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

7、设是双曲线上任一点，点

到Fi对应准线的距离为di，

占

八、、

到F2对应准线的距离

为d2，则

Fi

di

F2

d2

8、平面内与一个定点F和一条定直线丨的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为

抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.

9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于

两点的线段

，称为抛物线的“通

10、抛物线的几何性质:

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦占

八'、八\、

准线方程

离心率

范围

考点：

1、

2、

2

y2px

圆锥曲线方程的求解

y

0,0

直线与圆锥曲线综合性问题

2

x2py

F0,

3、圆锥曲线的离心率问题

典型例题:

★★1•设双曲线的左准线与两条渐近线交于

A,B

两点,

左焦点在以

AB为直径的圆内，则

该双曲线的离心率的取值范围为

C.

B•（1八2）

★★★2.设椭圆

22

xy

—牙1（ab0）的左、右焦点分别为F1,F2。

点P（a,b）满足

ab

IPF2IIF1F2I.

（1）求椭圆的离心率e；

（n）设直线

PF2与椭圆相交于A,B两点，若直线PF2与圆（X1）（y、3）16

相交于M,N两点，且IMNI5|AB|，求椭圆的方程。

8

第三章：

空间向量

知识点：

1、空间向量的概念:

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示

向量的方向.

uuruuu

3向量的大小称为向量的模（或长度），记作

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a.

6方向相同且模相等的向量称为相等向量.

2、空间向量的加法和减法：

1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行

四边形法则•即：

在空间以同一点为起点的两个已

rr

知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起

uuirrr

点的对角线

C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.

2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

uuurruuu

形法则.即:

在空间任取一点，作a,

uuurrr

则ab.

B-

a方向相同；当

o时，a与a方向相反；当o时，a为零向量，记为

的raro

3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算.当o时，a与

长度是a的长度的倍.

4、设

为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.

分配律：

a

ab；结合律：

a

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行

向量，并规定零向量与任何向量都共线.

rrr

6、向量共线的充要条件：

对于空间任意两个向量a,bb0,a〃b的充要条件是存在

rr

实数，使ab.

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

r1

10、对于两个非零向量a和b,

rb

ra,

若

ii、已知两个非零向量a和b

ra

►Hu

贝

，则向量a,b互相垂直，记作ab.

2

rrr

cosa,b称为a,b的数量积，记作ab.即

8、向量共面定理：

空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x,y，使

uuuuuu

x

uuur

yC；或对空间任一定点，有

uuu

uuur

uuur

x

uult

yC；或若四点，,

uuu

mur

unruuu

C共面，

则

x

yzCx

y

z1

.

rr

uuur

r

uuurr

9、已知两个非零向量

a和b,

在空间任取一点

作

a,

b，贝U称为

向量a，b的夹角，记作a,b.两个向量夹角的取值范围是:

aba〔|bcosa,b.零向量与任何向量的数量积为o.

12、

ab等于a的长度

a与b在a的方向上的投影

bcosa,b的乘积.

13、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有ieaa

acosa,e

4cosa,b

14、量数乘积的运算律：

1ab

15、空间向量基本定理：

若三个向量

ab；与b同向rr

rrrr，aaaba与b反向

r

I

a

b

a,b,c不共面，则对空间任一向量

P，存在实数

组x,y,z，使得pxaybzc•16、三个向量a,b,c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppx0ybzc,x,y,zR.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,

a,b,c称为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以

构成空间的一个基底.

urrnir

17、设e,e,q为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底）

irurir

以e,佥,Q的公共起点

irurir

为原点，分别以e,e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正

方向建立空间直角坐标系

xyz.则对于空间任意一个向量

定可以把它平移，使它的

nr

起点与原点重合，得到向量

存在有序实数组x,y,z,使得

pxir

Li

ye2

ze3•把x,y,z称作向量p在单位正交基底

irnir

e,,e3下的坐标，记

rp

x,y,z•此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系

xyz中的坐标x,y,z

18、设a

ra

y1

X2,

X1

2

z

乙

y2,

rb

ra

X1

X1

y1>

rb

ra

卷

X1

◎

乙

y1

5若a、b为非零向量，则a

6若b0，则a//ba

rbrb

◎KT

X1olbra

y1

卷

X1

cos

-22

yizi.

a,

Xi,yi,Zi,

19、在空间中，取一定点

x-|x2

~222

Xiyizi

y°2ZiZ2

~22

y2Z2

x2,y2,z2，则d

luur

222

X2Xiy2yiZ2zi

作为基点，那么空间中任意一点

uuu

的位置可以用向量来表

uuu

示.向量称为点的位置向量.

20、空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点以及一个定方向确定.点是直线

ruuur

I上一点，向量a表示直线I的方向向量，则对于直线I上的任意一点，有ta，这样

占

八、、

和向量a不仅可以确定直线

I的位置，还可以具体表示出直线I上的任意一点.

21

、空间中平面的位置可以由

内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点

，它们的方向向量分别为

为平面

上任意一点，存在有序实数对x,y，使

uuurr

xayb，这样点

与向量a,b就确定了平面的位置.

22、直线I垂直，取直线

I的方向向量a，则向量a称为平面

的法向量.

23、若空间不重合两条直线

b的方向向量分别为a,b，则

a//ba//b

24、若直线a的方向向量为

平面

的法向量为n,且

，则all

a//

a//n

25、若空间不重合的两个平面

的法向量分别为

，贝U//

a//b

26、设异面直线a,b的夹角为

，方向向量为a,

，其夹角为，则有

为，则有sincos

iruu

28、设n1，n2是二面角

I的两个面

的法向量，则向量

irui

m，n2的夹角（或其

补角）就是二面角的平面角的大小.若二面角丨

29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量

的平面角为

，则

cos

uuu

uur

的模

计算.

30、在直线I上找一点，过定点

且垂直于直线丨的向量为n，则定点到直线丨的距离

uuuuuu

cos

uuur

n

n

31、点是平面外一点，是平面

uuu

uuur

平面的距离为d

cos,n

内的一定点,

uuur

n

n.

n为平面

的一个法向量，则点

cos

27、设直线I的方向向量为丨，平面的法向量为n,i与所成的角为，丨与n的夹角

考点：

i、利用空间向量证明线线平行、线线垂直

2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题

典型例题:

★★1.已知正方体ABCD—AiBiCiDi中，E为CiDi的中点，则异面直线AE与BC所成角

的余弦值为

二

★★★2•在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，

/ACB=90,EA丄平面ABCD,EF//AE,FG//EC,E

G//AC.AB=2EF

（I）若M是线段AD的中点，求证：

GM//平面ABFE

（H）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小.

★★★3.如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA平面ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,

ABC45,AB2,2,BC

2AE4，三角形PAB是等腰三角形。

（I）求证：

平面PCD平面PAC;

（n）求直线PB与平面PCD所成角的大小;

（川）求四棱锥P—ACDE的体积。