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稳态导热习题
稳态导习题
1固体内的一维导热问题
例1具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热,其厚度为2δ,导热系数λ为常数,两侧壁温各自均布,分别为tw1和tw2,试求该平壁内的温度分布表达式。
解:
根据题意,x坐标的原点取平壁的中心线,描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为:
边界条件:
x=-δ:
t=tw1x=δ:
t=wt2
d2t
dx2
qv0
1)
2)
移项后积分该微分方程式两次可得其通解
代入边界条件
式(4)+式(5)
式(4)-式(5)
dtqvxC1
dx
tqvx2C1xC2
qv()2C1()C2
2
qv2C1C2
Ctw1tw2qv2
tw2tw1
C1
3)
4)
5)
(6)
7)
C1和C2代入微分方程式的通解式(3)后得到壁内的温度表达式
tqv(22x2)tw2tw1
tw2tw1
x
2
8)
例2具有均匀内热源
qv的无限大平壁处于稳态导热,其厚度为2δ,导热系数λ为常数,两
侧壁温各自均布且相同,均为tw,试求该平壁内的温度分布表达式。
解:
根据题意,导热微分方程式同上题。
由于两侧壁温相同,是一种对称情况,因此只需求
解一半的求解域即可,
式为:
x坐标的原点取平壁的中心线。
描述该平壁内稳态温度场的微分方程
d2tqv
20
(1)
dx2
边界条件:
x=0:
dt0dx
(4)
(5)
(6)
(7)
常数C1和C2代入微分方程式的通解式
3)后得到壁内的温度表达式
qv
2
22
(2x2)tw
(8)
x=δ:
t=tw该微分方程式的通解为
tqvx2C1xC2
2代入边界条件
0qv0C1
twqv2C1C2
w212
由式(4)
C10
常数C1代入式(5)
C2twqv2
2
例3一锥台如附图所示,顶面和底面温度各为均匀的tw1和tw2,
侧面覆有保温材料。
锥台的导热系数λ为常数.该锥台横截面的直
径随坐标x的变化规律为d=cx(c为常数)。
设锥台内的导热为沿x方向的一维稳态导热。
试求:
a.通过锥台的热流量
b.任意x处的热流密度
解:
锥台顶面和底面的温度已知,锥台内无内热源,侧面绝热,因此锥台内沿x方向的热流量Ф为常数,导热系数λ为常数,可用傅里叶定律直接积分求得。
1)
根据傅里叶定律Axdt
dx
式
(1)两侧分离变量并积分
tw2x2
2)
dtdx
tw1x1A
由于热流量Φ和导热系数λ均为常数
3)
tw2x2dx
dt2
tw1x1(cx)2
4
tw2
4
c2
(1x)|xx12
4)
tw2tw1
411
2()cx2x1
因此
tw2
tw1
11
6)
x2
x1
任意x处的热流密度
qA
tw2tw1
7)
x2(
x2
x1
例4一无限大平壁处于稳态导热,其厚度为δ,导热系数λ可用线性函数关系式λ=λo(1+ct)近似,其中λo和c均为常数,两侧壁温各自均布,分别为tw1和tw2,试求通过该平壁的热流
密度q。
解:
无限大平壁两侧的温度已知,平壁内无内热源,因此沿与平壁垂直的x方向的热流量Φ或热流密度q为常数,可用傅里叶定律直接积分求得。
根据傅里叶定律
dtqt
(1)
tdx
式
(1)两侧分离变量并积分
tw2
tw2
tw2tdt
tw1
to(1ct)dt
tw1
0qdx
(2)
c
o(tc2t2)|ttww12q(3)
因此
qo[(tw1ctw21)(tw2ctw22)](4)
22
例5一导热系数为λ1=1.3W/(m·K),厚2cm的无限大平壁,外覆盖一层导热系数λ2=0.35
W/(m·K)的保温材料以减少热损失。
当组合壁的内、外表面温度分别为1300℃与30℃时,
t
12
欲使稳态导热时热损失不超过1830W/m2,保温材料的厚度应为多少?
解:
根据题意,各层壁内无内热源,因此沿壁厚方向的热流密度为常数。
tqqRi
A
1830
(130030)
0.022
1.30.35
因此,
20.35(
130030
1830
0.02
1.3
0.2375
例6已知一半径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热,它的导热系数λ为常数,内热源强度
qv为常数。
圆柱体表面温度均布为tw,试求圆柱体内的温度分布。
解:
由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况,因此只需求解一半的求解域即可,r坐标的原点取圆柱体的中心线。
当导热系数λ为常数时,描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式
为
1ddtqv
(r)v0rdrdr
(1)
边界条件:
r=0:
dt
0dr
r=r0:
t=tw
(2)
移项式(
1)
ddtqv
ddr(rddrt)vr
(3)
式(3)
两侧积分一次
rdtqvr2C1
dr2
(4)
式(4)
两侧除以r
后再积分一次,可得该微分方程式的通解
tqvr2C1lnrC2(5)
4
代入边界条件
C1=0时,该方程的解
当r→0时,lnr→∞,而圆柱体内的实际温度是有限的,因此取才符合实际情况。
twqvr02C2
(6)
4
C2
qvr02tw
(7)
4
常数C1和C2代入微分方程式的通解式(5)得到圆柱体内的温度表达式
tqv(r02r2)tw(8)
4
例7已知一直径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热,它的导热系数λ为常数,内热源强度
qv为常数。
圆柱体表面浸在流体中。
流体的温度为tf,液体和圆柱体间的对流换热系数为h
试求圆柱体内温度分布的表达式。
解:
根据题意,几何条件,物理条件都同上题,可以从上题的公式(5)开始。
tqvr2C1lnrC2(5)
和上题,取C1=0并代入圆柱体表面的边界条件。
上题中式
(2)可写成
qvr0h(t|rr0
tf)
因此C22qvhr04qvr02tf
常数C1和C2代入微分方程式的通解式(5)得到圆柱体内的温度表达式
(7)
8)
tqvr2qv
4
2hr04r0tf
(9)
讨论:
例题2.6和2.7的几何条件和物理条件相同,但因边界条件不同,因此解的形式完全不同。
例8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为0.1Ω/m,导热系数λ=19W/(m·K),浸在温度为30℃的液体中,液体和金属丝间的对流换热系数h=5.5kW/(m2·K)。
当100A的电流通
过该金属丝时,试求金属丝的中心温度。
解:
根据能量守恒,电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换热量,
因此可列出能量守恒方程
2
I2R=hA(tw-tf)式
(1)中代入具体数值
1002×0.1=5500×π×0.003×1×(tw-30)因此可算得金属丝表面温度为
tw=49.3℃
内热源强度
I2R
r02L
2
10020.1
2
0.001521
141.5MW/m
1)
2)
3)
4)
由解析习题2.6中式(8)计算出金属丝中心(r=0)温度为
qv
4
r02tw
141.5106
419
0.0015249.353.5
℃(5)
1cm,导热系数
例9蒸汽管道的外直径为6cm,管外覆盖两层保温材料:
第一层的厚度为λ1=0.14W/(m·K);第二层的厚度为2cm,导热系数λ2=0.042W/(m·K)。
蒸汽管道的外表面温度tw1=300℃,保温层外表面温度为tw3=40℃。
试求稳态导热时两层保温材料交界面的温度tw2。
解:
多层壁的问题,采用热阻计算。
根据题意,各层壁内无内热源,因此沿半径方向的热流量为常数。
tw2
tw2tw3
ln(r1/r2)
ln(r2/r3)
1)
21l22l
式
(1)中消去2πl,并代入具体数值,
300tw2tw240ln(3/4)ln(4/6)0.140.042因此可求得两层保温材料交界面的温度
3)
tw2=240.3℃
例10已知一内外径分别为r1和r2的圆球壁,它的密度ρ和比热容c均为常数,无内热源。
两侧壁温各自均布,分别为tw1和tw2。
试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的表达
式。
解:
根据题意,这是一种对于圆心的对称情况,
数时,描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为
r坐标的原点取圆心。
当导热系数λ为常
d(r2dt)0drdr
1)
边界条件:
r=r1:
t=tw1
r=r2:
t=tw2式
(1)两侧积分一次
r2
dt
dr
C1
式(3)两侧再积分一次,可得该微分方程式的通解
C1
C2
代入边界条件
tw1Cr1C2
r1
tw2
C1
C2
式(5)-式(6)
C1
tw1
tw2
r2
r1
式(7)代入式(5)
C2
tw1
tw2
tw1
(2)
(3)
4)
(5)
(6)
(7)
(8)
r1
r1
常数C1和C2代入微分方程式的通解式(4)得到壁内的温度表达式
11
1
r1
r1r2
r1
r2
(1)tw1
r
9)
1tw1tw2
r11
例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温度。
为了增强温度计和套管间的传热,减少测温误差,套管内灌入机油。
温度计的指示温度为
200℃,气体管道壁温为80℃。
钢制套管长8cm,直径为1.5cm,壁厚为1mm,导热系数约为40W/(m2·K)。
气体与套管外表面间的对流换热系数为100W/(m2·K)。
试求气体的实际温
度。
解:
若忽略温度计和套管底面间的热阻,温度计的指示温度可视为为套管底面的温度。
忽略温度计玻璃柱和机油的导热,套管可视为空心等截面直肋。
求解时按绝热肋端边界条件加上长度修正,可简化计算过程。
2222652
A(d12d22)(152132)1064.4105m2
44
Ud13.14151034.71102m
因此
mhU1004.71105251.73m-1
A404.4105
mlc=51.73×(0.08+0.015/4)=4.332
查得ch(mlc)=ch(4.332)=38.05
0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
tltf
t0tf
ch(mlc)
(7)
tf
tlch(mlc)t0
ch(mlc)1
20038.0580
38.051
203.2
(8)
ch(mlc)
讨论:
由肋片的传热分析可知,套管底面的温度和流体之间会有温差,即由于套管的导热而引起的温度测量误差,增加套管的长度和适当改变m中的几个参数可以降低这一误差。
例12某空气压缩机的气缸套有环状的铸铝肋片以加强散热。
该肋片厚6mm,内外径分别为
r0=50mm和rl=90mm。
肋片根部的温度为70℃,铸铝的导热系数λ=150W/(m·K),周围空气温度为20℃。
由于风扇的冷却,空气和肋片间的对流换热系数h=60W/(m2·K)。
试求
每片肋片的散热量。
解:
根据该肋片的几何形状,需要通过查图计算出肋片效率ηf后才能计算出散热量。
按照相应的图上的公式计算如下:
lc=l+δ/2=0.023m
(1)rlc=rl+δ/2=r0+lc=0.048m
(2)rlc/ro=1.92(3)
-42
Am=lcδ=1.38×10-4m2(4)
查图可得肋片效率
L
3/2C
3/2
0.0483/2(
ηf=0.95
60
4
1501.38104
)1/2
0.1879
(5)
(6)
由于每片肋片有上下两个表面
22
oh2(rlc2ro2)(totf)
=60×2π×(0.0482-0.0252)×(70-20)=31.65W(7)
因此Φ=ηfΦo=0.95×31.65=30.1W(8)例13两根很长的直径为5mm的铝条焊在一起。
焊接时周围空气温度为10℃,铝条与空气之间的对流换热系数h=15W/(m2·K)。
若焊点处的温度为250℃,确定焊点处的加热量。
解:
铝条的导热系数取λ=203.5W/(m·K)每根铝条可视为一无限长的圆柱肋。
等截面直肋的的稳态导热微分方程式为
d2m20
(1)
dx2
该微分方程式的通解为
mx-mx
θ=C1e+C2e
(2)
当肋片无限长时,肋片端部的温度近似为周围流体温度。
相应的边界条件为
x=0:
θ0=t0–tf
x=l:
θl=tf–tf=0(3)
因此C1=0,此时相应的特解为:
θ=θ0e-mx(4)
qAd|x0A0mem(t0tf)hUA
dx
(25010)15d203.5d2/47.36W
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