人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九含答案 45.docx
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人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九含答案45
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题九(含答案)
点
绕原点O顺时针旋转
的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图,作
轴于E,
轴于
根据全等三角形即可解决问题.
【详解】
如图,作
轴于E,
轴于F.
,
,
,
,
,
≌
,
,
,
故答案为
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,旋转变换等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
42.如图,已知∠B=∠E,AB=DE,要推得△ABC≌△DEF,若以“SAS”为依据,添加的条件是_______.
【答案】BC=EF或BF=EC
【解析】
【分析】
根据已知条件以及“SAS”进行解答.
【详解】
由题意可知,在△ABC和△DEF中,已有一组对应角以及一组对应边相等,根据“SAS”,可知只需要再找出一组对应边相等即可推得△ABC≌△DEF.故答案是BC=EF或BF=EC.
【点睛】
本题主要考查全等三角形判定定理,熟练掌握全等三角形判定定理是解答的关键.
43.如图,平面直角坐标系中,A(1,0)、B(0,2),BA=BC,∠ABC=90°,则点C的坐标为___________
【答案】(2,3)
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥y轴于点D,通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC,结合∠AOB=∠BDC、AB=BC,即可证出△OAB≌△DBC(AAS),根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB,再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度,进而可得出点C的坐标.
【详解】
解:
过点C作CD⊥y轴于点D,如图所示.
∵∠ABC=90°,∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠DBC=90°,
∴∠OAB=∠DBC.
在△OAB和△DBC中,
,
∴△OAB≌△DBC(AAS),
∴BD=AO,DC=OB.
∵A(1,0)、B(0,2),
∴BD=AO=1,DC=OB=2,OD=OB+BD=3,
∴点C的坐标为(2,3).
故答案为:
(2,3).
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质,利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键.
44.如图,在△ABC中,AB=AC=15cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△DBC的周长为25cm,则BC的长为________
【答案】10cm
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出△BCE的周长=AC+BC,再求解即可;
【详解】
解:
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,
∴AE=BE,
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,
∵AC=15cm,
∴BC=25-15=10cm,
故答案为:
10cm.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,等角对等边的性质,综合题难度不大,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
三、解答题
45.如图,△ABC中,AC=10,线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D;
(1)如果△BCD的周长为16,求BC的长;
(2)如果BC=8,求△BCD的周长.
【答案】
(1)6;
(2)18
【解析】
【分析】
(1)根据线段垂直平分线的性质易得AD=BD,结合△BCD的周长为16得到BC+BD+DC=16,于是有BC+AC=16,进而求出BC的长;
(2)根据线段垂直平分线的性质可知AD=BD,于是有BD+DC=AD+DC=AC=10.再根据△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+AC,就能确定△BCD的周长.
【详解】
解:
(1)∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=16,
∵AC=10,
∴BC=6;
(2)∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∵AC=10,BC=8,
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+AC=10+8=18.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长计算.
46.如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠CAB=90°,点A,点B的坐标分别为A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0,AC与x轴交于点D.
(1)求△AOB的面积;
(2)求证:
点D为AC的中点;
(3)点E为x轴的负半轴上的动点,分别以OA,AE为直角边在第一、二象限作等腰直角三角形△OAN和等腰直角三角形△EAM,连接MN交y轴于点P,试探究线段OE与AP的数量关系,并证明你的结论.
【答案】
(1)4;
(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)a2+b2﹣4a﹣8b+20=(a﹣2)2+(b﹣4)2=0,即可求解;
(2)由∠ABO=∠DAO,用解直角三角形的方法即可求解;
(3)证明△AHM≌△EOA(AAS)和△MPH≌△NPA(AAS),即可求解.
【详解】
解:
(1)a2+b2﹣4a﹣8b+20=(a﹣2)2+(b﹣4)2=0,
则:
a=2,b=4,
S△AOB=
OA•OB=4;
(2)∠OAB+∠OBA=90°,∠OAB+∠DAO=90°,
∴∠ABO=∠DAO,
OA=2,OB=4,则:
AB=
,cos∠ABO=
=
AD=
=
=
AB=
AC,
即:
点D为AC的中点;
(3)过点M作MH⊥y轴交于点H,
∵∠MAH+∠EAO=90°,∠MAH+∠HMA=90°,
∴∠HMA=∠EAO,
又∠MHA=∠AOE=90°,AE=AM,
∴△AHM≌△EOA(AAS),
∴AH=OE,MH=OA=AN,
又∠MHA=∠NAP=90°,∠MPH=∠APN,
∴△MPH≌△NPA(AAS),
∴AP=PH=
AH=
OE.
【点睛】
本题为三角形综合题,考查主要知识点有三角形全等、解三角形、因式分解等,其中(3)是本题的难点,通过构造图形证明三角形全等即可证明,此题有一定的难度.
47.如图,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,B、C、E三点共线,连接DC,点F为CD上的一点,连接AF.
(1)若BE平分∠AED,求证:
AC=EC;
(2)若∠DAF=∠AEC,求证:
BE=2AF.
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质,可得∠ACB=2∠AEC=45°,可得∠AEC=∠EAC=22.5°,可得AC=EC;
(2)过点D作DM∥AC,交AF的延长线于点M,通过证明△ABE≌△DMA,可得AB=DM,AM=BE,通过证明△ACF≌△MDF,可得BE=AM=2AF.
【详解】
证明:
(1)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠ACB=∠ABC=∠AED=∠ADE=45°,
∵BE平分∠AED,
∴∠AEB=22.5°
∵∠ACB=∠AEC+∠EAC=45°
∴∠AEC=∠EAC=22.5°
∴AC=EC
(2)如图,过点D作DM∥AC,交AF的延长线于点M,
∵∠DAF=∠AEC,且∠AEC+∠EAC=∠ACB=45°
∴∠EAC+∠DAF=45°,且∠DAE=90°,
∴∠CAF=45°
∵AC∥DM,
∴∠CAF=∠DMA=45°
∴∠DMA=∠ABC=45°,且AE=AD,∠AEC=∠DAF,
∴△ABE≌△DMA(AAS)
∴AB=DM,AM=BE,
∴AB=AC=DM,且∠AFC=∠DFM,∠CAF=∠AMD
∴△ACF≌△MDF(AAS)
∴AF=FM
∴AM=2AF=BE
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
48.已知:
BE⊥CD于E,BE=DE,BC=DA,
(1)求证:
△BEC≌△DEA;
(2)求证:
BC⊥FD.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA;
(2)根据第
(1)问的结论,利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D,从而不难求得DF⊥BC.
【详解】
证明:
(1)∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEA=90°,
在Rt△BEC与Rt△DEA中,
∵
,
∴△BEC≌△DEA(HL);
(2)∵由
(1)知,△BEC≌△DEA,
∴∠B=∠D.
∵∠D+∠DAE=90°,∠DAE=∠BAF,
∴∠BAF+∠B=90°,即DF⊥BC.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质,余角的性质定理,
(1)熟练掌握三角形的判定定理,能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此问的关键;
(2)本题主要应用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
49.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:
∠ADC=∠BDF.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,由ASA证明△ACD≌△CBG,得出CD=BG,∠CDA=∠CGB,证出BG=BD,∠FBD=∠GBF=
∠CBG,再由SAS证明△BFG≌△BFD,得出∠FGB=∠FDB,即可得出结论.
【详解】
证明:
作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示:
∵∠CBG=90°,CF⊥AD,
∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°,
∴∠CAD=∠BCG,
在△ACD和△CBG中,
,
∴△ACD≌△CBG(ASA),
∴CD=BG,∠CDA=∠CGB,
∵CD=BD,
∴BG=BD,
∵∠ABC=45°,
∴∠FBD=∠GBF=
∠CBG,
在△BFG和△BFD中,
,
∴△BFG≌△BFD(SAS),
∴∠FGB=∠FDB,
∴∠ADC=∠BDF.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;本题有一定难度,需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论.
50.如图,点E在长方形ABCD的边BC上,AE⊥EF,点F在边CD上,已知EC=AB=3cm,BC=5cm.
求四边形AEFD的面积.
【答案】9.
【解析】
【分析】
根据ASA可证明△ABE≌△ECF,利用S四边形AEFD=S长方形ABCD-2S△ABE即可得答案.
【详解】
∵∠CEF+∠AEB=90°,∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
又∵AB=CE,∠ABE=∠ECF=90°,
∴△ABE≌△ECF,
∴S四边形AEFD=S长方形ABCD-2S△ABE=3×5-2×
×(5-3)×3=9.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及长方形、三角形面积公式,利用ASA证明△ABE≌△ECF是解题关键.
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