高中数学一对一讲义函数.docx
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高中数学一对一讲义函数
高中数学函数知识点总结
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)相同函数的判断方法:
①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
x4x
例:
函数y2的定义域是(答:
0,22,33,4)
lgx3
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;偶次方根下的数(或式)大于或等于零;指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数ytanx
xR,且xk,k
2
余切函数ycotx
xR,且xk,k
反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是[-1,1]
,值域是,函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π,]
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
10.
如何求复合函数的定义域?
复合函数定义域的求法:
已知yf(x)的定义域为m,n,求yfg(x)的定义域,可由mg(x)n解
出x的范围,即为y
fg(x)的定义域。
例若函数y
1
f(x)的定义域为,2,则f(log2x)的定义域为。
2
11、函数值域的求法
1、直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1
例求函数y=的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
a.y
b2型:
直接用不等式性质k+x2
b.y
bx
2bx型,先化简,再用均值不等式x2mxn
例:
x11y
y1+x2x+12
x
c..y
x2mxn型通常用判别式
x2mxn
x2mxn
d.y
型
xn
法一:
用判别式
法二:
用换元法,把分母替换掉
例:
x2x1(x+1)2(x+1)+11
y(x+1)1211x1x1x1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例求函数y=值域。
5x6
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例求函数y=x+x1的值域。
8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
(1)y的取值范围x2
(2)y-2x的取值范围
解:
(1)令yk,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.x2
倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况例求函数y=x2的值域
x3
多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
如:
fx1exx,求f(x).
13.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
1xx0如:
求函数f(x)2的反函数x2x0
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是(B)
A.y=x2-2x+2(x<1)B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x(x<1)D.y=x2-2x(x≥1)
14.反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
1互为反函数的图象关于直线y=x对称;
2保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设yf(x)的定义域为A,值域为C,aA,bC,则f(a)=bf1(b)a
f1f(a)f1(b)a,ff1(b)f(a)b
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
41(04.上海春季高考)已知函数f(x)log3
(2),则方程f1(x)4的解x.
x
15.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求f(x1)f(x2)的正负号或者f(x1)与1的关系x1x2f(x2)
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。
3如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
4如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)
5
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]上复合函数y=F[φ(x)](β),φ(α)]反向变化,则在[
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
16.如何利用导数判断函数的单调性?
在区间a,b内,若总有f'(x)0则f(x)为增函数。
(在个别点上导数等于
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)0。
x
如:
若
f(x)a·2xa2为奇函数,则实数a
2x1
又如:
f(x)为定义在(1,1)上的奇函数,当x(0,1)时,f(x)
2x,
4x1,
求f(x)在
1,1上的解析式。
判断函数奇偶性的方法
.若函数的定义域不关
一、定义域法一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算f(x),然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性
复合函数奇偶性
f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.你熟悉周期函数的定义吗?
若存在实数T(T0)
,在定义域内总有fxTf(x),则f(x)为周期
函数,T是一个周期。
)
如:
若fxaf(x),
答:
f(x)是周期函数,T
2a为f(x)的一个周期)
我们在做题的时候,
经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推
19.你掌握常用的图象变换了吗?
f(x)与f(x)的图象关于y轴对称联想点(x,y),(-x,y)
f(x)与f(x)的图象关于x轴对称联想点(x,y),(x,-y)
f(x)与f(x)的图象关于原点对称联想点(x,y),(-x,-y)f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点(x,y),(y,x)f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称联想点(x,y),(2a-x,y)
f(x)与f(2ax)的图象关于点(a,0)对称联想点(x,y),(2a-x,0)
将yf(x)图象
左移a(a0)个单位
yf(x
a)
右移a(a0)个单位
yf(x
a)
上移b(b0)个单位
yf(xa)b
下移b(b0)个单位
yf(xa)b
其实根本不用这
看点和原点的关系,
(这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我还是写出来吧。
对于这种题目,么麻烦。
你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
)
注意如下“翻折”变换:
f(x)|f(x)|把x轴下方的图像翻到上面
f(x)f(|x|)把y轴右方的图像翻到上面
如:
f(x)log2x1
作出ylog2x1及ylog2x1的图象
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
的双曲线。
22
ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴
如:
二次方程ax2bxc0的两根都大于k
b
k
2af(k)0
y
O
(a>0)
kx1
x2x
一根大于k,一根小于k
f(k)0
0
b
在区间(m,n)
内有2根
m
n
2a
f(m)
0
f(n)
0
在区间(m,n)内有1根f(m)f(n)0
4)指数函数:
yaxa0,a1
5)对数函数ylogaxa0,a1
由图象记性质!
k
6)“对勾函数”yxk0x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
(均值不等式一定要注意等号成立的条件)
y
20.你在基本运算上常出现错误吗?
1
指数运算:
a01(a0),app(a0)ap
mm
annam(a0),an1(a0)nma
对数恒等式:
alogaxx
对数换底公式:
logablogcblogambnnlogab
logcaam
1
logax
logxa
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
如:
(1)x
R,f(x)满足f(xy)
f(x)
f(y),证明f(x)为奇函数
(先令x
y
0f(0)0再令y
x,⋯
⋯)
(2)x
R,
f(x)满足f(xy)f(x)
f(y),
证明f(x)是偶函数。
(先令x
y
tf(t)(t)f(t
·t)
∴f(t)f(t)f(t)f(t)
∴f(t)f(t)⋯⋯)
(3)证明单调性:
f(x2)fx2x1x2(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x,
2、令x=0或1来求出f(0)或f
(1)
3、求奇偶性,令y=—x;求单调性:
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)f(x±y)=f(x)±f(y)
2.幂函数型的抽象函数
axf(x)f(x)=xaf(xy)=f(x)f(y);f()=
yf(y)
3.
指数函数型的抽象函数
f(x)=ax
f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=f(x)
f(y)
4.对数函数型的抽象函数
x
f(x)=logax(a>0且a≠1)f(x·y)=f(x)+f(y);f()=f(x)-f(y)y
5.
三角函数型的抽象函数
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
分析:
先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));再根据区间求其值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.
分析:
先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);再求出f
(1)=3;最后脱去函数符号.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤39,求a的取值范围.
分析:
(1)令y=-1;
x1x1
(2)利用f(x1)=f(1·x2)=f
(1)f(x2);
x2x2
(3)0≤a≤2.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
分析:
(1)令x=y=0;
(2)令y=x≠0.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:
①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)=f(a)f(b),a、b∈N;③f
(2)=4.同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
分析:
先猜出f(x)=2x;再用数学归纳法证明.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1)
(2)分析:
f
(1);
若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
(1)利用3=1×3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由.
分析:
设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,进而m+n=f(a)+f(b)=f(ab)=f[g(m)g(n)]⋯.
例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)
f(x1)f(x2)1
f(x2)f(x1)
f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);当0 试问: 1) 2) 分析: (3)对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y), (1)=f(-1)=0;(x)为偶函数; 在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-1)≤0. 2 分析: 函数模型为: f(x) (1)先令x=y=1,再令x=y=-1; (2)令y=-1; (3)由f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|). 例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证: (1)当x>0时,0 (2)f(x)在x∈R上是减函数. 分析: (1)先令x=y=0得f(0)=1,再令y=-x; (3)受指数函数单调性的启发: 由f(x+y)=f(x)f(y)可得f(x-y)=f(x), f(y) 进而由x1 f(x1)=f(x1-x2)>1.f(x2) 5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是() (A)奇函数非偶函数(C)既是奇函数又是偶函数参考答案: 1.A 2.B 23.你记得弧度的定义吗? 能写出圆心角为α,积公式吗? 4.A 5.B 半径为R的弧长公式和扇形面 11 R,S扇l·R 22 面积公式很相似,可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法) R2) (和三角形的
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