山东省烟台市届高三模拟考试一模数学含答案.docx
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山东省烟台市届高三模拟考试一模数学含答案
绝密★启用前
2020年高考诊断性测试
数学
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰.超出答
题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求。
1.已知集合Mxyln(x1),N
A.(1,0)B.(1,+)
3.设xR,则“|x2|1”是“x22x30”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
4.数列Fn:
F1F21,FnFn1Fn2n2,最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年
所著的《算盘全书》.若将数列Fn的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an,
则数列an的前50项和为
a.33b.34c.49d.50
uuuruuur
5.设ABCD为平行四边形,|AB|4,|AD|6,BAD.若点M,N满足
uuuruuruuuruuuruuuuruuur
BMMC,AN2ND,则NMgAM
a.23b.17c.15d.9
6.右图是一块高尔顿板示意图:
在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下
后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落
过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入③号球槽的概率为
3
A.
32
15
B.
64
5
C.
32
5
D.
16
2
y1的两条切线,A,B为切点,
2
7.设P为直线3x4y40上的动点,PA,PB为圆C:
(x2)2
则四边形APBC面积的最小值为
A.3
B.23C.5D.25
8.已知函数f(x)
x
e
x
e
实数m,n满足不等式
f(2m
n)
f(2
n)0,则下列不等关系成立
的是
a.mn1
b.mn1
c.mn1
d.mn1
4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.2020年春节前后,一场突如其来的新冠
肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防
控就是责任.在党中央的坚强领导和统一
指挥下,全国人民众志成城、团结一心,
掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的
人民战争.右侧的图表展示了2月14日至
29日全国新冠肺炎疫情变化情况,根据
该折线图,下列结论正确的是
A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降
19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
22
xy
10.已知P是双曲线C:
1上任一点,A,B是双曲线上关于坐标原点对称的两点,设直线
3m
2
PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k20),若|k1||k2|t恒成立,且实数t的最大值为23,则下
3
列说法正确的是
2
A.双曲线的方程为xy21
3
B.双曲线的离心率为2
C.函数yloga(x1)(a0,a1)的图象恒过C的一个焦点
D.直线2x3y0与C有两个交点
11.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P,M分别为棱
CD,CC1的中点,Q为面对角线A1B上任一点,则下列说法正确的是
A.平面APM内存在直线与A1D1平行
C.直线AP和DQ所成角可能为60o
12.
),下列说法正确的是
关于函数f(x)exasinx,x(
A.当a1时,f(x)在(0,f(0))处的切线方程为2xy10
B.当a1时,f(x)存在唯一极小值点x0且1f(x0)0
C.对任意a0,f(x)在(,)上均存在零点
D.存在a0,f(x)在(,)上有且只有一个零点
4小题,每小题5分,共20分。
13.已知tan2,则cos(2
14.(x31)(2x1)6的展开式中x3项的系数是(用数字作答)
15.已知点A,B,C在半径为2的球面上,满足ABAC1,BC3,若S是球面上任意一点,
则三棱锥SABC体积的最大值为
2
16.已知F为抛物线x2py(p0)的焦点,点A(1,p),M为抛物线上任意一点,|MA||MF|
的最小值为3,则抛物线方程为,若线段AF的垂直平分线交抛物线于P,Q两点,则四边形
APFQ的面积为.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosA3(bcosC+ccosB).
(1)求角A;
(2)若b23,BC边上的高为3,求c.
18.(12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,bn是各项均为正数的等比数列,a1b4,,b28,
115
b13b34,是否存在正整数k,使得数列{}的前k项和Tk15,若存在,求出k的最小值;
13Snk16
若不存在,说明理由.
从①S420,②S32a3,③3a3a4b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中并作
1000名社区居民参与问卷测试,并将问卷
得分绘制频率分布表如下:
得分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男性人数
40
90
120
130
110
60
30
女性人数
20
50
80
110
100
40
20
1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于
2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”
分)两类,完成22列联表,并判断是否有95%的
把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”
有关?
60分的概率;
3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取10
*
人,连同n(nN)名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这n10人中随机抽取3人作
临界值表:
为队长,且男性队长人数的期望不小于2,求n的最小值.
2
P(K2k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(12分)
Ilnx
已知函数f(x)a(aR).
x
(1)若f(x)0在(0,)上恒成立,求a的取值范围,并证明:
对任意的nN,都
II1
有1Lln(n1);
23n
2x
(2)设g(x)(x1)e,讨论方程f(x)g(x)实数根的个数.
22.(12分)
22
已知椭圆C:
x2y21(ab0)过点M(2,2),且焦距为4.
ab
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P为直线l:
y22上一点,Q为椭圆C上一点,以PQ为直径的圆恒过
坐标原点O.
22
(i)求OP4OQ的取值范围;
(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ相切?
若存在,求出该定圆的方程;若不存在,
说明理由.
1.C2.B3.A4.B二、多项选择题
9.BC10.AC11.BC
13.514.300
17.解:
(1)因为2acosA
所以2sinAcosA
即2sinAcosA
又BC
A,所以
所以2sinAcosA
而0A
cosA所以
所以A
2020年高考诊断性测试
数学参考答案
5.B6.D7.A
12.ABD
3+23
15.12
8.C
16.x24y,43
3(bcosC+ccosB),由正弦定理得
3(sinBcosC
3sin(BC),
sin(BC)
3sinA,
sinA
3
2,
sinCcosB)
sin(
A)
sinA
1分
2分
3分
4分
SABC
2)因为
1bcsinA
2
1ahBC
2BC
5分
将b23,
sinA
1
2代入,得
3c
3
6分
2bccosA,
于是(33c)2
(23)2
22323c
8分
10分
2
即c9c180,解得c3或c6.
18.解:
设等比数列
bn的公比为q(q0),则
8
q,b38q
6分
8分
9分
838q4
于是q,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
12
2qq
即6qq20,解得2,3(舍去).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
43
b2S44a1d20
若选①:
则a1b42,2,
解得d2,
n(n1)2
Sn2n2nn
所以2
1111
Snn(n1)nn1
115
1
令k116,解得k15,因为k为正整数,所以k的最小值为16.⋯⋯12分
32
ab23a1d2(a12d)ad2
a1b42,2,解得a1d2.
.
9分
131311
()
Sn2n(n2)4nn2
注意到
Tk
31
[
(1)
43
15
31(1
42
111
()L(
24k1
1k12)
9834(k1
2),
16,得k1k2
1
4,
k为正整数,解得k
k11)
11
kk2)]
10分
7,所以k的最小值为7.
12
19.解:
(1)证明:
延长EG交BC于点D,点D为BC的中点,
D,E分别是棱BC,AB
所以DE是ABC的中位线,所以
DE//AC,
2分
又DE
平面PAC,AC
平面PAC,
所以DE
//平面PAC
EF//平面PAC
3分
又DEI
EFE,DE平面DEF,EF
平面DEF,
所以平面
DEF//平面PAC,
4分
GF
平面DEF,所以GF//平面PAC.
5分
2)连接PE,因为PAPB,E是AB的中点,所以
PEAB,
又平面PAB平面ABC,平面PABI平面ABC
AB,PE平面PAB,
所以PE平面ABC.
uuuruuur
E为坐标原点,以向量EB,EP所在的方向分别作为
y轴、z轴的正方向,以与向量
uuuruuur
EB,EP
垂直的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
Exyz
6分
设EB1,则E(0,0,0),P(0,0,1)
11F(0,21,12)
G(63,12,0)
uuur11uuur
FE(0,21,12)FG
(63,0,21),
uuurFP
11(0,21,12)
7分
设平面EFG的一个法向量为m(x,y,z)
11分
(3,1,1)
12分
所以平面CFG与平面EFG的所成的锐二面角的余弦值为
20.解:
(1)由调查数据,问卷得分不低于60分的比率为
1301109011010060
0.6
1000,
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
不太了解
比较了解
2)由题意得列联表如下:
男性
250
330
女性
150
270
1000(250270330150)2
k5.542
K2的观测值400600420580
5.5423.841
所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关
3)由题意知,分层抽样抽取的10人中,男性6人,女性
4人.
随机变量
0,1,2,3,
其中P(
0)
Cn06C43
Cn310
P
(1)
Cn16C42
Cn310
P(
2)
C2C1
Cn6C4P(
C3,n10
C3
3)C3n6
Cn310
所以随机变量的分布列为
Cn06C43
Cn310
C1n
Cn2
可得,
6(n
6)
0
1
2
3
P
03
Cn6C4
Cn16C42
Cn26C14
C3
Cn6
C3
Cn10
C3
Cn10
C3
Cn10
C3
Cn10
0Cn16C42
C3n10
Cn26C14
Cn310
C3
Cn632
C3
n10
6C412Cn36
32Cn3
10,
1
4(n6)(n5)(n
1
6)(n5)(n4)(n10)(n9)(n
3
3分
5分
6分
7分
9分
10分
8)
2
3(n6)(n217n72)2(n10)(n9)(n8)
解得n2
12分
21.解:
(1)由
f(x)0可得,
1lnx
a(x0)
x
h(x)令
1lnx
x,则
h(x)
1
x(1lnx)x
lnx
2x,
1分
(0,1)时,h(x)
0,h(x)单调递增,当x
(1,+)时,h(x)0,h(x)单调递减,故h(x)
在x
1处取得最大值,
3分
要使
1lnxa
x
ah
(1)1,
故a的取值范围为
a1,
4分
1lnx
显然,当a
1时,有
1
,即不等式
lnx
1在(1,
n1x令n
1(n
)
,则有
lnn1
所以
ln21
3
lnL
2
lnn1
n
1即:
13L
ln(n
1)
1lnx
2)由f(x)
g(x)可得,
令t(x)1
lnx
(xx
1)2ex
,则
x(0,1)时,t(x)
6分
(x
1)2
x
e
,即
1lnx
(x1)2ex
t(x)
lnx
(x2
1)ex
,
8分
0,t(x)单增,当
(1,+)时,t(x)
0,t(x)单减,
故t(x)在x1处取得最大值t
(1)1,
10分
所以,当a1时,方程f(x)g(x)有一个实数解;当a1时,方程f(x)g(x)有两个不同
12分
a1时,方程f(x)g(x)没有实数解.
22.解:
(1)将点的坐标代入椭圆C的方程得
2)设P(t,22),Q(x1,y1).因为以PQ为直径的圆恒过点O,
22
x1y1
Q点在椭圆上,所以84
22
7分
所以OP4OQ的取值范围为[36,).
22
ii)存在.定圆的方程为xy4
假设存在满足题意的定圆,则点O到直线PQ的距离为定值
P(t,22),Q(x1,y1),所以直线PQ方程为
整理可得(y122)x(x1
t)yty122x10,
8分
9分
d
所以O到直线PQ的距离
|ty122x1|
(y122)2(x1t)2,
x1t
i)知,122,得
23224t2
x12y12
t4,t4,
x1t22y10,注意到x1
t22y1
0,知x1
2
22x1||x1|(t28)=2(t228)
22t24,
又(y122)2(x1t)2y12x12t2842y12tx1
|ty122x1|2r
(y122)2(x1t)2
22
PQ与圆xy4恒相切.
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