轴对称与折叠问题.docx
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轴对称与折叠问题
轴对称与折叠问题
(适合初一学生)
(-)几何作图最值模型
模型一:
直角坐标系下的几何最值
1.两条线段的和差最值问题:
(1)如图1-1,MN丄EF,在MN上找一点C,使得AC+BC最小;
解析】如图M-1,连接AB,与MN交于C点,则点C为所求。
证明:
在MN上任选其他一点D,连接DA、DB,则在△DAB中,DA+DB>AB,
AB=CA+CB,CA+CB (2)如图1-1,MN丄EF,在EF上找一点C,使得AC+BC最小; EF交于C点,则点 【解析】如图c1-1-2,作点关于EF的对称点B',连接AB*,与 为所求。 证明: 在EF上任选其他一点而DA+DB'二DA+DB连淒脊纹般朋0您B果作>AB',于EF的对称点A',连接BA*,与EF的交点仍然是点,二CA+CB Co 3)如图1-1,MN丄EF,在EF上找一点C,使得AC-BC最大; EF •■ 解析】如图M-3,连接AB,延长AB与EF交于C点,则点C为所求。 证明: 在EF上任选其他一点D,连接DA、DB,则在△DAB中,DA-DB AB=CA-CB,二CA-CB>DA-DB; 4)如图1-1,MN丄EF,在MN上找一点C,使得AC-BC最大; D o ■ •A 【解析】如图1-1-4,作点A关于MN的对称点A',连接A*B,延长线与MN交于C点,则点C为所求。 证明: 在MN上任选其他一点D,连接DA、DB、DA',则在△DA'B中,DA-DBDA-DB; 说明: 如果作B关于MN的对称点B‘,连接AB',延长线与MN的交点仍然是点C。 2,三条线段之和的最值问题: (1)如图1-2-1-1,MN丄EF,在EF上找一点C,MN上找一点D,使得丨AC+CD+BD|最小; 【解析】如图1-2-1-2,分别作A关于EF的对称点A'和B关于MN的对称点B',连接AB,分别与EF、MN交于 C、D两点,则点C、D为所求。 证明: 分别在EF、MN任取其他两点P、Q,连接PQ、PA、PA\QB、QB',则在点A'和点B'之间,AB最 短,而AC+CD+BD二A'C+CD+DB'二AB;PA+PQ+QB二A'P+PQ+QB'>A' B*,/.AC+CD+BD (2)如图1-2-2-1,等腰直角AABC中,AB二BC,ZABC二90。 ,点E为AB 边上一点,将AABC沿AC翻折至AADC,在AC±求作一点P,使得APBE的周长最短。 【解析】因为BE的长度已经固定,实际上是求作点P,使得PE+PB最小。 如图1-2-2-2,点D是点B关于AC的对称点,连接DE,与AC相交于点P,则点P为所求。 证明: 取AC上其他任一点Q,则QB+QE二QE+QD>DE二PE+PD二PE+PB, 故PE+PB+BEvQB+QE+BE。 (此题与1 (2)类似) 模型二: 含平行线的多线段之和的几何最值 如图2-1,直线o//b,A、B为两定点,M、N分别在直线o、b±,且MN丄o,请确定M、N的位置,使得AM+MN+NB最小。 【解析】如图2-2,过A作AE丄。 ,并截取AE=MN,连接BE,与b交于N,过N作NM丄。 ,与o交于M点。 则M、N为所求的两点。 证明: 如图2-2,设MN平移至PQ的位置,则因为AE=PQ,且AE//PQ,所以四边形AEQP为平行四边形,即AP=EQ;同样,AM二EN,AM+BN二BE,在△BQE中,BQ+QE>BE,所以BQ+AP>BN+AM,两边同时加上PQ和MN,得: BQ+PQ+AP>BN+MN+AM。 模型三: 一个角内多线段之和的最值 1,如图3-1,点P为上AOB内部的一点,试分别在的周长最OA、OB上各找一点M、N,使厶PMN 小。 N两点为所求。 证明: 因为PM二MPi,NP二NP2,所以Z\PMN的周长为P1P2;分别在OA、OB上任选其他两点C、D,连接PC、PD、PiC、P2D、CD,则CP二CP1,DP二DP2,所以Z\PCD的周长为P1C+CD+DP2,而在P1P2两点之间,P】P2的线段最短,故P1P2VP1C+CD+DP2, capmn 2.如果问题1中添加条件: 上AOB二30。 ,且OPRO,求C-pmn的最小值。 企加誓于工押左 【解析】如图3-3,首先按照问题1的方法作出三角形PMN,即图中的APMN的周长为最小,且Capmn=PiP2o连接OPi、OP2,则OP二OP】二OP2二10,且ZPOM=ZMOP1,ZPON=ZNOP2,所以ZPiOP2=2(ZPOM+上PON)二2上AOB二60°,于是△OP1P2为等边三角形,故PiP2=OP1=10,即Capmn的最小值为10. 图M 过F作Fl丄BC于I。 则又TBE =2CE, *=30°,又/ •••/FGI二ZBGD1二60°,故 -)折叠中隐含的已知条件 近些年来,有关折叠问题题目在中考中屡见不鲜,解决折叠问题的核心是对轴对称图形的基本知识,比如折痕就是对称轴、轴对称图形的全等、轴对称的对应线段相等、原图形上的任一点和其对称点连接起来的线段被对称轴垂直平分等。 折叠问题在中考中越来越受到重视,主要是考验学生的空间想象力。 充分利用折叠问题中的已知条件和隐含条件是解题的关键。 【例1】 着过E点的直线翻如图],已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿C'、D处,且点C'、折后,点C、DD\Go设AB=t,那么Z\EFG 分别落在BC边下方的点B在同一 条直线上,折痕与AD交于点F,D'F与BE交于点的周 长为多少? (用含t的代数式表示) C'E交于H点; GH=FI=t,不难证明RT△GHETAFGI,故GE二FG;CE二C E,/.BE=2C*E,而ZBC*E=90°,/.ZEBCBD*G二90°, AFGE为等边三角形;在AGHE 【例2】如图2-1,在一张矩形纸片ABCD中,AD二4厘米,点E、F分别是CD和AB的中点,现将这张纸片折叠,使点B落在EF±的点G处,折痕为AH,若HG的延长线恰好经过点D,则CD的长度为多少? 解析】易知G为DH的中点,又AG丄DH,故AD二AH。 在AADG和△DH C中,AG=AB=DC,ZC=/AGD=90°,ZADG=/DHC(同时和上 CDH互余),.•.△ADG仝△DHC,即AD=DH,故 【例3】如图3-1,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴、y轴上,连接AC,将矩形纸片OABC沿AC折叠,使点B落在点D 的位置。 已知点B(1,2),则点D的坐标是多少? S3-1 AB=AD=OC=2,设D(x,y) '•;I兰ET刁寿尹三存星 【解析】由已知得: OA=CE=CD=1, 练习: 1,如图d-1,在矩形ABCD中,已知AD二8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在F处,折痕为AE,且EF=3.则AB二? 提示】CF=4,设AB=x,则AC=4+x,再用勾股定理可解。 2,如图d-2,在矩形ABCD中,已知AB=12,BC=6,点E、F分别在AB、CD 上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A'和D‘处,FD‘ 与BE交于点G,则四边形BCFG和四边形EGD之和为多少? 'A'的周长 提示】将两个四边形的边按照合理的组合,转变成已知的线段长度。 三)“将军饮马”模型及其推广 某一天,一位将军向古希腊数学家、物理学家海伦请教一个问题: 如图1-1,从A地出发,到笔直的河岸去饮马,然后再去B地,走什么样的路线最短呢? 去乃中刃芋勿孚工作M 这就是著名的“将军饮马”问题。 众所周知,如图1-2,运用对称变换知,将军的饮马点应选在O点,此时 OA+OB最短。 “将军饮马”模型推广: 【例1】如果将军在饮马后还要在河边走一段路,这段路的长度是固定的,那么饮马地点应该怎么选呢? (如 1-3) A8 【分析】因为CD的距离固定,即求AC+BD最短,与图1-2相比,OA+OB为折线,而AC+BD没有公共点的线段,所以通过平移进行连接,转化为前面讨论过的问题。 如图1-4,将点B向左平移相当于CD长度的距离,至B',连接B'A*,与直线I交于点C,连接BD,容易证明,此 时AC+CD+DB最短。 【例2】如图1-5在锐角三角形ABC中,AD为ZBAC的角平分线,点M、N分别是AD、AB±的动点,试在图上标上M、N,使MN+MB最小。 : 二恰三 E重合时BN'最短,作E关于AD的对称点与AD交于点M,连接MNN则则庶卅嗓祖日-,7麻以图,连接BEN点 ,倒年如翊鲂2CM) 「州,鈕他切12的周长最短时,ZMAN的度数是多少? ,在BC、CD± N,则此时 EAM,Z 【解析】如图1-9,根据前文《轴对称与折叠问题 (一): 几何作图最值问题》介绍, 分别作点A关于BC和CD的对称点E、F,连接EF,分别与BC、CD交于M、N点,连接AM、AAAMN的周长最短(证明从略,见前文)。 易知,AAME和△ANF均为等腰三角形,所以ZE=ZF二ZFAN,在△AEF中,ZEAF二120°,故ZE+ZF二60°,即上EAM+/FAN二60。 ,所以上MAN二12°0-600=60°。
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- 关 键 词:
- 轴对称 折叠 问题