最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕.docx
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最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕
习题二
包括题目:
P36页5
(1)(4)
5(4)
习题三
;15
(1)
包括题目:
P61页1
(1)
(2);3;5;6;14
1
(1)
(2)的解如下
3题的解如下
5,6题
14题解如下
14.设f(x)(6
求点在(
4,6)T处的牛顿方向。
∴g1
2f(x)
(1)x
(
4,6)T
,由题意得
2(6
x1
x2)
2(2
3x1
3x2
x1x2)(3
x2)
2(6
x1
x2)
2(2
3x1
3x2
x1x2)(3
x1)
解:
已知
f(x)
344
x1x2)2(23x13x2x1x2)2,
f(x
(1))
56
2(3
2(3
x2)(3
x2)
x1)2(2
3x13x2x1x2)
2(3x1)(
3x2)2(23x13x2
22(3x1)
x1x2)
∴G(x
(1))
2f(x
(1))
16
56
56
G(x
(1))1
1/800
7/400
7/400
1/200
∴d
(1)
G(x
(1))1g1
141/100
574/100
15
(1)解如下
15.用DFP方法求下列问题的极小点
1)min3x1x25x1x2
x123x22
解:
取x(0)
(1,1)T,
H0
时,DFP法的第一步与最速下降法相同
f(x)
35x2
15x1
2x1
6x2
(0)
(1,1)T,f(x(0))
10
12
x
(1)
0.0780
0.2936
f(x
(1))
1.3760
1.1516
以下作第二次迭代
1x
(1)x(0)
1.0780,
1.2936
f(x
(1))
f(x(0))
8.6240
13.1516
H1
H0
T
11
T
11
H011TH0
1TH01
其中,
26.3096,
1TH0
247.3380
1.1621
1.3945
所以
H1
d
(1)
x
(2)
所以
x
(2)
1.3945
0.7435
0.4056
H1
x
(1)
x
(1)
以下作第三次迭代
(2)
所以
1.6734
0.4056
0.3643
(1)f(x)
1d
(1),
H0
1TH0
74.3734113.4194
113.4194172.9646
1.4901
0.9776
利用
df(x
(1)d
d
(1))
0,
求得
10.5727
0.5727d
(1)
0.7754
0.8535
f(x
(2))
0.2833
0.244
x
(1)
0.8534
0.5599
f(x
(2)
)f(x
(1))
1.0927
0.9076
1.4407
2TH1
1.9922
0.7283
0.4778
H1
2TH1
H2
H1
0.4778
0.3135
1.3936
0.9135
2
T
22
H12
2T
0.9135
0.5988
TH1
0.4615
0.3846
0.3846
0.1539
d
(2)
H2
f(x
(2))
0.2246
0.1465
令x(3)
x
(2)
(2)
2d,
(2)利用df(x
(2)
d
(2))
0,求得
所以x(3)x
(2)d
(2),因为f(x(3))0,于是停止
1
x(3)(1,1)T即为最优解。
习题四
包括题目:
P95页3;4;8;9
(1);12选做;13选做3题解如下
3.考虑问题minf(x)2x1x2,其中
(x1,x2)s
1)画出此问题的可行域和等值线的图形;
2)利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;
3)分别对点x1(1,0)T,x2(1,1)T,x3(0,0)T,x4(0,1)T,指出哪些约束是紧约束
和松约束。
解:
(1)如图所示,此问题的可行域是以O点为圆心,1为半径的圆的上半部分;等值线是
平行于直线x2=2x1的一系列平行线,范围在如图所示的两条虚线内。
(2)要求f的最小值,即求出这一系列平行线中与x2轴相交,所得截点纵坐标的最大值。
21
显然当直线在虚线1的位置,能取得极值。
如图求出切点P,,此点即为最优解55
3)对于区间集S可以简化为g1:
1x12x220
g2:
x2
对于点x1(1,0)T,g1和g2均为该点处的紧约束;
对于点x2(1,1)T,g1和g2均为该点处的松约束;
对于点x3(0,0)T,g1为该点的松约束,g2为该点的紧约束;
4题解如下
4.试写出下列问题的
对于点x(0,1),g1为该点的紧约束,g2为该点的松约束。
K-T条件,并利用所得到的表达式求出它们的最优解:
(1)
2
minx12
x212;
122.1x1x2
0
(2)
2
minx12
x212;
22.9x1x2
0
(1)
解:
非线性规划的K-T条件如下:
2x14
2x1
10
(1)
2x22
2x2
22
(1x1x2)
0
(2)
0
(3)
再加上约束条件1
220
x1x20
(4)
为求出满足
(1)~(4)式的解,分情况考虑:
综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T点为:
(2)解:
非线性规划的K-T条件如下:
2x1
4
2x1
0
(1)
2x2
2
2x2
(9
2x1
x22)
0
(2)
0
(3)
再加上约束条件
9
22x1x2
0
(4)
为求出满足
(1)~(4)式的解,分情况考虑:
1)式解得x12,x21,所得值满足以上所有约束。
2
②若(4)式等号成立,由
(1)式可以解得x121,x2
2
12
1
因为0,所以所得值均舍去,该情况不成立。
综上所述,所求非线性规划有唯一的K-T点为:
x(2,1)T
8题解如下
8考虑问题
Minx12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3
.X1+x2+x3=2
(1)
-x1+2x2≤3
(2)
X1,x2,x3≥0(3)
求出点(1,1,0)处的一个下降可行方向.解:
首先检查在点(1,1,0)处哪些约束为有效约束。
检查易知
(1),X3≥0为有效约束。
设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。
根据可行方向d的定义,应存在a>0,使对?
t∈(0,a)能有
X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T也能满足所有有效约束:
(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2td3≥0
经整理即为d1+d2+d3=0
d3≥0
满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T均为可行方向。
现只求一个可行方向,所以任取d3=1,
求解d1+d2=-d3
得d1+d2=-1,可任取d1=1,d2=-2得一可行方向
考虑下降性
由题可知:
将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C从而▽f=QX+b即▽f(1,1,0)=(-3,3,-12)
因为▽f(1,1,0)Td=-21<0
表明d=(1,-2,1)T为原问题在x=(1,1,0)T处的一个下降可行方向
9题解如下
9用lemke算法解下列问题:
(1)min2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2
.X1+x2≤2
X1+5x2≤5
X1,x2≥0解:
与本题相应的线性互补问题为:
W-MZ=q
W≥0,Z≥0
WTZ=0
写成表格为
W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
qdi0
1
0
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
0
0
0
1
5
5
0
0
1
0
-1
-1
-4
2
-4
0
0
0
1
-1
-5
2
-4
-6
由于右端有负数,所以加一人工变量W0,表格改为
W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
W0
9
qdi0
1
0
0
0
0
0
1
1
-1
2
0
1
0
0
0
0
1
5
-1
5
0
0
1
0
-1
-1
-4
2
-1
-4
0
0
0
1
-1
-5
2
-4
-1
-6
选择与max{-qi}=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转,得
W1
W2
W3
W4
Z1
Z2
Z3
Z4
W0
q
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
0
-1
1
5
-1
5
0
8
2
0
1
0
-1
1
5
-1
9
0
11
3
0
0
1
-1
0
4
-6
6
0
2
9
0
0
0
-1
1
5
-2
4
1
6
由上表可看出仅w4,z4这一对变量全部不是基变量,因此从它们之中选一个进基,由于第一次碰到这一对变量,故选z4进基.在所选列中,有
Min{8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6
故选相应的第3行第8列元素作主元,再进行旋转,得
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
3/6
1
-1
8
0
0
8
8
0
0
1/6
-1/6
0
4/6
-1
1
0
2/6
9
0
0
-4/6
-2/6
1
14/6
2
0
1
28/6
由于W0仍在基变量中,故继续运算.由于这时仅有W3,Z3这一对变量全不在基中,故仍在它们之中选一变量进基,由于是第一次从这一对变量选取,故也选Z3进基,再由
Min{38/6/4,8/8,28/6/2}=8/8故选第二行第7列元素作主元,进行旋转,得
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
-1/2
-1/12
-5/12
1/2
13/6
0
0
0
7/3
7
0
1/8
-3/16
1/16
1/8
-1/8
1
0
0
1
8
0
1/8
-1/48
-5/48
1/8
13/24
0
1
0
4/3
9
0
-1/4
-7/24
-11/24
3/4
31/12
0
0
1
8/3
再继续,得
y1
y2
V1
V2
u1
u2
X1
X2
W0
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
-9/31
49/62
-1/31
-4/31
0
0
0
-26/31
-208/93
7
0
7/62
-59/248
5/124
5/31
0
1
0
3/62
35/31
8
0
11/62
-147/744
-3/372
9/124
0
0
1
-13/62
24/31
6
0
-3/31
-25/62
-11/62
9/31
1
0
0
12/31
32/31
在上表中W0已被置换出基,即得到了相应线性互补问题的解,也就是所求二次规划的最优解:
y1=-208/93,x1=35/31,x2=24/31,u2=32/31,y2=v2=v2=u1=0,即x*=(35/31,24/31)T
12题解如下
22
12.
(1)外点法minf(x)x12x22
x1
解:
定义惩罚函数
F(x,
x12x22
max0,
x1
2
x1
2
x2
当x1
2
x12
x11
当x1
用解析法求解minF(
x,
),有
x1
2x1
当x1
2x1
x1
当x1
令F
x1
0,
F
x2
得到x
易见,当
F
x2
T
x1,x2
时,x
2x2
0
1,0
x恰为所求费线性规划的最优解。
13题解如下
13.
(2)内点法
22
minx1x2
s.t.2x1x220
x110
解:
定义障碍函数
用解析法求解minGx,rk令
xintD
F
x1
2x1
2x1
x2
22
x1
12
2x2
x2
2x1x22
解得xgx1,x2(0,1)
rk
gg
当rk0时,xgrkx(0,1),x确为最优解。
习题五
包括题目:
P108页5;10
5题解如下
原问题转化为求minfx
0,1
对fx求导可得:
x1,x22x1
22
01
x1
x1,x22x2
22
02
x2
由式
(1)
(2)可解得:
x1
2
x2
2
即x1
x22,
又已知
2
0,1,或2
所以有效解集为
x1,x2
x1x2,0x11或x1,x2
x1x2,0x11
10题解如下
10.用线性加权和法求解:
权系数取
构造函数
fx
Tufx
,
令f1x1
12
x2
22
22
2
T
T
f2x12x2
3x32,
uu1,u
2,
ff1,f2
原求解问题转化成求解
minf
x
fxuTf
xu1f
1u2f2
2
22
2
0.36
x11
0.36x2
2
0.36x33
0.
64x12
0.64
2x1
2
1.64x22
2
2.28x32
0.72x11.44x22.
16x3
5.04
构造拉格朗日函数
L求解
min
fx
,则如下
Lx1,x2,x3,
fx
x1
x2
x36,为拉格
朗日乘子
对L函数求导得:
L
x1,x2,x3,
2x10.72
0
(1)
x1
L
x1,x2,x3,
3.28x21.44
0
(2)
x2
L
x1,x2,x3,
4.56x32.16
0(3)
x3
L
x1,x2,x3,
x1x2x36
0
(4)
0.64
x3
解:
2x220.643x32
u10.36,u2
由
(1)
(2)(3)式分别得:
x10.360.5x20.4390.305
x30.4740.219
代入(4)式得:
4.616
将4.616代入
(1)
(2)(3)式,
x12.67
∴可得:
x21.84
x31.48
把有效解(2.67,1.84,1.48)T代入f1,f2得,
22
5.13
目标值为:
minf12.67121.84221.483
minf22.67221.84231.48220.47
习题六包括题目:
P130页包括题目4;5;6;74,5题解如下
6,7题解如下
第六题答案
1.与v1点相邻接的顶点有v2、v3两点,
l2=1,l3=2,取Min{l2、l3}=1,于是连接v1、v2两点,
令顶点集S={v1、v2};图示如下:
V2
V1
v3、v4、v5三点,l5=l2+d25=1+3=4,l4=l2+d24=1+3=4,
l4、l5}=1,于是连接v1、v3两点,令顶点集S={v1、v2、v3};
V1
3.与S={v
l7=l3+d37=2+8=10,取Min{lv4、v5};图示如下:
1、
v2、v3}相邻接的点有v4、v5、v7三点,l5、l7}=4,于是连接
l5=l2+d25=1+3=4,l4=l2+d24=1+3=4,v2、v4、v5三点,令顶点集S={v1、v2、v3、
V1
V2
4.与S={v1、v2、v3、v4、v5}相邻接的点有v6、v7两点,l6=Min{l5+d56、l4+d46}=6,l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57}=7,取min={l6、l7}=6,于是连接v4、v6两点,令顶点集S={v1、v2、v3、v4、v5、v6};图示如下:
V5
V2
V6
V4
V1
V3
5.与S={v1、v2、v3、v4、v5、v6}相邻接的点有v7、v8两点,l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57、l6+d67}=7,l8=l6+d68=11,min={l7、l8}=7,于是连接v5、v7和v6、v7这两组点,令顶点集S={v1、v2、v3、v4、v5、v6、v7};图示如下
V2
V5
V7
V1
V8
另一条是:
这两条路径均是最短路,最短路的长度是10.
第七题答案
人选一个初始方案,如下图所示:
通过分析,我们发现有的链并未饱和,即没有达到最大流,通过寻找增广链的方法来求最大流,增广链有
将增广链与初始方案结合后即可得到最大流为9,最大流方案如下图所示:
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- 优化 计算方法 课后 习题 答案 高等教育出版社 施光燕