衡水金卷广东省届高三冲刺大联考数学试题含答案解析.docx
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衡水金卷广东省届高三冲刺大联考数学试题含答案解析
绝密★启用前
2021届高三冲刺联考
数学试卷(新高考)2021.4
本试卷共4页,22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
'1•答曲前•先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上•并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2•选择题的作答:
选出每小题答案后•用2B铅笔把答题卡上对应题冃的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3•填空题和解答题的作答:
用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域內。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结朿后•请将本试题卷和答题卡一并上交。
1.单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共"分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|2x-x2<0},B=U|x A.{x\j: ^0} C.{x|^ 2. Df 已知z(2+i)=i-l,则z的虚部为 A. 55 3.已知cos(j•—专则cos A.-| _9_11 A.—3B-35C,45〜9 5.已知函数心)"一f(12+2的导数为fS则/(文)的图象在点(2J (2)〉处的切线的斜率为 A.16B.12C.8D.-8 6•—个长方体的平面展开图如图所示•其中AB=4,AD=2.DH=y2•点M为A3的中点•则将该长方体还原后与CM所成角的余弦值为 8.在西方•人们把宽与长之比为臂1(号Uo.618)的矩形称为黄金矩形•这个比例密丄(与丄=0.618)被称为黄金分割比例.如图,名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画血的主体部分便很好地体现了黄金分割比例中矩形ABCD.矩形BCFE.矩形•矩形GE丿人矩形OKU均为黄金矩形•若画中点G与点K间的距离超过3.2cm,点C与点F间的距离不超过14cm,则该名画中小与£间的距离可能为 (参考数据: 0.61刃〜0.1460618汪0・090061gO.056,0.61g0.034) A.34cmB36cmC.37cmD・37.5cm 2.多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9•随着互联网和物流行业的快速发展•快递业务已经成为人们口常生活当中不町或缺的垂耍组成部分•下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图■则关于这9年的统计信息,下列说法错谋的是 2012-2020年我国快递业务虽变化情况 900科90.0% A.这9年我国快递业务虽冇增冇减 B.这9年我国快递业务虽同比增速的中位数为51.4% C.这9年我国快递业务虽同比增速的极差未超过36% D.这9年我国快递业务昴的平均数超过210亿件 10.已知(3—2%)7=ao+aiQ—l)+d2(z—1)'+…+。 7(*一1)',则下列结论正确的是 A・=1 C・do—a\+a2- B.ax-\-a2+=—1a6—a7=^D.心=—7 11•已知函数./、3=弘(3・卩)@>0」卩|<芳)的部分图象如图所示•将/3的图象向右平移 a(a>0)个单位长度•得到甬数gQ),若gQ)满足班2兀一•则下列结论正确的是 B•咗 C.sin(2a—于)=±1 D°的最小值为聖 12.已知双曲线C: 务一£=1(°>0">0)的右顶点■右焦点分别为A.F•过点A的直线Z与C的一条渐近线交于点Q•直线QF与C的一个交点为B•局•AB=AQ•丽•且BQ=3FQ.则下列结论正确的是 A.直线Z与工轴垂直 B.C的离心率为笔逅 0.C的渐近线方程为y=土攀工 D.|FQ|=|OF|(其中O为坐标原点) 三、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知平面向量满足|a|=2・|b|=l・(2a—34•b=-l.则向量a与b的夹角的余弦值 为・ U.2O21年2月初•我国黑龙江省S市发现由境外输入病例引起的多起新冠肺炎病例•菜疾控中心派岀5名(4男1女)工作人员前往疫情较严垂的AUC三个村庄进行抗疫工作•若要求每个村庄声排/名男丁作人员■则不同的分配方法有种. 15•设椭圆cM+签=1(°>方>0)右焦点为F,椭圆C上的两点关于原点对称•焦距为b 2岳•|PF|—|QF|且PF丄QF•则椭圆C的方程为. 16•蹴鞠,又名“蹴球以蹴圆"等「蹴"冇用脚蹴、踢的含义「鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球.因而''蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,类似今日的踢足球活动,如图所示.已知某•'鞠”的表面上有四个点满足AB=BC=CD=DA=DB=10cmMC=15cm•则 点A到平面BCD的距离为cm•该"鞠”的表面积为cm2.(本题第一空2 分•第二空3分) 4.解答题: 本题共6小题,共70分。 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)、 在①巴¥=嬰£―;©cosA=VJsinA—1‘③松cos£=sinA这二个条件中任选一 c—bsinA-sinnL 个•补充在下而的横线上•并加以解答. 问题: 已知AABC的内角AJ3.C所对的边分别是a.b9c,b-c=49^ABC的外接圆半径为2血,且,求角A及ZVIEC的边BC±的高人• 注: 如果选择多个条件分别解答•按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分) 已知数列(6}的前”项和为)・尙=2,2吧严⑵一1)心+】(1〉求数列{久}的通项; ⑵求数列: : 汨的前"项和T“. 19.(本小题满分12分) 如图•在四棱锥P-ABCD中•底面ABCD为直角梯形MD#ZADC=90\平面 PAD丄底面ABCD,ZPBC=9Q\PA=AD=2BC=2,CD=y/3. (1)求证: PA=PDj (2)求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值. 20.(本小题满分12分〉 某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员•招聘分笔试、面试这两个环节•笔试合格后才能参加面试•面试合格后便正式录取•现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人199Q 社团招聘•假设甲通过笔试、面试的慨率分别为*符;乙通过笔试■面试的概率分別为亍亍,丙通过各环节的概率与甲相同. (1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率; (2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率; (3)为披励大一新生积极报名参加机器人社团招聘,该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费,赠送标准如下表: 參与环节 笔试 而试 手机话费(元) 20 30 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元•求X的分布列和数学期望. 21.(本小题满分12分〉 已知焦点为F的抛物线C: y=2/>x(/>>0)经过圆D: (x-4)2+(^-4)2=r2(r>0)的圆心,点E是抛物线C与圆D在第一象限的一个公共点,且\EF\=2. (1)分别求"与厂的值; ⑵直线lzy=kx^rZ交C于八两点,点G与点A关于工轴对称,直线AG分别与宜线OD.OB交于点M・N(O为坐标原点),求证: 笞勢=*. 22.(本小题满分12分〉 已知函数/(工)=(/十I一屆(《r+l)(aWR〉・ (1)若/(»存在极值•求a的取值范尚 (2)当aVO时•证明: /(x)-e2ln(x-Fl»0. 2021届高三冲刺联考 数学参考答案及评分细则 一、单项选择题 1.C【解析】因为0或•丁鼻2几所以AUB= {x\x<}或x>2L故选C cc“2i-1仃一1〉(2一01( 2.D【解析】因为z=2~T^=[=——: 寻i・所以汀勺虚部为普.故选D. 3・A[解析]cos(¥_才)=cos[托_(#_守)]= 7.D【解析】易知/(-x)=/(.r),故/(刃为偶函数. 且当工>0时.心=2』_右为增函数•/(】)=号•故 f(log*】)+/(iogl.ZH)=y(logs;//)+/(—Io如〃J=a 2/(log3m»3=2/(D-即/(logx/W»/(l),故log,m 冬一1或logwy解得”】€(0.-|-U[3.+oo)・故 cos(灵)=普.故说EA. 4.B【解析】设数列(心)的公差为d(〃H0)・首项为 选D・ S・B【解析】由黄金矩形的定义可知箸=篇=筹= 5•因为心一心+务=0・所以5—一A"+ 狰驴臂•所嚨•焉. EG CF =0•所以4=今〃・所以蚤=計 〜0・090•所以 GiGK=GKEG*GT~Aii' G+3〃=9 =5(綸+2d)=^・ 故选B. 牆〉翳〜忌56(cm).黑•焉 CF_ AB 5.C【解析】由题知/工)=3工I八》•令工=1.得/ (1)=3-2/ (1).所以/ (1)=1.所以ff(r)= 3卡一2•"故/(R的图象在点(2・/(2〉)处的切线的斜 率为Z (2)=8.故选C・ 6.B【解析】将该长方体还原后的直观图如下图所示, 取CD的中点N•则易证得AN//CM.所以ZHAN (或其补角)即为异面直线八“与CM所成的角•易求 得AN=CM=2近、AH=HN=4^•由余弦定理得 36.84(cm).即ABC(35.56.36.84),对照各选项,只冇B符合•故选B・ 二、多项选择题 9.ABC【解析】由条形图可知•这9年我国快递业务fit逐年增加•故A错误;将各年我国快递业务宦同比増速按从小到大排列得: 25・3%.26・6%.28.0%. 30・5%.48・0%,51・4%.51.9%.54.8%.61.6%.故 中位数为第5个数48.0%•故B借误;这9年我国快 递业务虽同比增速的极差为61.6%-25.3%= 36・3%>36%•故C错误;山条形图可知.口2016年 起•各年的快递业务屋远超过210亿件•故快递业务 量的平均数超过210亿件・D正确•故选ABC. 10./\C【解析】令》=1•得(3⑵7=心=1•A正确;令丁=2•得(3—4);=4°十“1+◎+•••+"=—1•所以心+如+・・・+如=(—1)—1=—2.B错i吴;令丁=0•得如一©+乞一…+偽—岔=3’,C正确$令X—1=仁则(3-2."=(1-2"的展开式的通项为T..,=(—2〉「C"・所以心=(—2〉弋殳=448・故D错误.故选AC 11.ACD【解析】由图知的图象过点(令•) (兀\7T7T•••r**2TC (丁①・m…—…丁=面 0"y=2・由图象过点(务0)・且在单调递减区间内•得gin(2Xy+^)=0.则2X守+卩=2肚+n(keZ)9则管=2虹Iy(ZreZ),Vl^Ky.A^=y,•••f(.r)=sin(2工+专)・g(才)=sin]2d•—“)+十]=sin(2jt—2a+字)•故八正确・B错误;由02rr—Q=£(・厂)•得”(疋)的图象关于直线.r=n对称,Ag(7r)=sin(27t-2a+y)=—sin(2«—-y)=±1>C正确;于是得2a号4-^7T(^GZ〉•<2=證4令(AWZ)•乂a>0•・: Atnh=將故D正确•故选ACD. 12.AB【解析】由已知得Aa・0>・设FGO).由花• 乔=X3•咸得屁•(AB+BF)=AQ-AF=O.所以2丄工轴.即“戈=a,A正确;设B(.如,刘〉,曲BQ=373•得BF=2•所以(r-.ro,-= (才。 =3c—2“・ 2(a—c,6)•所以Q即B(3c—2a^—2b).因为点"〈跖pQ在双曲线上,所以;'(—/"=]•整理得9疋一12心一/=0・所以9/一12e-l=0.解得幺=笛匡或《=气匝(负值舍去八 B正确吕=/—1=(省盯一1=却■故C的渐近线的斜率的平方为峥.0错谋;不妨设点Q在第一象限•则Q(宀小,所以IFQ|=/FM+IAQF=•*—』+//H|OF|,D错说故选AB. 三、填空题 13.-y【解析】设向址a与b的夹角为久山(2d—3b)•力=一1・可得2a•/=-1=>2X2X1Xcos0—3=—1=>COS0=*・ 14.108【解析】不同的分配方法数为N=QA舟川=108. 15.召+石一1【解析】设椭圆C的左俶点为F'•则由椭圖的对称性可知・IPF|-IQF\=\QFf\-\QF\ IQF'I=^・ =a,又IQF'丨+|QF|=2a.解得<由 lQF|=y, FF丄QF•得ZFQF=90°・ftj勾股定理可得|QFT +|QF'|2=|FF'|2,即器+孕=20,解得a=2罷・ 44 •••2(=2岛•则「=岛・••丿=J&Y=站•因此•椭岡0的标准方程为壬+£=1・ 16•乎•警【解析】由已血得△MD.MBD均为等边三角形.如图所示. 设球心为。 •设△BCD的中心为(儿取BD的中点 F■连接AF.CF.CXf.0B•C/B.AO.则AF丄BD.CF丄"D•得"D丄平而AFC.且可求得AF=CF=5庙cm•而AC=15cm•所以Z/1FC=120\在平面AFC中过点八作CF的垂线•与CF的延长线交于点E,|||也丿丄平面AFC,得BD丄AE•故AE一平面BCD.H点O作(X)±AE于点G•则四边形(fEGO是矩形•则O'B=BCsin60°><#=上¥區(cm).O'F二yOzB=^ 5cm・R=/p\m・故三棱锥ABCD外接球的表而积S=47rR2=^(cm2). 四、解答题 17•解: 选择①: 由"+? =―羊“―•得(a+〃〉(sinA—sinB)=c—bsinA—smn sinC(c—b). 山正弦定理•得(“+仍("一〃)=《・((一〃)• 整理^a2=b2+c2-bc. 宙余弦定理得a2=fr24-r-^=>-(•)'-6c=16-F处=36. 所以加=20、所以△ABC的而积S=y6c5inA=^ah OAy "=泌也=卡_=警 a63 (8分) (9分) (10分) 选择②: 由cosA=y3sinA—1. 得倆sinA-cosA=1.即sin 因为 fl分) 由正弦定理得a=473sin-y=6,(6分) 由余弦定理得a2=1/+c2-&c=(b-c)z+bc=16+处=36. 所以加=20.(8分) 所以△ABC的而积S=yZresinA=ya/: •(9分) 所以(]o分) ab3 选择③: 因为vgcosy-=sinA=2sin今cos令, A 又cos丁工0・ 由余弦定理得宀沪+/+如=5—C+3如=16 •: AD//BC.Q为AD的中点.AD=2BC=2, +3仇*=36, : .BC//QD.BC=QD, AAD丄平面PBQ. (5分) 当n>2时-5..-i=(1-^7)«.., •••PQU平而PHQ. •••PQ±/UZ 两式作差. 由Q为AD的中点•得PA=PD. (6分) (2)・・•平面PAD丄平而ABCD.平而PADD平而 AI3CD=AI).PQ丄AD,•••PQ丄平而ABCD. (7分) 当”=1时,$=6=存血=右口=4,鈔2 (4分)以Q为原点•分别以QA.QB所在宜线为忆轴. 所以数列是以2为首项.2为公比的等比数列. y轴轴•建立空间直角坐标系. 所以心=2”. (2〉由 (1)知上=夕・ 所以匚=*+务+寻务 (5分) (6分) (7分) 则Q(0.0.0).A(1.0-0).P(0,0,a/3).B(0.V3,0), C(-l,73,0), 两式相减•得*亿=*+£+・・・+£—2冲 APC=(-1・V7・一再)■乔=(一1.0•打),乔= 设平面PAB的一个法向呈为n=(.x,y.z')・ 则、 AP•n=0. ->即 Ali•n=0, —x+>/3z=0. —,r+>/^y=0. 令z=1•得/t=(V3・1・1)■ (10分) 设直线PC与平WPAB所成的角为0・ 则sin0=EC•川—丨一再十再一VTI— ircil/rl 77X^5 35・ 即应线FC与平面PAB所成的角的止弦值为 (3)X的所有可能取值为60.90.120.150. F(x=60)=|x|x|=±, P(X=9Q)^2X±x|x|+|x4-X±=±_1 _T, P P(X=150)=—X—X—^—=— 八a223126・ 所以X的分布列为 (12分) 20•解二I)设來件A表示“甲被机器人社团正式录取”. 爭件B表示“乙被机器人社团正式录取J事件C表 示••丙被机器人社团正式录取”. X 60 90 120 150 P 1 1 5 1 12 T 12 T 所以E(X)=60X^2I90XyI120X誇I150X 1? 1 则卩⑷=P(C)=*X^=寸 f 所以甲、乙、丙三人中恰右两人被机器人社团录取为新成员的概率为P=P(AIiC^AliC+ABC)=P(A〉P(B)P(C)十P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)-P(C)=2X(l-y)XyXy4-yX(1y)X (4分) 318*77 (2)设爭件D表示“甲、乙、丙三人中恰有三人被录取”, 则P(D)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-^XyX丄=丄 T18' 所以甲.乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率为P=1—P(D)=1—令=||. 〈8分) y=110.(12分) 2i.fi? : ih已知得抛物线C过点Dam 所以16=2pX4・所以”=2・(2分) 即抛物线C的方程为y2=Ax. 设点EQo°o)(m>0>, 则|EF|=g+l=2・ 所以如=1.(3分) 于是得”=丿硏=2.即E(l・2)・ 将点E的坐标代入101D的方程•得r=(l-4)24-(2-4)2=13, 所以r=yry.(5分) (2)设A(.rt』)»B(x2,yz)• 则GC.r,.—ji)•显然••巧•与均不为0. (\»=虹+2・ 联立厂消去,•得心F+(从一4)工+4 =0. 由题意得W且6=(4殳一4尸一16於=16—32走〉 0•即 则+斗=」①,4牝=+②.(6分) 因为D(4.4)•所以也线OD的方程为y=工・ 故M(xit.ri)・直线⑼的方程为旷知'故Ng詈). 若耍证明論芻=*•即证|AM|=|MN|,只需证 2w=*+y、•,即证卫艺+y=2.r,・ 即证疋Iy-i+xzyI=2紬他.(8分) [yi=kxi+2, 将f代入上式•即证(5+2)^+(^ [y>=kx2+2 +2)xi=2久皿・ 即证(2点一2)・口.比+2(厂+.“)=0③.(10分) 将①②代入③•得⑵一2)X右+苇进=0.此等式显然成立. 所以2〃=*+〃恒成立•故\AM\=\MN\.即 (12分) 22•解: (l)/(.r)=e^l-de2(.r+l),/(.r)=ev-1-«e2. (1分)当程£0时•/(小$0.则/("〉在R上单调递増./(工〉无极值;(2分) 当u>0时•由/(.r)=O,得'=1+5g 当兀€(—8」+lna)时,.厂(xXO; 当^e 所以/(文〉在(-oo,l+lnc)上单调递减,在(1+ Ina•十8)上单调递增. 所以若/(工)存在极值・ 则&的取值范围为(0・+8).(5分) (2)耍证明/(.r)-e2ln(.r+l)>0, 即证e'T—a^(u.-4-1)—e? In(x+1)>0♦(x+1> 0)> 由于当“VO时2(工+1)VO, 只要证e^+,-e2lnU+l)>0. 设以尽)=&1—cJin(x+l)• 则孑(刃=<: '1—三刁. 设/r(.r)=er-1一-. *t 2 则於(刃=*十|十厂°卫: >0・ (a: 十1” 所以/(r)在(一1・+8)上是増函数.(7分) 又/(o)=e-e2<()>/(l)=c2—y=y>0, 所以存在Xo6(0.1>.使得g<^>=刊T—= 0,(8分) 即申I=•ln(g+1)才1_如.(9分〉 所以当r€(―1・r>)时.^'(.rXO; 当才€(我・+8)时・/(工)>0・ 因此g(jr)在(—1•工g)上是减函数•在(JT 足增函数, 所以g(P有极小值, 且极小值为g(如)=C%1—c2ln(Tz.+1)=—^―T—珂十] 2 e2(l-.r<,)=—^-r+e2(.rn+l)-2e->2e2-2e2=口十1 0.(11分〉 因此&(才)>0・即曲)=严一舟(龙+1〉>0・ 综上•当a 即/Q)在工=l+l
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