高考数学总复习极坐标与参数方程.docx
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高考数学总复习极坐标与参数方程
2019年高考数学总复习:
极坐标与参数方程
x=1+tsin70°,
1.直线o(t为参数)的倾斜角为()
y=2+tcos70
A.70°B.20°
C.160°D.110
答案B
解析方法一:
将直线参数方程化为标准形式:
x=1+tcos20°,
y=2+tsin20°(t为参数),则倾斜角为20°,故选B.
方法
tana=
cos70°
sin70°=
sin20°cos20°
=tan20°,「.a=
20°
x=1—tsin70°
另外,本题中直线方程若改为,则倾斜角为160°.
y=2+tcos70°
x=1+2t,
2.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为()
y=2—3t
代3
3
答案D
x=—3+2cos0,
3•参数方程(0为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为()
y=4+2sin0
A.1B.2
C.3D.4
答案A
x=—3+2cos0,
解析参数方程(伪参数)表示的曲线的普通方程为(x+3)2+(y—4)2=4,
y=4+2sin0
这是圆心为(一3,4),半径为2的圆,故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.
4.(2018皖南八校联考)若直线l:
x=2t,
(t为参数)与曲线C:
y=1—4t
x='.5cos0,
(0为参数)
y=m+.5sin0
相切,则实数m为()
A.—4或6
B.—6或4
C.—1或9
D.—9或1
答案A
…,x=2t,x=V5cos0,
解析由(t为参数),得直线l:
2x+y—1=0,由(0为参数),得曲
|m—1|
22+1
y=1—4ty=m+,5sin0
线C:
x2+(y—m)2=5,因为直线与曲线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
=“J5,解得m=—4或m=6.
5.(2014安徽,理)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,
x=t+1
两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程是'(t为参数),圆C的极
y=t—3
坐标方程是p=4cos0,则直线I被圆C截得的弦长为()
A.,14B.214
C.2D.22
答案D
解析由题意得直线I的方程为x—y—4=0,圆C的方程为(x—2)2+y2=4•则圆心到直线的
距离d=2,故弦长=2r2—d2=22.
x=t,
6.(2017北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以
y=4+t
原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=4.2-sin(0
n
+匚),则直线I和曲线C的公共点有()
A.0个B.1个
C.2个D.无数个
答案B
x=t,
解析直线I:
(t为参数)化为普通方程得x—y+4=0;
y=4+t
■n
曲线C:
P=42sin(0+丁)化成普通方程得(x—2)2+(y—2)2=8,
•••圆心C(2,2)到直线I的距离为d='—2;4|=22=r.
•直线I与圆C只有一个公共点,故选B.
x=1+s,x=t+3,
7.在直角坐标系中,已知直线I:
(s为参数)与曲线C:
2(t为参数)相交
y=2—sy=t2
于A,B两点,贝U|AB|=.
答案.2
x=1+s,
解析曲线C可化为y=(x—3)2,将代入y=(x—3)2,化简解得S1=1,s2=2,
y=2—s
所以|AB|=12+12$—s2|=2.
x=2—t
&(2017人大附中模拟)已知直线I的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程
y=1+V3t
为p+2sinB=0,若在圆C上存在一点P,使得点P到直线I的距离最小,则点P的直角坐标为.
答案(于,-1)
解析由已知得,直线I的普通方程为y=—.3x+1+23,圆C的直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,在圆C上任取一点P(COSa,—1+sina)(a[0,2n)),则点P到直线I的距离为
|3cosa+Sina-2—2:
3||2sin(d=J+3=—
n—一n
a+y)—2—23|2+23—2sin(a+§)
=y时,dmin=3,此时Pt23,—2.
9.(2018衡水中学调研)已知直线I的参数方程为
x=—2+tCOsa,
(t为参数),以坐标原点
为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
y=tsina
C的极坐标方程为p=2sin0—2cos0.
(1)求曲线C的参数方程;
n
⑵当a="4时,求直线I与曲线C交点的极坐标.
“宀x=—1+V2c0S$,n
答案
(1)(0为参数)
(2)(2,-2),(2,n)
y=1+.2sin02
解析
(1)由p=2sin0—2cos0,
可得p=2psin0—2pcos0.
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y—2x,
化为标准方程为(x+1)2+(y—1)2=2.
曲线C的参数方程为
x=—1+',2cos0,
厂(0为参数).
y=1+,2sin0
x=—2+
n
(2)当a="4时,直线I的方程为
t,
y=嗔,
化为普通方程为
y=x+2.
x=0,解得
y=2
x=—2,
y=0.
x2+y2=2y—2x,由
y=x+2,
n
所以直线I与曲线C交点的极坐标分别为(2,y),(2,n).
10.(2016课标全国n)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
X=tCOSa,—
⑵直线I的参数方程是(t为参数),1与C交于A,B两点,|AB|=10,求I的
y=tsina
斜率.
答案
(1)P+12Pcos0+11=0
(2)今或—于
解析⑴由x=pcos0,y=psinB可得圆C的极坐标方程为p2+12pcos0+11=0.
⑵在
(1)中建立的极坐标系中,直线I的极坐标方程为0=a(和R).
设A,B所对应的极径分别为p1,p2,将I的极坐标方程代入C的极坐标方程得p2+12pcos
a+11=0.
于疋p1+p2=—12cosa,p1p2=11.
|AB|=|1p—p2|=(p1+p2)2—4P1p2
=144cos2a—44.
由|AB|=得cos2a=3,tana=±35.
83
所以I的斜率为弓5或一W5
33
X=—8+t,
11.(2017江苏,理)在平面直角坐标系xOy中,已知直线I的参数方程为t(t为
y=2
x=2s2,
参数),曲线C的参数方程为(s为参数)•设P为曲线C上的动点,求点P到直线
y=2*2s
I的距离的最小值.
答案誓
5
解析直线I的普通方程为x—2y+8=0.
因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s),
从而点p到直线I的距离d=岁:
-烬+82=2(s-申)2+4.
0+(-2)2V5
4、5
5
当S=返时,smin=卑5.
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线I的距离取到最小值为
12.(2018湖南省五市十校咼三联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为a的直线I的参数方
1
x=3+tcosa,x=A,
程为(t为参数),直线I与曲线C:
cos0(0为参数)相交于不同的两点
y=tsina
y=tan0
A,B.
n,
(1)若a=~,求线段
AB的中点的直角坐标;
(2)若直线l的斜率为
2,且过已知点
P(3,0),求
|PA|-|PB|的值.
答案
(1)(|,竽)
40
⑵T
解析
(1)由曲线C:
1
xcos0
(为参数),可得曲线C的普通方程是x2—y2=1.
1
n
当a=—时,直线I的参数方程为
x=3+,
(t为参数),
y冷
代入曲线C的普通方程,得t2—6t—16=0,设A,B两点对应的参数分别为ti,t2,贝yti+
t2=6,
所以线段AB的中点对应的t=号里=3,故线段AB的中点的直角坐标为(9,晳).
⑵将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(COS2a—sin2a)t2+6tC0Sa+8=0,
则|PA||PB|=|t1t2|=|cos2a8sin2a|
COSa—Sina1
=总(1+tan2a)
=|1—tan2a|,
由已知得tana
=2,故|PA||PB|=
40
3.
为极轴,建立极坐标系•曲线
(t为参数).
13.(2018东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴
C1的极坐标方程为p=4cos0,直线I的参数方程是
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;
⑵若曲线C2的参数方程为
x=2cosa,y=sina
(a为参数),曲线C1上的点P的极角为寸,Q为曲
线C2上的动点,求PQ的中点M至煩线I的距离的最大值.
答案
(1)x2+y2—4x=0,x+2y—3=0
(2)』
解析⑴由p=4cosB得p2=4pcos0,
又x2+y2=p,x=pos0,y=pin0,所以曲线Ci的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,由直线I的参数方程消去参数t得直线I的普通方程为x+2y-3=0.
-n
(2)因为点P的极坐标为(2.2,~4),直角坐标为(2,2),
点Q的直角坐标为(2cosa,sina),
1
所以M(1+cosa,1+^sina),
|1+cosa+2+sina—3|10n
点M到直线I的距离d=5二亠厂⑻n(+—)|,
当a+n=n+kn(k€Z),即a=n+kn(圧Z)时,点M到直线l的距离d的最大值为亠严.
4245
x=t,
14.(2018天星大联考)在平面直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为(t为
参数).以0为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=2.2cos(0
n
+才),若直线l与曲线C交于A,B两点.
(1)若P(0,—1),求|PA|+|PB|;
⑵若点M是曲线C上不同于A,B的动点,求△MAB的面积的最大值.
答案d)¥⑵罟
解析
(1)尸2.2cos(+~4)可化为
x=pcos0,p=2cos0—2sin0,将
y=psin0
代入,得曲线C的直
角坐标方程为(x—1)2+(y+1)2=2•将直线l的参数方程化为
1
x=3t,
(t为参数),代入
y=—1+
22
(x—1)2+(y+1)2=2,得t2—3t—1=0,设方程的解为t1,t2,贝yt1+t2=3,t1t2=—1,
因而|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1—t2|
=.(t1+t2)2—4t1t2=^7°.
⑵将直线I的参数方程化为普通方程为22x—y—1=0,设M(1+.2cos0,—1+.2sin0),
由点到直线的距离公式,得M到直线AB的距离为
|2,2+4cos0—.2sin0|
3
12.2(1+.2cos0)+1—'‘2sin0—1|
3
最大值为警,由⑴知|AB|=|PA|+|PB|=^3^,因而△MAB面积的最大值为1X彳严
33233
=也
9.
备选题|
x=2+tcos©,
1.(2018山西5月联考改编)在平面直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为
y=73+tsin$
(t为参数,©€[0,—]),直线I与OC:
x2+y2—2x—23y=0交于M,N两点,当$变化时,求弦长|MN|的取值范围.
答案[13,4]
解析将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得,
(2+tcos$)2+(.3+tsin$)2-2(2+tcos$)—23(3+tsin$)=0,
整理得,t2+2tcos$—3=0,
设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,贝t1+t2=—2cos$,tit2=—3,
|MN|=|t1—12|=(t1+⑵2—4t1•t2=4cos2$+12,
n1.—
•••$€[0,§],•••cos$€©1],.|MN|€[13,4].
2.(2018陕西省西安地区高三八校联考
)在平面直角坐标系
xOy中,以坐标原点O为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C的极坐标方程为
p=2sin0,0€[0,2n).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)在曲线C上求一点D,使它到直线l:
x=3t+3,(t为参数,t€R)的距离最短,并求
y=—3t+2,
出点D的直角坐标.
答案
(1)x2+y2—2y=0(或x2+(y—1)2=1)
(2)(于,|)
解析
(1)由p=2sin0,0€[0,2n),可得p=2psin0.因为p=x2+y2,psin0=y,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2—2y=0(或x2+(y—1)2=1).
x=V3t+V3,
(2)因为直线I的参数方程为(t为参数,t€R),消去t得直线I的普通方程为
y=—3t+2,
y=—.3x+5.
因为曲线C:
x2+(y—1)2=1是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,设点D(x°,y0),且点D到
直线l:
y=—.3x+5的距离最短,所以曲线C在点D处的切线与直线I:
y=—,3x+5平
行,即直线CD与]的斜率的乘积等于-1即骨X(—3)=-1•①
因为xo2+(yo—1)2=1,②由①②解得xo=—-2或Xo=¥,所以点D的直角坐标为(—,2)或(于,!
)•
x=2+t,
1:
y=2—2t(t为参数).
由于点D到直线y=—,3x+5的距离最短,所以点D的直角坐标为(g3,|).
22
3.(2014课标全国I)已知曲线C:
丁+£=1,直线
(1)写出曲线C的参数方程,直线I的普通方程;
⑵过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线,
交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.
思路⑴利用椭圆x2+y2=1(a>0,b>0)的参数方程为
x=acosB,
(B为参数),写出曲线C
y=bsin0
的参数方程.消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.
⑵设出点p的坐标的参数形式.求出点p到直线l的距离d,则|pa=帶.转化为求关于
0的三角函数的最值问题,禾U用辅助角公式asin0+bcos0=.a2+b2sin(肝$求解.
x=2cos0,
答案
(1)C:
(0为参数),1:
2x+y—6=0
y=3sin0
(2)|PA|max=
225
|PAhin=¥
5
x=2cos0,
解析
(1)曲线C的参数方程为(0为参数).
y=3sin0
直线l的普通方程为2x+y—6=0.
⑵曲线C上任意一点
P(2cos0,
3sin0)到l的距离为d=
"55|4cos0+3sin0—6|,
则|PA|==^|5sin(+a
—6|,其中
a为锐角,且tana
4
3.
当sin(+a)—1时,|PA取得最大值,最大值为
x=1+3cost,
y=—2+3sint(t为参数).在
O为极点,以x轴非负半轴
当sin(+a)1时,|PA|取得最小值,最小值为4.(2015•福建)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点
为极轴)中,直线l的方程为.2psin(0-亍)=m(m€R).
(1)求圆C的普通方程及直线I的直角坐标方程;
⑵设圆心C到直线I的距离等于2,求m的值.
答案
(1)(x—1)2+(y+2)2=9,x—y+m=0
⑵m=—3塑.2
解析⑴消去参数t,得到圆C的普通方程为(x—1)2+(y+2尸=9.
psin0—pcos0—m=0.
所以直线I的直角坐标方程为x—y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线I的距离等于2,
|1—(一2)+m|=2,解得m=—3埜.2.
x=—4+cosa,x=8cos0,
5.已知曲线Ci:
y=3+sina
_(a为参数),C2:
(0为参数).
~'y=3sin0
(1)分别求出曲线
Ci,C2的普通方程;
n
⑵若C1上的点P对应的参数为a=—,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线
x=3+2t,
C3:
y=—2+1
(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标.
答案
(1)c仁(x+4)2+(y—3)2=1C2:
64+£=1
(2)-85_5,(32,—5
x=—4+cosa,
解析
(1)由曲线C1:
(a为参数),得(x+4)2+(y—3)2=1,
它表示一个以(一4,
y=3+sina
3)为圆心,以1为半径的圆;
x=8cos0,
由C2:
y=3sin0
它表示一个中心为坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.
(0为参数),得64+咅1,
n
⑵当a=~2时,P点的坐标为(一4,4),设Q点坐标为(8cos0,3sin0),PQ的中点M(—2
3
+4cos0,2+2sin0).
x=3+2t,
「C3:
y=—2+「「C3的普通方程为x—2y-7=0,
|—2+4cos0—4—3sin0—7|d=
|4cos0—3sin0—13||5sin(0+©)—13|
•••当sin0=—,cos0=
5
d的最小值为牛5,
5
329
•••Q点坐标为(丁,—5).
(第二次作业)
x=/2cos6,
1.(2018衡水中学调研卷)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:
(6为参数),
y=sin6
曲线C2:
x2+y2—2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线1:
0
a(祚0)与曲线Cl,C2分别交于点A,B(均异于原点O).
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
⑵当
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