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12命题及充要条件
§1.2 命题及充要条件
2014高考会这样考
1.考查四种命题的意义及相互关系;2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解,主要以客观题的形式出现;3.在解答题中考查命题或充要条件.
复习备考要这样做
1.在解与命题有关的问题时,要理解命题的含义,准确地分清命题的条件与结论;2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反;3.注意等价命题的应用.
1.命题的定义
能够判断真假,用文字或符号表述的语句叫做命题.
2.四种命题及相互关系
原命题是真命题,则它的逆否命题是真命题.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件.
[难点正本 疑点清源]
1.等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
(2)互为逆否命题的两个命题同真假;
(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.
2.集合与充要条件
设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件;
(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若A⃘B,且B⃘A,则p是q的既不充分也不必要条件.
1.下列命题:
①“全等三角形的面积相等”的逆命题;
②“若ab=0,则a=0”的否命题;
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题.
其中真命题的序号是________.
答案 ②③
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,显然该命题为假命题;②“若ab=0,则a=0”的否命题为“若ab≠0,则a≠0”,而由ab≠0,可得a,b都不为零,故a≠0,所以该命题是真命题;③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题,故其逆否命题也是一个真命题.
2.“x>2”是“
<
”的________条件.
答案 充分不必要
解析 ①x>2⇒2x>0⇒
>
⇒
<
,
∴“x>2”是“
<
”的充分条件.
②
<
⇒x<0或x>2D⇒/x>2.
∴“x>2”是“
<
”的不必要条件.
3.已知a,b∈R,则“a=b”是“
=
”的____________条件.
答案 必要不充分
解析 因为若a=b<0,则
≠
,所以充分性不成立;反之,因为
=
⇔
=
⇔a=b≥0,所以必要性成立,故“a=b”是“
=
”的必要不充分条件.
4.(2011·天津改编)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的______________条件.
答案 充要
解析 因为A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞),
B={x|x<0}=(-∞,0),
所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),
C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}
=(-∞,0)∪(2,+∞).
即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
5.(2012·天津改编)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的______________条件.
答案 充分不必要
解析 若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数,
但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.
故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件.
题型一 四种命题及真假判断
例1
已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是________.(填序号)
①否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题;
②逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题;
③逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题;
④逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
思维启迪:
根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式.当命题较简单时,可直接判断其真假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断.
答案 ④
解析 命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
探究提高
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特例.
有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
答案 ①③
解析 ①的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,真;②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假;③若q≤1,则Δ=4-4q≥0,所以x2+2x+q=0有实根,其逆否命题与原命题是等价命题,真;④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假.
题型二 充要条件的判断
例2
若f(x)=ax2+bx+c(a>0,x∈R),f(-1)=0,则“b<-2a”是“f
(2)<0成立”的什么条件.
思维启迪:
由f(-1)=0,得a-b+c=0.
下面只要判定“b<-2a”是“4a+2b+c<0”成立的什么条件.
解 “b<-2a”是“f
(2)<0成立”的充分不必要条件.
证明如下:
∵f(-1)=0,∴a-b+c=0,
∴c=b-a,∴f
(2)=4a+2b+c=3a+3b.
若b<-2a,
则f
(2)=3a+3b<3a+3×(-2a)
=-3a<0(a>0).
反之,若f
(2)=4a+2b+c=3a+3b<0,则b<-a.
∵a>0,∴推不出b<-2a.
故“b<-2a”是“f
(2)<0成立”的充分不必要条件.
探究提高 判断p是q的什么条件,需要从两方面进行分析:
一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
给出下列命题:
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件;
②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;
③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;
④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=
,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件.
其中真命题的序号是________.
答案 ①④
解析 对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列,但当数列
{anan+1}为等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当a≤2时,函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m=3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m=0.因此③不正确;对于④,由题意得
=
=
,若B=60°,则sinA=
,注意到b>a,故A=30°,反之,当A=30°时,有sinB=
,由于b>a,所以B=60°或B=120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④.
题型三 利用充要条件求参数
例3
已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5 (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 思维启迪: 解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式来求解. 解 (1)由M∩P={x|5 因此M∩P={x|5 (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 探究提高 利用充要条件求参数的值或范围,关键是合理转化条件,准确地将每个条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算,一定要注意区间端点值的检验. 变式训练3 已知p: x2-4x-5≤0,q: 解 设A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},B={x|-a+3 从而有AB.故 解得a>4. 等价转化思想在充要条件关系中的应用 典例: (14分)已知p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. 审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简. (2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答 解 方法一 由q: x2-2x+1-m2≤0, 得1-m≤x≤1+m,[2分] ∴綈q: A={x|x>1+m或x<1-m,m>0},[3分] 由p: ≤2,解得-2≤x≤10,[6分] ∴綈p: B={x|x>10或x<-2}.[8分] ∵綈p是綈q的必要而不充分条件. ∴AB,∴ 或 即m≥9或m>9.∴m≥9.[14分] 方法二 ∵綈p是綈q的必要而不充分条件, ∴p是q的充分而不必要条件,[2分] 由q: x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m, ∴q: Q={x|1-m≤x≤1+m},[5分] 由p: ≤2,解得-2≤x≤10, ∴p: P={x|-2≤x≤10}.[7分] ∵p是q的充分而不必要条件, ∴PQ,∴ 或 即m≥9或m>9.∴m≥9.[14分] 温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键. 方法与技巧 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法: 直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法: 利用A⇒B与綈B⇒綈A,B⇒A与綈A⇒綈B,A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断: 若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 失误与防范 1.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p则q”的形式. 2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟,满分: 62分) 一、填空题(每小题5分,共35分) 1.(2012·湖南改编)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是________________________. 答案 若tanα≠1,则α≠ 解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题: 若tanα≠1,则α≠ . 2.(2012·福建改编)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是____________. 答案 x=0 解析 ∵a=(x-1,2),b=(2,1), ∴a·b=2(x-1)+2×1=2x. 又a⊥b⇔a·b=0,∴2x=0,∴x=0. 3.已知集合M={x|0 答案 必要不充分 解析 因为MN,所以a∈M⇒a∈N,反之,则不成立,故“a∈N”是“a∈M”的必要不充分条件. 4.设集合A、B,有下列四个命题: ①A B⇔对任意x∈A都有x∉B; ②A B⇔A∩B=∅; ③A B⇔B A; ④A B⇔存在x∈A,使得x∉B. 其中假命题的序号是________. 答案 ①②③ 解析 ①不正确,如A={1,2,3},B={2,3,4}有A⃘B但2∈A且2∈B. ②不正确,如A={1,2},B={2,3}有A B而A∩B={2}. ③不正确,如A={1,2},B={2}有A B但B⊆A. ④正确. 5.下列命题: ①若ac2>bc2,则a>b; ②若sinα=sinβ,则α=β; ③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件; ④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④ 解析 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b正确;对于②,sin30°=sin150°D⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③对;对于④显然对. 6.已知p(x): x2+2x-m>0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m的取值范围为________. 答案 [3,8) 解析 因为p (1)是假命题,所以1+2-m≤0, 解得m≥3;又因为p (2)是真命题,所以4+4-m>0, 解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8. 7.(2011·陕西)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 答案 3或4 解析 ∵x2-4x+n=0有整数根, ∴x= =2± , ∴4-n为某个整数的平方且4-n≥0,∴n=3或n=4. 当n=3时,x2-4x+3=0,得x=1或x=3; 当n=4时,x2-4x+4=0,得x=2.∴n=3或n=4. 二、解答题(共27分) 8.(13分)判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题的真假. 解 原命题: 若a≥0,则x2+x-a=0有实根. 逆否命题: 若x2+x-a=0无实根,则a<0. 判断如下: ∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,∴a<- <0, ∴“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题. 9.(14分)已知p: |x-3|≤2,q: (x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈p是綈q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围. 解 由题意得p: -2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈p: x<1或x>5. q: m-1≤x≤m+1,∴綈q: x 又∵綈p是綈q的充分而不必要条件, ∴ 或 , 解得2 B组 专项能力提升 (时间: 35分钟,满分: 58分) 一、填空题(每小题5分,共30分) 1.(2012·上海改编)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的______________条件. 答案 必要不充分 解析 ∵mn>0,∴ 或 当m>0,n>0且m≠n时,方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆, 当m<0,n<0时,方程mx2+ny2=1不表示任何图形, 所以条件不充分;反之, 当方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆时有mn>0, 所以“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 2.已知p: ≥1,q: |x-a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为__________. 答案 (2,3] 解析 由 ≥1,得2 由|x-a|<1,得a-1 若p是q的充分不必要条件,则 ,即2 所以实数a的取值范围是(2,3]. 3.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x5”的________________条件. 答案 必要不充分 解析 A={x|-4≤x≤4},若A⊆B,则a>4.a>4D/⇒a>5,但a>5⇒a>4.故“A⊆B”是“a>5”的必要不充分条件. 4.设有两个命题p、q.其中p: 对于任意的x∈R,不等式ax2+2x+1>0恒成立;命题q: f(x)=(4a-3)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数a的取值范围是____________. 答案 ∪(1,+∞) 解析 当a=0时,不等式为2x+1>0,显然不能恒成立,故a=0不适合; 当a≠0时,不等式ax2+2x+1>0恒成立的条件是 解得a>1.即p: {a|a>1}. 由f(x)在R上为减函数,得0<4a-3<1, 解得 {a| 由题意,可知p,q一真一假. 当p真q假时,a的取值范围是 {a|a>1}∩{a|a≤ 或a≥1}={a|a>1}; 当p假q真时,a的取值范围是 {a|a≤1}∩{a| 所以a的取值范围是 ∪(1,+∞). 5.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是________. 答案 [1,2) 解析 x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题. 由 得1≤x<2. 6.“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的____________条件. 答案 充分不必要 解析 x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0, 即m≤ ,∵m< ⇒m≤ ,反之不成立. 故“m< ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件. 二、解答题(共28分) 7.(14分)已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q.求证: 数列{an}成等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q=-1. 证明 先证必要性. 当n=1时,a1=S1=p+q; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1≠0, ∴p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列. 要使{an}(n∈N+)是等比数列,则 =p, 即(p-1)p=p(p+q),∴q=-1. 再证充分性 当p≠0,p≠1,且q=-1时,Sn=pn-1, ∴S1=p-1,即a1=p-1,又n≥2时,an=Sn-Sn-1, ∴an=(p-1)pn-1(n≥2), 又n=1时也满足,∴an=(p-1)·pn-1, =p(n≥2), ∴{an}是等比数列.即{an}是等比数列的充要条件是p≠0且p≠1且q=-1. 8.(14分)已知全集U=R,非空集合 A= ,B= . (1)当a= 时,求(∁UB)∩A; (2)命题p: x∈A,命题q: x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围. 解 (1)当a= 时, A= = , B= = , ∴∁UB= . ∴(∁UB)∩A= . (2)∵a2+2>a,∴B={x|a ①当3a+1>2,即a> 时,A={x|2 ∵p是q的充分条件,∴A⊆B. ∴ ,即 . ②当3a+1=2,即a= 时,A=∅,不符合题意; ③当3a+1<2,即a< 时,A={x|3a+1 由A⊆B得 ,∴- ≤a< . 综上所述,实数a的取值范围是 ∪ .
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