离散数学神秘籍.docx

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离散数学神秘籍

辛辛苦苦学了一年离散数学了，挂了挺可惜的不是，而且以后很不好补回来，昨天我掉山崖下面去了，在一个很脏的山洞里发现的，旁边还有阳顶天的尸骨，太tm吓人了，小伙伴们快来炫耀下。

一：

10道选择题（2/20）

1.判断命题（概念）

在数学中，一般把判断某一件事情的“陈述句”叫做命题。

一定记得是陈述句。

问句，感叹句等别的句子都不是命题。

比如：

这个西瓜真大啊！

你吃饭了么？

我真是日了狗了！

这都不是命题。

命题一定可以判断真假，但没有时间限制。

比如：

明天会下雨。

这是命题，重申一遍，这是命题。

明天要么下雨，要么不下雨，可以判断真假，只是现在不能判断真假罢了。

场景模拟：

以下四个选项中，是命题的是（）。

A:

下雪了，我们出去散散步吧。

B：

这饭你怎么做的啊，怎么这么好吃？

C：

小明每次都迟到，真是大笨蛋。

D：

玛雅人是不用睡觉的。

答案：

D

2.命题符号化

通常这种题都是写一个陈述的句子，让你判断下面四个那一个是这种命题的符号化语言，这种题相对简单。

有一点值得注意，用或连接的时候，要看看是不是排斥或（即两种事能不能一起发生）。

如果能一起发生，就用或连接，符号是V；如果不能一起发生，就要用异或来连接，符号是

，也可以写成（p与非q或非p与q）。

蕴含需要注意的是两个词：

只要，除非（可能还有其它的，不过我觉得就这两个，又不考语文）；看到这两个词的时候，这两个条件作为必要条件要放到后面。

其它的直接顺着写过来就好。

场景模拟：

除非小明和小静中有一人去看电影，那么小华今天才会出门，如果天气没有下雨的话。

P：

小明去看电影；q：

小静去看电影；r：

小华今天出门；s：

天没有下雨。

A：

PvQvRvS

B：

P^Q^R^S

C：

P→Q→R→S

D:

（S→R）→（P

Q）

答案：

D

3.求命题的成假赋值

本题是选择题，我想大概不会太难的让画真值表。

应该是蕴含之类的，蕴含只有10时候才会成假，那就把后面的成0，前面的成1.不画真值表就尽量不画，太耗时间了。

场景模拟：

求p→（q^r）的成假赋值。

A：

000001010

B：

100

C：

101

D：

100101110

答案：

D

4.判断真命题

一般这样的题目都不是自己理解的常识，像两点之间线段最短啊，三角形具有稳定性啊，宇宙大爆炸起源于137亿年前啊，碱基置换突变指DNA分子中一个碱基对被另一个不同的碱基对取代所引起的突变啊，因为这样太不公平了，违了离散数学的初衷。

应该是给出条件能够推理出后面都结果来的这样的题目。

这个就要靠自己推理了，建议多看看推理小说，那么有人问了，那里有得看？

贴吧有得看啊，我会祝福你们这题答对的。

如果真是常识的话，送的分大家可不要不要啊。

场景模拟：

下面命题是真命题的是（）

A：

明天会下雨。

B：

如果三角形三边相等，那么它们可以组成矩形。

C：

如果p^q为假，那么pVq也为假。

D：

p→q仅当p取1q取0时为假。

答案：

D

5.给出三个集合，求它们的并和对称差

并我就不多说了，对称差是什么呢？

心里是不是充满了小疑惑，不要被它蒙蔽了双眼，很简单的一个小运算。

通常符号化语言的话就是AΔB。

AΔB=（A∪B）−（A∩B）。

减就是集合的差，A—B就是在A中不在B中的元素。

比如：

A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，A-B=｛0，3｝。

对称差通俗点说就是取出来两个集合中不相同的元素组成的集合。

比如：

{1,2,3}和{3,4}的对称差为{1,2,4}。

场景模拟：

A={0,1,3,4};B={0,1,3};C={1,2,4},求（A∪B）Δ（B∪C）=（）

A：

{1,2,5}

B：

{0,1,3}

C：

{2,3,4}

D：

{2}

答案：

D

6.判断关系的性质

关系想必大家都知道吧。

就像我们人类有兄弟姐妹父母师生主仆叔侄祖孙姑姨表一样，关系也有五种性质。

自反，反自反，对称，反对称，传递。

自反：

说白了集合中有1，2关系中就得有<1,1>,<2,2>.没有就不是自反关系。

是全部都要有。

对于任何a∈A，总有aRa，即任何a∈A，使得（a,a）∈R，则称集合A上的关系R是自反的。

例如：

"大于等于"是种自反关系，但"大于"不是自反关系。

反自反：

就是集合中有1，2关系中就不能有<1,1>，<2,2>，一个都不能有。

对称：

说白了就是关系中有<1,2>,就必须要有<2,1>.

反对称：

说白了就是关系中有<1,2>就一定不能有<2,1>.注意：

对称关系不是反对称关系（满足"aRb且bRa蕴含b=a"的二元关系）的反义。

有些关系既是对称的又是反对称的，比如数域上的“等于”；有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的“整除”；有些关系是对称的但不是反对称的，比如整数的“模n同余”；有些关系不是对称的但是反对称的，比如数域上的“小于或等于”。

传递：

说白些吧还是，太专业了恐怕不好理解。

就是关系中有<1,2>,<2,3>.必须有<1,3>。

这种关系恐怕有限集合列出来的都不是传递关系，因为要所有。

列出来大概就是算法表示的。

比如大于等于关系。

这五种关系没有一个是在存在的条件下成立的，都是所有，这点要注意。

这个整除关系要注意下，可能填空题要写，一定要小的写前面，大的写后面。

比如<2,4>,<3,9>,<2,2000>不要记混淆了。

场景模拟：

整除关系具有（）

A：

自反性

B：

反自反性，传递性

C：

对称性

D：

自反性，传递性。

答案：

D

7.从集合A（m个元素）到集合B（n个元素）的二元关系的映射有多少个？

这个题目简单的很呐。

记着答案就好了，过程不必纠结了。

老师也说了好多遍。

是nm。

也就是n的m次方。

看看书上第85页例4.35.

不想翻书是吧。

看见书头疼是吧。

好好好。

来来，我给你们打上。

唉。

设A={a,b,c},B={0,1}.从A到B的函数有以下8个。

即23=8.

F1={,,}

F2={,,}

F3={,,}

F4={,,}

F5={,,}

F6={,,}

F7={,,}

F8={,,}

场景就不模拟了。

想看就用3dmax自己捏捏。

8.双射，单射，满射。

这里有满射，单射和双射的定义，来你们感受下：

设A和B是集合，f：

A→B。

（1）若f（A）=B，则称f为满射的函数，简称为满射。

（2）若对于任意x，y属于A，如果x≠y，则f（x）≠f（y），那么就称f为单射的函数，简称为单射。

（3）若f既是单射，又是满射，则称f为双射的函数，简称为双射，又称为一一（yiyi，不是破折号，才发现两个一打上来这么连）对应。

是不是一头雾水，别怕，找条毛巾擦擦。

其实很简单的。

看看下面这道题你们就会明白了。

单射就是每一个左边的值都有右边唯一的值对应。

（右边的值可以有剩余）

满射就是每一个左边的值都有右边的值对应。

（右边可以重复，但也要取满）

双射就是即是单射又是满射（每一个左边的值都有右边唯一的值对应，右边要取满）

场景就不模拟了，上面很多了，自己来练练手。

当然麒麟臂就可以不用练手了。

9.代数系统子代数（满足封闭性）

代数系统定义：

非空集合S和S上若干运算f1，…，fm以及S中若干元素a1，…，ak组成的系统成为代数系统，也成为代数结构，记为。

如果代数系统中的集合是有限集合，则称该代数系统为有限代数系统，否则成为无限代数系统。

有限代数系统中的集合的元素个数称为该有限代数系统的阶。

封闭就是集合里面的元素通过运算得到的结果还在这个集合里，那么就封闭，否则就不封闭。

比如实数的加法就封闭，无理数的加法就不封闭，因为两个无理数相加可能得到有理数。

子代数系统定义：

设是代数系统，A是S的非空子集如果A对于每个fi封闭，并且每个ai都在A中，则称是的子代数系统，简称子代数。

这个也没有什么题目来模拟，你们体会下就好了。

这么理解吧。

如果一个代数系统是封闭的，那么往这个代数系统的集合里添几个这个集合以外的元素，那么得到的新代数系统的子代数就可以是起初的那个代数系统。

10.图论（求度数，握手定理）

这个题最后的作业上多得很，反正就死记握手定理：

一个图，点的总度数等于边的两倍。

还有个推论，度数为奇数的顶点个数必定是偶数。

这种题多说无益。

来，你们练练。

124页例7.2自己看看。

不想看是吧，嫌麻烦是吧。

好，行，我给你们打上。

唉。

已知图G中有1个1度顶点，2个2度顶点，3个3度顶点，4个4度顶点，问G中有多少条边。

？

解：

设G中有m条边，由握手定理知，2m=1*1+2*2+3*3+4*4，得m=15.所以G中有15条边。

场景模拟：

设无向简单图G有9个顶点，其中有6个3度顶点，其余的顶点度数均小于3，问G中至多有多少条边。

A：

9

B：

10

C：

11

D：

12

答案：

D

解：

设G中有m条边，依题意得，除3度顶点外，其余顶点的度数均小于等于2，故G中顶点的总度数小于等于3*6+2*（9-6）。

根据握手定理，G中顶点的总度数等于2m。

因此2m<=3*6+2*（9-6）,解得m<=12.故G中至多有12条边。

二、10道填空（2/20）

1.求命题公式的成假赋值

这个跟选择题差不多，能不画真值表就不要画，通常都是有蕴含在里面的。

2.给集合求幂集

幂集大家都知道吧。

就是一个集合所有子集的集合。

这个通常考的很绕。

大家要按步骤来写。

场景模拟：

求集合A=｛Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝的幂集。

自己先写写看。

按照步骤来，这个集合一共三个元素。

Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝。

0元子集：

Φ（这个是固定的，任何一个集合的0元子集都是这个，跟集合里面的元素无关，而且只有这个集合不用｛｝括起来）。

1元子集：

｛Φ｝，｛｛Φ｝｝，｛｛｛2｝，3｝｝。

（就是挑一个元素用大括号括起来。

）

2元子集：

｛Φ，｛Φ｝｝，｛｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝，｛Φ，｛｛2｝，3｝｝。

（就是挑两个元素用大括号括起来）。

3元子集：

｛Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝（就是挑三个元素用大括号括起来，也就是它自己）。

然后把子集写进来，外面用大括号括起来。

即P（A）=｛Φ，｛Φ｝，｛｛Φ｝｝，｛｛｛2｝，3｝｝，｛Φ，｛Φ｝｝，｛｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝，｛Φ，｛｛2｝，3｝｝，｛Φ，｛Φ｝，｛｛2｝，3｝｝｝。

怎么样，简单吧。

按步骤来，无论什么集合都很好写，再迷惑我们也能理清思路。

干巴跌。

3.命题公式类型（永假，永真，可满足）

这个就自己画表吧。

要是厉害的能一眼看出来那就一眼看出来，顺便帮大家看看。

还可以求它的主析取范式或者主合取范式，数一数里面有多少项也行。

不会的就自己画吧。

实在是怕浪费时间就抽签，或者直接写永真式，因为这个概率高。

4.主合取范式求主析取范式

记着一个方法就好。

也不必太过于去了解什么是主析取范式，什么是主合取范式，不好记，而且就考一个填空，那我们就针对它。

你们拿好针了么？

来，对着它扎扎。

要先看看有几个命题，n个命题有2n个项。

给出的主合取范式或者主析取范式肯定是缺项的，那么就找到缺少的那些项，这个很绕啊，我看书看了好久，记得课上学的咋不一样呢，不知道是不是我学错了。

你们可以看看书上17页到18页的例子。

这个我就不打上了，太多了。

场景模拟：

求主析取范式（┐p^┐q^r）v（┐p^q^r）v（p^┐q^┐r）v（p^┐q^r）v（p^q^r）的主合取范式。

答案：

（pvqvr）^（pv┐qvr）^（┐pv┐qvr）

开始的时候赋值，当然这个随便赋值，但自己要记着，p赋1，┐p就赋0，以此类推。

.然后写出来上面的是m1vm3vm4vm5vm7.缺少0，2，6.就是M0^M2^M6.这时候要把上面赋的值反过来赋（课上记得不是这样啊，唉，不知道是不是我忘了还是学傻了）那么就变成了p赋0，┐p赋1.写出来就是（pvqvr）^（pv┐qvr）^（┐pv┐qvr）。

怎么样简单吧。

干巴跌。

5.两个关系的复合运算

复合关系的符号是〇。

书上74页定义4.15.太难打了，符号找不出来。

复合关系满足结合律，不满足交换律。

其实就是传递运算。

刚好下面例4.13很详细。

说白了呢就是前面一个集合里有关系，就要在后面集合的关系里找以y开头的，比如.这样就得到一个关系就是复合运算，一个一个找，也很好找。

6.求二元运算的单位元（也就是幺元）

一般这种式子都是可交换的，如果不可以就换就只有左单位元或者右单位元。

什么是单位元呢，单位元人如其名，就好像充当一个单位一样，任何一个数跟单位元运算得到的都是任何一个数。

在这里顺便说下零元，零元也人如其名，别人都是“零”，无视其它元素，任何一个元素跟零元做运算都得到零元。

很容易理解，一道题就可以了。

场景模拟：

求x*y=x+y+2xy的单位元。

答案：

0

通常设单位元为e。

求的是e，不要搞错了。

即x*e=x

x+e+2xe=x

e=0

即单位元为0.有时候要看满不满足交换律，不满足可能只有做单位元或者右单位元。

7.图论，求总共几个顶点（握手定理）

说多了就显得罗嗦了，还是握手定理。

记住它考试的时候列个公式算出来就行了。

8.非同构图的情况

这个看自己运气了，XX了几下也没找到n个点的非同构图有多少个的公式。

我想应该是看两个图是不是同构，就像以前我们化学学的同分异构体，希望如此吧，带瓶眼药水，滴滴让眼睛明亮些。

9.n阶正则图有多少边和点

定义：

所有顶点的度数均为某个自然数k的无向简单图称为k度正则图。

看了定义这个要给条件啊，也很好算，这里就不多说了，看着匀称匀称而且很有美感的图大概就是正则图，像三角形，五角星，六角星，魔牌线阵等都是正则图。

10.求树的树叶

就一句话：

树就是边数比点数少一的无向简单图。

树叶就是度数为一的点。

场景模拟：

无向树T有n2个顶点的度数为2，n3个顶点的度数为3，…，nk个顶点的度数为k，其余顶点都是树叶。

请问T有几片树叶？

答案：

n3+2n4+3n5+…+（k-2）nk+2.

三、判断对错（1/10）

1.联结词全功能集

书上概念很是厚重啊，我看了一下，很虚皮。

一句话，能不能用已给的联结词集合表示所有的逻辑关系。

什么是联结词集合呢，｛v，^}，这就是个联结词结合。

要记住与或非，与非，或非，非蕴含都是全功能集。

题目大概就是28页第13题那样，我们书上就这么一个这种类型的题。

可能就会出这一个。

2.集合运算（条件式）

没太听懂这什么意思，不知道是不是给出条件写出集合啥啥的。

唉，碰个运气吧。

3.命题公式主析取范式和主合取范式的概念

连环概念啊。

不想看就看最后一句。

命题变元及其否定统称为文字。

如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为相反的文字。

（p和非p都是文字，且为相反的文字）

如果都是文字，则称A1v…vAn为简单析取式，称A1^…^An为简单合取式。

如果A1，…，An都是简单合取式，则称A1v…vAn为析取范式。

如果A1，…，An都是简单析取式，则称A1^…^An为合取范式。

设p1，…，pn是不同的命题变元，A1,…An都是文字。

如果每个Ai是pi或非pi，则称简单析取式A1v…vAn为关于p1，…，pn的极大项，并称简单合取式A1^…^An为关于p1，…，pn的极小项。

如果A1，…Am是关于p1，…，pn的不同极小项，则称A1v…vAm为关于p1，…，pn的主析取范式。

如果A1，…Am是关于p1，…，pn的不同极大项，则称A1^…^Am为关于p1，…，pn的主合取范式。

主析取范式和主合取范式统称为主范式。

是不是晕了，死记住八个字就行了，看大运算，就是主要的运算：

v析^取，v大^小。

4.集合运算（交并补）

这个上面也说过了，说多了显得啰嗦了，看清楚就好了。

5.函数存在反函数的条件。

每个关系都有逆关系，函数是特殊类型的关系，也有逆关系。

但是，函数的逆关系不一定是函数。

这个但是用得好啊，一语道破天机。

只有当f是从集合A到集合B的双射时，它的关系f-1才是从B到A的函数，并且是双射。

6.图的同构概念（充分的，必要的啥啥的）

这个大家也不陌生，读读题自己画画，能找到一个不符合的情况这道题就是错的。

7.点连通度，边连通度，图最小度数之间的关系

无向图点连通度小于等于边连通度小于等于最小度。

8.太简单老师没说（猜测应该是问1*1是不是等于2）

按照顺序，应该到图了，可能是概念。

送的分，闭着眼也要写上。

9.太复杂老师也没说（猜测应该是未来宇宙的演变）

就一分，看一下不会就不要算了，左手和右手猜拳，左手赢了打叉，右手赢了打勾。

我不，我就要右手赢了打叉，左手赢了打勾。

好好好，都依你们。

你们开心就好。

10.欧拉图和哈密顿图的关系

欧拉图：

设G=是连通图，经过G中每条边一次且仅一次的通路成为欧拉通路；经过每条边一次且仅一次的回路成为欧拉回路；有欧拉回路的图称为欧拉图。

哈密顿图：

无向图或有向图G中经过每一个顶点一次且仅一次的通路，成为哈密顿通路；经过每个顶点一次且仅一次的初级回路，成为哈密顿回路；有哈密顿回路的图成为哈密顿图。

欧拉图针对于边，保证每个边都通过且仅通过一次，不考虑点；哈密顿图针对于点，保证每个点都通过且仅通过一次，不考虑边。

它们的关系是不一定关系。

判断题不同于其它的题，概率很大，可以看题目的气场，一定啥啥的基本都不对，不会的话全打叉吧。

也能拿个5，6分吧。

不要空着。

空着要是老师给了10分可就不好了，不要意思要。

四、5道大题（10/50）

1.逻辑推理证明题（两个小题，构造证明法）

这个书上22页有推理基本逻辑，不好打上来。

也有例子。

也就是将所有的条件和结论中的前提与起来能够推出后面的结果来就行了。

下面也有例子。

这个大题好拿分，不建议早早的看，考试又忘了，考前看看刚好趁个热乎。

场景模拟：

答案：

2.证明此关系是等价关系

等价关系：

如果R是集合A上自反的、对称的、传递的关系，则称R为A上的等价关系。

即证明此关系是自反的，对称的，传递的就好。

应该是描述性的题，自己定义个算法，写出集合的关系。

这个题好难找啊，一个一个的证明就好了。

应该不会很难吧。

我这样想。

3.偏序关系（哈氏图，极大小元，最大小元，上下界，上下确界）

偏序就是满足自反性，反对称性，传递性。

设是偏序集，B包含于P，b属于B。

（1）如果对于所有的x属于B都有x≼b，则称b为集合B的最大元。

（2）如果对于所有的x属于B都有b≼x，则称b为集合B的最小元。

（3）如果不存在x属于B使得b≺（不是小于号）x，则称为集合B的极大元。

（4）如果不存在x属于B使得x≺（不是小于号）b，则称为集合B的极小元。

（5）如果对于所有的x属于B都有x≼b，则称b为集合B的上界。

（6）如果对于所有的x属于B都有b≼x，则称b为集合B的下界。

（7）如果b是B的上界集合的最小元，则称b为集合B的最小上界。

即上确界。

（8）如果b是B的下界集合的最大元，则称b为集合B的最大上界。

即下确界。

赶紧看一道题压压惊。

场景模拟：

答案：

4.能不能构成群（单位元，逆元）

群是对于代数系统而言的，还记得代数系统吧。

可不要以为群就是我们班群。

若*是非空集合S上的可结合的二元运算，则称代数系统为半群。

若半群中的二元关系是可交换的，则称它为交换半群。

若半群中的集合是有限集合，则称它为有限半群，否则称它为无线半群。

若是半群，e是关于*的幺元，则称代数系统为幺半群。

若幺半群中的二元关系是可交换的，则称它为交换幺半群。

若幺半群中的集合是有限集合，则称它为有限幺半群，否则称它为无线幺半群。

如果x*y=幺元。

那么y就是x的逆元。

若幺半群中的每个元素都有逆元，f是G上的求逆元运算，即f（x）=x-1，则称代数系统为群。

若群中的集合是有限集合，则称它为有限群，否则称它为无线群。

若有限群中的集合有n个元素，则称该有限群为n阶群。

一阶群，即幺元是群中唯一元素的群，成为平凡群。

不好找原题，你们感受感受。

有感觉就好了。

5.图论（计算题，求度序列啥啥的，要死记住符号含义）

这个题上面也有很多了。

要记着符号都含义。

△代表大，δ代表小。

上标+代表出度，-代表入度。

考试当然不会这么简单了，不过支离的知识都在了，也好办多了。

以此献给那些上课没听不想复习又不想挂科的孩子们，老师对我们情深意重，我们岂能负了他。

这都是针对的。

经过天河二号9秒77的精密运算得出此秘籍的符合概率为71.11357%。

就是说你看了此秘籍后，考试的时候什么都不写，你的意识也会让老师给你71分的。

干巴跌。

无聊的时候，没有事干的时候，记得别忘了去贴吧水水贴哈。