极坐标与参数方程讲义.docx
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极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程
一、极坐标知识点
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点,自极点0引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:
极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可•但极
坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径,记为;以极轴0X为始边,射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角,记为•有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数•
特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(€R).和直角坐标不同,平面内一个
点的极坐标有无数种表示•
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;
同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的•
2.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系
中取相同的长度单位,如图所示:
⑵互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(x,y)
极坐标(,)
互化公式
xcos
ysin
222
xy
tan—(x0)
x
在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角
3.常见圆与直线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径
为r的圆
r(02
)
圆心为(r,0),半径
为r的圆
2rcos(
2
2)
圆心为(r,—),半
2
径为r的圆
2rsin(0
)
过极点,倾斜角为
(1)
(R)或
(
R)
的直线
(2)
(0)和
(
0)
过点(a,0),与极轴
垂直的直线
cosa(
2
_)
2
过点(a,刁),与极
轴平行的直线
sina(0
)
注:
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足
极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点M(,)可以表示为
44
5
(,2)或(,2)或(-,等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方
44444444
程
、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化
例题1、在极坐标中,求两点P(2,q),Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
解:
两点的直角坐标为PC..2,、.2),Q(...2,2),它们之间的距离PQ2.2.
由于直线PQ垂直于极轴,且距离极点..2,所以直线的极坐标方程为cos..2
练习、已知曲线G,C2的极坐标方程分别为cos3,
n
4cos>0,0<-,求曲线G与C2交点的极坐标.
2
cos32灵
解:
我们通过联立解方程组(0,0-)解得,即两曲线的
4cos2—
6
交点为(2•.3,—)。
6
1.2.已知圆C:
(x1)2(yJ3)21,则圆心C的极坐标为(0,02)
2
答案:
((2,))
3
练习已知点c极坐标为(2,—),求出以C为圆心,半径r=2的圆的极坐标方程(写出解题过
3
程);
解)如图所示,设M为圆上一点,M(,),
贝ymoc
3或3,由余弦定理得424cos(§)4
极坐标方程为
=4cos(亍)。
考点2、极坐标与直角坐标方程互化
极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
x蛋
l的参数方程是2
例题2、已知曲线C的极坐标方程是4sin.以极点为平面直角坐标系的原点,
_(t为参
2
,点P是曲线C上的动点,点
Q是直线1上的动点,求|PQ|的最小值.
解:
曲线C的极坐标方程
4sin可化为
2
4
sin,
其直角坐标方程为x2y2
4y0,即x2
(y
2)2
4.
••…(3分)
直线l的方程为xy40.所以圆心到直线I的距离dI243/2•••(6分)
42
所以,PQ的最小值为3罷2.(10分)
练习、设过原点的直线与圆:
的一个交点为,点为线段的中点。
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
解:
圆的极坐标方程为4分
设点的极坐标为,点的极坐标为,
•••点为线段的中点,•••,……7分
将,代入圆的极坐标方程,得
•••点轨迹的极坐标方程为,它表示圆心在点,半径为的圆.……10分
练习(20151理数)(23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中.直线:
x=—2,圆:
(x—1)2+(y—2)2=1,以坐标原点为极点,x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系•
(I)求,的极坐标方程;
(II)若直线的极坐标方程为,设与的交点为,,求△GMN的面积
(23)解:
(I)因为,,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为。
5分
(II)将代入,得,解得,。
故,即。
由于的半径为1,所以的面积为。
……10分
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
xf(t)①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上
yg(t)
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对
于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从
参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如xf(t),把它代入普通方程,求
出另一个变数与参数的关系yg(t),那么xf(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与
yg(t)
普通方程的互化中,必须使X,y的取值范围保持一致
注:
普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题,
关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示,设圆0的半径为r,点M从初始位置Mo出发,按逆时针方向在圆O上作
xrcos
匀速圆周运动,设M(x,y),贝U(为参数)。
yrsin
度。
圆心为(a,b),半径为r的圆的普通方程是(xa)2(yb)2r2,
xacos
数方程为(为参数),其中参数称为离心角;焦点在y轴上的椭圆的标准方
ybsin
注:
椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一
点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。
但当
(即在
2时,相应地也有
,在其他象限内类似。
2
5.双曲线的参数方程(了解)
xasec,/
其参数方程为(为参数),其中[0,2)且
ybtan
22
1(a0,b0),其参数方程为
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是y2x2
ab
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6.抛物线的参数方程
0)的参数方程为
以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线y22px(p
:
加为参数)
7.直线的参数方程
经过点M°(xo,y°),倾斜角为(
)的直线I的普通方程是yyotan(xx°),
2
xx0tcos
而过Mo(Xo,yo),倾斜角为的直线I的参数方程为(t为参数)。
yyotsin
注:
直线参数方程中参数的几何意义:
过定点Mo(xo,yo),倾斜角为的直线I的参数
xxotcos
方程为(t为参数),其中t表示直线I上以定点Mo为起点,任一点
yyotsin
uuuuur
M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量,当点M在Mo上方时,t>0;当点M在M。
下方时,tv0;当点M与Mo重合时,t=0。
我们也可以把参数t理解为以Mo为原点,直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长
度相同。
考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3:
已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)曲线,是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.
解:
(1)由得
•••曲线的普通方程为
•••,即
•••曲线的直角坐标方程为(5分)
(2)v圆的圆心为,圆的圆心为
.••两圆相交
设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段
公共弦长为(10分)
练习(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
(1)指出
C:
Xcos(为参数),曲线C2:
ysin
C,C2各是什么曲线,并说明C与C2公共点的个数;
(2)若把C,C上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1',c2'。
写出C1',
C2'的参数方程。
C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?
说明你的理由。
练习(2014II)(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程
为•
(1)求得参数方程;
(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定的坐标•
(23)解:
(I)C的普通方程为•可得C的参数方程为(t为参数,)
(n)设D.由(I)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直,所以直线GD与t的斜率相同,.故D的直角坐标为,即。
练习(2013I)(23)(本小题10分)选修4—4:
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数
方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标
方程为。
(I)把C的参数方程化为极坐标方程;
(n)求C与C交点的极坐标(p》0,0<0<2n)。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两
曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题
【解析】将消去参数,化为普通方程,
即:
将代入得,
•••的极坐标方程为;
(n)的普通方程为,由解得或,.••与的交点的极坐标分别为(),.
练习(2015II)23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系
中,曲线,曲线.
(I).求与交点的直角坐标;
(n).若与相交于点,与相交于点,求的最大值.
【答案】(I)和;(n).
解:
(I)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为•联立解得或所以与交点的直角坐标为和.
(n)曲线的极坐标方程为,其中•因此得到极坐标为,的极坐标为•所以,当时,取得最大值,最大值为.
考点:
1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值.
考点4:
利用参数方程求求值域
x1cos
例题4、在曲线C1:
(为参数)上求一点,使它到直线C2
ysin
2,2
1t
2(t为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。
解:
直线C2化成普通方程是x+y-2,2-1=02分
设所求的点为P(1+cos,sin),3分
则C到直线Ca的距离d=|1cos一sin一2115分
=|sin(+—)+2|7分
4
当—时,即=乞时,d取最小值19分
424
此时,点P的坐标是(1-2,-丄2)10分
22
一222
练习.在平面直角坐标系xOy中,动圆x+y-8xcos-6ysin+7cos+8=0的圆心为
P(x,y),求2x-y的取值范围..
x4cos
【解】由题设得(为参数)•3分
y3sin
于是2xy8cos3sin.73cos(),6分
所以73W2xyW73.10分
练习.(本小题满分10分)
已知曲线的极坐标方程是,设直线的参数方程是(为参数).
(I)将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(n)设直线与轴的交点是,曲线上一动点,求的最大值答案:
(本小题满分10分)
解:
(1曲线的极坐标方程可化为:
又•
所以,曲线的直角坐标方程为:
•
(2)将直线的参数方程化为直角坐标方程得:
令得即点的坐标为
又曲线为圆,圆的圆心坐标为,半径,
则二练习(2014I理数)3.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线:
,直线:
(为参数)•
(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(n)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值
【解析】:
.(I)曲线C的参数方程为:
(为参数),
直线I的普通方程为:
5分
(n)
(2)在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到I的距离为则?
?
,其中为锐角•且•
当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为•10分
考点5:
直线参数方程中的参数的几何意义
考点易错点二:
直线参数方程中t的几何意义的应用
则点到两点的距离之积为.
10
②设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积
解
(1)直线的参数方程为,即.
(2)把直线代入,
得,,6分
1
圆心C(―,
2
,半径为
y圆心到直线的距离d=存弦长二2「2d「2
100
10分
练习已知直线(I)求直线I的参数方程;(II)设直线I与圆相交于MN两点,求|PM|•|PN|的值。
解:
(I)的参数方程为,
即。
5分
(n)由可将,化简得。
将直线的参数方程代入圆方程得
•••,二。
10分
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