高数第六章二重积分.docx
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高数第六章二重积分
1.定义
设
是定义在有界闭区域
上的有界函数,如果对任意分割
为
个小区域
,对小区域
上任意取一点
都有
存在,(其中
又表示为小区域
的面积,
为小区域
的直径,而
),则称这个极限值为
在区域
上的二重积分,记以
这时就称
在
上可积,如果
在
上是有限片上的连续函数,则
在
上是可积的。
2.几何意义
当
为闭区域
上的连续函数,且
,则二重积分
表示以曲面
为顶,侧面以
的边界曲线为准线,母线平行于
轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面
它在
平面上的投影区域为
,上半曲面方程为
,下半曲面方程为
,则封闭曲面
围成空间区域的体积为
3.基本性质
(1)
(2)
(3)
其中
。
除公共边界外,
与
不重叠。
(4)若
,则
(5)若
,则
其中
为区域
的面积
(6)
(7)积分中值定理,设
在有界闭区域
上连续,
为
的面积,则存在
,使得
我们也把
称为
在
上的积分平均值。
4.对称区域上奇偶函数的积分性质
定理1 设
在有界闭区域
上连续,若
关于
轴对称,则
其中
为
在
轴上半平面部分
定理2 设
在有界闭区域
上连续,若
关于
轴对称,则
其中
为
在
轴的右半平面部分
定理3 设
在有界闭区域
上连续,若
关于原点对称,则
其中
为
的上半平面部分或右半平面部分
定理4 设
在有界闭区域
上连续,若
关于直线
对称,则
若
分别为
在
的上方与下方部分,则
二、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题
模型Ⅰ:
设有界闭区域
其中
在
上连续,
在
上连续
则
模型Ⅱ:
设有界闭区域
其中
在
上连续,
在
上连续
则
关于二重积分的计算主要根据模型Ⅰ或模型Ⅱ把二重积分化为累次积分从而进行计算,对于比较复杂的区域
,如果既不符合模型Ⅰ中关于
的要求,又不符合模型Ⅱ中关于
的要求,那么就需要把
分解成一些小区域,使得每一个小区域能够符合模型Ⅰ或模型Ⅱ中关于区域的要求,利用二重积分性质,把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和,而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段、具体做法是先把給定的累次积分反过来化为二重积分,求出它的积分区域
,然后根据
再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分.
三、在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分,也即先固定
对
进行积分,然后再对
进行积分.由于区域
的不同类型,也有几种常用的模型.
模型设有界闭区域
其中
在
上连续
在
上连续
则
模型Ⅰ设有界闭区域
其中
在
上连续,
在
上连续
则
模型Ⅱ设有界闭区域
其中
在
上连续,
在
上连续,
则
模型Ⅲ设有界闭区域
其中
在
上连续,
在
上连续,则
(乙)典型例题
一、直角坐标系中二重积分的计算
【例1】 计算
,其中
是由曲线
所围区域。
解
【例2】计算
其中
是以
和
为边的平行四边形区域。
解
【例3】 计算
其中
是由摆线
的第一拱和
轴所围区域。
解 令
表示摆线的方程,则
令
则
,于是
原式
【例4】 计算
解原式
【例5】计算
解原式
令
,则
于是原式
【例6】计算
,其中
由
和
轴所围区域。
解如果
那么先对
求原函数就不行,故考虑另一种顺序的累次积分
这时先对
积分,
当作常数处理就可以了。
原式
二、极坐标系中二重积分的计算
【例1】计算
其中
由
与
轴围成上半圆区域。
解
在极坐标系里
【例2】求
解一
解二 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知
原式
三、交换积分顺序
【例1】 交换
的积分顺序。
解 原式
其中
由
和
所围的区域,按另一积分顺序把二重积分化累次积分
原式
【例2】交换
的积分顺序。
解 原式
其中
由
和
所围的区域,按另一积分顺序把二重积分化累次积分
原式
【例3】 交换
的积分顺序。
解原式
其中
由
和
所围的区域
因此,原式
【例4】交换
的积分顺序
解原式
其中
由
和
以及
所围的区域。
由
解出
解出
因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块
小区域得
原式
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