直线与圆锥曲线的综合问题.docx

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直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题单元测试

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．1或2D．0

解析：

选A.因为直线y＝x＋3与双曲线－＝1的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ＝60°，|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为（　　）

A.B．

C.D．

解析：

选D.∵|PF1|＝|PQ|，且∠F1PQ＝60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，∴△F1PQ的边长为，在△PF1F2中，|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2c，∴－＝（2c）2，即a2＝3c2，∴e2＝＝，

∴e＝.

3．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A．（1，）B．（1，]

C．（，＋∞）D．[，＋∞）

解析：

选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，所以e＝＝＞＝.

4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

A．有且只有一条B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有且只有四条

解析：

选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－（k2＋2）x＋k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±.所以这样的直线有两条．

5．（2018·安徽皖南八校联考）若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为（a，b），则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．1或2

解析：

选C.由题意得，圆心（0，0）到直线ax＋by－3＝0的距离为＞，

所以a2＋b2＜3.

又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.

由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为，

所以P（a，b）在椭圆内部，

所以过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点有2个，故选C.

6．（2018·江西九江模拟）过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B．

C.D．3

解析：

选D.设A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2），C（－2，y3），则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4，直线AB的方程为y＝2（x－2），令x＝－2，得C（－2，－8），联立方程解得B（1，－2），所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.

7．（2018·江西五市八校模拟）已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为（　　）

A．－B．－

C．－D．－

解析：

选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有ax＋by＝0　①，ax＋by＝0　②，由①－②得a（x－x）＝－b（y－y）．即a（x1＋x2）（x1－x2）＝－b（y1＋y2）（y1－y2），由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－，设AB的中点为M（x0，y0），则kOM＝＝＝＝－，又知kAB＝－1，所以－×（－1）＝－，所以＝－，故选A.

8．已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________．

解析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l的倾斜角为60°，

则直线l的方程为y－0＝，

即y＝x－p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，

则x1＝p，x2＝p，

则＝＝3.

答案：

3

9．已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0），直线l：

y＝（x－1），l与C交于A，B两点，若|AB|＝，则p＝________．

解析：

由消去y，得3x2－（2p＋6）x＋3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝2＝2＝，所以p＝2.

答案：

2

10．（2018·浙江金华质检）若双曲线E：

－y2＝1（a＞0）的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．

（1）求k的取值范围；

（2）若|AB|＝6，求k的值．

解：

（1）由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1.

设A（x1，y1），B（x2，y2），由

得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.①

∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，

∴

∴1＜k＜.

（2）由①得x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝·

＝2＝6，

整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝.

又1＜k＜，∴k＝.

11．（2018·河北衡水模拟）过原点的直线l与双曲线－＝－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B．

C.∪D．∪

解析：

选B.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx，将其代入双曲线的方程－＝1，并整理得（3k2－1）x2－9＝0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ＝36（3k2－1）＞0，所以k2＞，解得k＞或k＜－.

设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k＝tanα（0≤α≤π，且α≠），

可得α∈∪；

当直线l的斜率不存在，即α＝时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点．故选B.

12．（2018·江西赣州一检）已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

解析：

选C.由双曲线的标准方程可知点F1的坐标为（－，0），易得过F1且斜率不存在的直线为x＝－，该直线与双曲线的交点为，（－，－），则|AB|＝3，又双曲线的两顶点分别为（－，0），（，0），所以实轴长为2，2＜3，结合图象，由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有2条，故共有3条直线满足条件．

13．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大，该椭圆的形状（　　）

A．越接近于圆B．越扁

C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆

解析：

选D.由题意知4a＞a2＋1且a＞0，

解得2－＜a＜2＋，

又e2＝1－＝1－，

因此当a∈（2－，1）时，e越来越大，

当a∈（1，2＋）时，e越来越小．

所以椭圆形状变化为先扁后圆．

14．（2018·洛阳市第一次统一考试）已知双曲线E：

－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为________．

解析：

依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，＝－，＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0.

答案：

2x＋8y＋7＝0

15．设点F为椭圆C：

＋＝1（m＞0）的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得弦长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）圆P：

＋＝r2（r＞0）与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．

解：

（1）由得x2＝y2＝，

故2＝2＝，解得m＝1，

故椭圆C的方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则

又

所以＋＝0.

则（x1－x2）－（y1－y2）＝0，故kAB＝＝1，

则直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8x＝0，

则x1＝0，x2＝－，

故直线FM的斜率k∈[，＋∞），

设FM：

y＝k（x＋1），由得

（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），则有x3＋x4＝，

x3x4＝，

又|PF|＝|x3＋1|，|QF|＝|x4＋1|，

所以|PF|·|QF|＝（1＋k2）|x3x4＋（x3＋x4）＋1|

＝（1＋k2）

＝（1＋k2）×＝，

因为k≥，所以＜≤，

即|PF|·|QF|的取值范围是.

C级　素养加强练

16．（2018·吉林长春质量检测）已知椭圆C的两个焦点为F1（－1，0），F2（1，0），且经过点E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若＝λ，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．

解：

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），则由解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）由题意得直线l的方程为y＝k（x＋1）（k＞0），

联立方程，得整理得

y2－y－9＝0，

Δ＝＋144＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝λ，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝（y1＋y2）2，

则＝，λ＋－2＝，

因为2≤λ＜3，所以≤λ＋－2＜，

即≤＜，且k＞0，解得0＜k≤.

故直线l的斜率k的取值范围是

17．（2018·甘肃兰州诊断考试）已知圆C：

（x＋1）2＋y2＝8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P.

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）．

①设W（x0，y0），证明：

＋y＜1；

②求四边形QRST的面积的最小值．

解：

（1）设动圆半径为r，由于点D在圆C内，所以圆P与圆C内切，|PC|＝2－r，|PD|＝r，|PC|＋|PD|＝2＞|CD|＝2，

由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其中a＝，c＝1，b＝＝1，

故轨迹E的方程为＋y2＝1.

（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x＋y＝1，

又Q，R，S，T为不同的四个点，所以＋y＜1.

②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.

若两条直线的斜率都存在，设l1的斜率为k，

则l1的方程为y＝k（x＋1），

由方程组，得（2k2＋1）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

则|QS|＝2·，

同理得|RT|＝2·，

所以SQRST＝|QS|·|RT|＝≥＝，当且仅当2k2＋1＝k2＋2，即k＝±1时等号成立．

综上所述，当k＝±1时，四边形QRST的面积取得最小值.