6.
双曲线C:
x2-^-=1的左,右焦点分别为耳,巧,C的一条渐近线与抛物线
M:
y2=2px(P>0)的一个交点为/(异于原点),点/在以线段耳场为直径的圆
GH//MN的是
2
D.一
3
丽•疋=-3,则几的值为
2“1
A.B.—
33
10.若关于兀的方程V3cos2x=^+sin2x在区间[0,£]上有两个不等的实根,则实数宀乙
的取值范围是
12.已知函数/(x)=岂暂],有如下四个结论:
①函数/(x)的图象关于点(0,1)对称;
JT
②函数/(tanx)的图象的一条对称轴为X=丁;
4
®VxgR,都有加N/G),则加的最小值为3;
©3x0eR,使得加今(“),则加的最大值为一1.
其中所有正确结论的编号是
A.①③B.②®C.①®③D.②®④
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
兀+庐0,
13.若兀,V满足约束条件《兀一7$0,则z=2x-y的最大值为.
兀弓,
to
14.已知函数f(x)=ex一-+1,若/@)=3,则/(-«)=.
e
15.数列{an}q=l,。
2=2,其前n项和S”满足S”・S”+2=S:
|,则{勺}的通项公
式为•
16.Cassini卵形线是由法国天文学家Jean-DominiqueCassini(1625〜1712)引入的.卵形线的定义是:
线上的任何点到两个固定点S2的距离的乘积等丁•常数决,b是正常数•设3,S?
的距离为加,如果avb,就得到一个没冇自交点的卵形线;如果。
二b,就得到一个双纽线;如果a>b,就得到两个卵形线.
若目(一1,0),S2(l,0),动点尸满足\PSi\-\PS2\=\i则动点戶的轨迹C的方程为:
若才和/是轨迹C与x轴交点中距离最远的两点,则
△APA面积的最大值为.
三-解答题:
共70分。
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考主都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
△MBC的内角B,C的对边分别为a,b,c.已知N4BC的面积为越,J=-.
23
(1)若2sinC=3sin3,求a;
(2)若D为BC边的中点,求线段长的故小值.
18.
(12分)
培养MMx(克)
2()
40
50
60
80
细菌力的最大承我显丫(单位)
300
400
500
600
700
如图,在实验室细菌培芥过程中,细菌生2主耍经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件卜•,培养基上细菌的最大承载虽(达到稳定期时的细菌数爼:
)与培养基质量具冇线性相关关系.某实验室在培养细菌A的过程中,通过大量实验获得了以下统计数据:
(1)建立丫关于x的回归直线方程,并预测当培养基质量为loo克时细菌/的最大
(2)研究发现,细菌力的调整期一般为3小时,英在指数期的细菌数虽y(单位)与细菌A被植入培养基的时间t近似满足函数关系y=0.8X2门+20,试估计在100克培养基上培养细菌A吋指数期的持续时间(将确到1小时).
附注:
参考数据:
2'°=1024,2"=2048,212=4096,213=8192.
参考公式:
回归方程Y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
a=Y-bx
19.(12分)
二棱^.P-ABC中,P/l=4,AB=2爲,BC=2,以丄¥lfiiABC,SB丄BC,D为AC^点,点E在棱PC上(端点除外〉.过直线DE的平而a与平面MB垂直,平丽&与三棱锥的而相交,交线11;1成-个四边形.
(1)在图小画出这个四边形,并写出作法(不耍求证明);
(2)若DE丄PC,求山线PC与Yllu'a所成角的正弦值.
20.(12分)
已知许(T,0),笃(1,0)是椭圆E:
务+与=1(口>方>0)的左,右焦点,P是E上ab
一点,PFQPF?
△人尸笃的而枳为3.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过巧作两条互和垂直的山线弓E分别交TA,B和C,D,若M,N分别为AB
和CQ的中点•证明:
口线MV恒过定点,并求出定点坐标.
21.(12分)
已知函数/(x)=ex-*.
(1)设函数h(x)=xf(x)9求加兀)的单调区间:
(2)判断函数『=/(对与g(x)=lnx的图象是否存在公切线.若存在,这样的切线有几条,为什么?
若不存在,请说明理山.
(-)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答c如果多做,则按所做的第一题计分。
22•[选修44塑标系与参数方程](10分〉
直角坐标系x()y'I1,以坐标原点为极点,以x轴jE半轴为极轴,建立极坐标系,Illi线C的极坐标方程为Z?
=如0十丄・
tan&
(1)曲线C与巴线/:
6>=-(peR)交TA,B两点,求\AB\;
4
7T与G有两个交点,极坐标分别为(口詢),(门同),求尸的取值范围,并证明q+爲=t-
•.2
23.[选修4・5:
不等式选讲](10分)
函数/(兀)=1XI十IX-11的最小值为m.
(1)求加;
(2)设正实数a,h,c满足a+b+c=加,证明:
ab+be+ca^^abc.
贵州省2021年普通高等学校招生适应性测试
理科数学参考答案及评分参考
一、选择题:
本大题共12小题,毎小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
签案
C
A
B
D
B
A
D
B
C
B
C
A
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
题号
13
14
15
16
答案
3
-1
[1,n=\t
a,=”[2x3",Q2・
[(x+l)2+/][(x-l)2+/]=l;普
【说明】第15题:
仅写成^=2x3z"2给3分;第16題:
第一空2分,第二空3分.
3.解答题:
本大题共6小题,共70分。
解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解:
(1)因为2sinC=3sinB,lb正弦定理紂2c=3b①
又s十攀/专,则非血“攀即心②・・・・・・・・・2分
当且仅当h=c=^6时等号成立,所以/£)最小值为弓3・12分
18•解:
一20+40+50+60+80
(1)
x=
5
300+400+500+600+700
5
5
^x.P;=20x300+40x400+50x500+60x600+80x700=139000
£才=400+1600+2500+3600+6400=145004分
a=y-*x=500-7x50=150
所以Y关于x的回归直线方程为y=7x+150
当培养基质量为100克时P=7xl00+150=850(单位)•6分
(2)在100克培养基上培养细菌/!
时,山
(1)知瑕大承载显为850单位
又『=0.8x0+20
即850=0.8x2"+208分
化简得21'3=1037.5
—3=10即心3
所以在100克培养基上培养细菌A时指数期的持续时间为10小时.12分
19•解:
(1)作法:
①过£>作DF//BC交4B于F;2分
2过E作EG//BC交PB于G;4分
3连接FG,则四边形DFGE为所作图形.5分
(2)以B为坐标原点,以BC的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直和坐标系B-xyz,则3(0,0,0),/(0,2巧,0),C(2,0,0),P(0,2巧,4)由题知分别为AC与AB的中点,
故D(l,V3,0),F(0,a/3,0)
又由DE丄PC^PE=3EC,设E(x,”z)
所以(x,y-2巧,z_4)=(6—3x,-3j,-3z)
fx=6-3x>
即'y-2y/i=-3y,
z-4=-3z,
所以啟|,拿1)8分
故^=(|,y,1)-(1,73,0)=(1-^,1).
DF=(0,巧,0)-(1,>/3s0)=(-1,0,0)
设平面a的法向量”=(X],儿zj,
市*.竺=0,得寺一纽+石=0,
I/?
-£)F=0>n
1Hi=°,
10分
取n=(0,2$>/3),又PC=(2,-2^3,-4)
20•解:
|附+|昭心4,
⑴由题得扣片|・|啓1=3,则有4宀6,
|丹;|+|朋1=2°,
解得a=2,
又a2=b2+c2»所以b=、庁
所以椭圆E的标准方程为兰+上1=1.
43
⑵当逍线A和厶斜率存在时,设直线厶方程为y=k(xT),交椭圆E两点的坐标为
y=R(x-l),
川和必),〃(>2』2),由,
丫22得(3+4/)疋-弘3+4疋-12=0
—+—=L
143
1・3+4/r
7分
143k
因为/i丄厶,将上式中的*换成-£,同理可得N(4+3戸~‘4+3戸)
若°匚~工乙即"±1时,
3+4以4+3/
-3A:
3k
._17^-?
^_-21疋_2氏_空±_2■.二初一—4p4—~12(Jt4-!
)12疋-14疋-1
3+4厂4+3/
3R7_去4
直线伽的方程为厂时盲右(一时)
7—&44
化简得y=此时应线伽恒过定点(畀)10分若磊=去叫士眦氏线闷斜率不存在'易^线也过点(訥;
当直线厶或厶斜率不存在时,其中一条直线为x=l,另一条为^=0,直线MV过
4
点片,0);
综上所述:
直线MN恒过定点(弓,0).12分
21・解:
(1)h(x)=xf(x)=xcv_l,hr(x)=xex~]+e'"1=(x+l)ex_,,2分
当xv-l时,F(x)<0,当x>-\时,h\x)>0,
所以/7(x)的单调减区间为(-8,-1),单调增区间为(一1,*6・5分
(2)设两曲线的公切线为/,与曲线f(x)=ex'1切于点(a,严),则切线方程为
y_e0'1=ca_,(x-a),即y=孑“兀+e0-1-actf_,,
又与曲线g(x)=lar切于点(人lnb),则切线方程为y-lnb=g(x-b),即b
y=—x+lnfe-1.
•b
c"=丄,
所以有b‘
消元整理得c"-ae"+a=0,所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数.
8分
设®(x)=e"_xex_l+x,卩'(x)=l-xe"1.
当xvO时,0(x)>O,
当0O,
当x>l时,0(x)所以0(x)在(Y),l)单调递增,在(1,+8)单调递减
21
而卩⑴=1>0,祕2)=2-c<0,^>(-1)=—-1<0,祕0)=—>0,e"c
又函数0(x)在R上连续,所以函数^(x)=ex~l-xex-1+x有两个零点,分别位于区
间(-1,0)和区间(1,2)内.
所以方程e-l-aefl-1+a=0有两个不同的根,即两曲线冇两条公切线・
12分
22.解:
p2=tan04-
(1)联立方程]
4
2分
可得p2=2,
设3两点的极径分别为c,Pb,则\AB\^pA-pB\=2y[2.5分
⑵曲线G:
\XrC0S(X\a为参数)转化为极坐标方程为Q=r[y=rsina^
门1sin0cosO
=tan0+=+
tan0cos&sin0
1
sin&cos&
2
sin20
7jr
所以r2=—^―>由&e(0,-)得2&w(0,tc)・sin20w(0,1]
sin202
因为曲线C与G有两个交点,则r2=—->2,所以r>V2・8分
sin20
由题知Qi=P2■
itjr
又恥严(0冷)厨工&2,所以2Q+2&2=兀,即=-.
10分
23•解:
(1)因为|x|+|x-l|^|x-(x-l)l=l
又当且仅当XG[O,1]时,上式可以取
所以函数y=fM的址小值为I,即心.
(2)由
(1)知加=1,即a+b+c=l・
Wa2b2+b2c2^2ab2c,b2c2+c2a2^2bc2a,c~a~+a2b2^2ca2b9
三式相加得/沪+b2c2+c2a2^abc
有a2b2+b2c2+c2a~+2abc(a+Z>+c)M3dbc,
l!
卩(ab+be+ca)2M3abc,故ab+比+c&j3abc
10分
(上述不等式中当且仅当a=b=c时取“=”)・