高中数学第二章圆锥曲线与方程22双曲线破题致胜复习检测新人教A版选修.docx
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高中数学第二章圆锥曲线与方程22双曲线破题致胜复习检测新人教A版选修
2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线破题致胜复习检测新人教A版选修
复习指导
考点一:
双曲线的定义及标准方程
1.双曲线定义的应用主要有两个方面:
一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合,运用平方的方法,建立与的联系.
2.求双曲线标准方程的一般方法:
(1)待定系数法:
设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线有相同渐近线时可设所求双曲线方程为.
(2)定义法:
依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
解题指导:
1.双曲线的轨迹类型是
;
2.双曲线标准方程的求解方法主要是”待定系数法”,“先定型,后计算”.
双曲线的标准方程
例题1.对于双曲线C1:
和C2:
,给出下列四个结论:
(1)离心率相等;
(2)渐近线相同;(3)没有公共点;(4)焦距相等,其中正确的结论是( )
A.
(1)
(2)(4)
B.
(1)(3)(4)
C.
(2)(3)(4)
D.
(2)(4)
解析:
由题意,双曲线C1:
,C2:
,
(1)离心率分别为,
(2)渐近线相同,为
(3)没有公共点
(4)焦距相等,为1,0
【答案】C
例题2.是方程表示的图形为双曲线的( )
A.充分但非必要条件
B.必要但非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
【答案】A
考点二:
双曲线的几何性质
1.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程就是双曲线的两条渐近线方程.
2.双曲线方程中,说明双曲线方程中最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.
3.求双曲线的离心率或其范围时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用和转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.特别注意不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是这个前提条件.
4.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线中,离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式.
解题指导:
1.双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a>0,b>0易误认为与椭圆标准方程中a,b的要求相同.
若a>b>0,则双曲线的离心率e∈(1,);
若a=b>0,则双曲线的离心率e=;
若0<a<b,则双曲线的离心率e>.
2.注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a、b、c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
3.等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
4.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
5.渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为
.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.
构造不等式求双曲线的离心率定义法求双曲线的离心率
例题1:
设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线右支上的一点,|PF1|︰|PF2|=2︰1,且△PF1F2是以∠P为直角的直角三角形,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】C
例题2.已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】B
例题3.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.
(1)若l的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设,若l的斜率存在,且,求l的斜率.
【答案】
(1)
(2)
巩固练习
一、单选题
1.已知点在双曲线:
(,)上,,分别为双曲线的左、右顶点,离心率为,若为等腰三角形,其顶角为,则()
A.B.C.D.
2.若双曲线的虚轴长为,则该双曲线的焦距为()
A.B.C.D.
3.当双曲线的离心率取得最小值时,的渐近线方程为()
A.B.C.D.
4.双曲线的左、右焦点分别为,过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点,若点平分,则该双曲线的离心率是()
A.B.C.2D.
5.已知双曲线(,)的实轴的两端点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
6.过双曲线:
的右焦点作轴的垂线,与在第一象限的交点为,且直线的斜率大于2,其中为的左顶点,则的离心率的取值范围为()
A.B.C.D.
7.设和为双曲线的两个焦点,若,,是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是()
A.B.C.D.
8.抛物线()的焦点为,其准线经过双曲线的左焦点,点为这两条曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
9.设双曲线的中心为点,若直线和相交于点,直线交双曲线于,直线交双曲线于,且使则称和为“直线对”.现有所成的角为60°的“直线对”只有2对,且在右支上存在一点,使,则该双曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
10.若双曲线以为渐近线,且过,则双曲线的方程为()
A.B.C.D.
二、解答题
11.已知双曲线,为双曲线上任意一点.
(1)求证:
点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)若点,求的最小值.
12.已知分别是双曲线E:
的左、右焦点,P是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程。
13.双曲线的右焦点为.
(1)若双曲线的一条渐近线方程为且,求双曲线的方程;
(2)以原点为圆心,为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为,过作
圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率.
14.
(1)已知双曲线:
的离心率,求实数的取值范围.
(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于,两点,若线段的长为8,求的值.
15.已知双曲线渐近线方程为,为坐标原点,点在双曲线上.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)已知为双曲线上不同两点,点在以为直径的圆上,求的值.
参考答案与解析
1.D
【解析】不妨设点在第一象限,因为为等腰三角形,其顶角为,则的坐标为,代入双曲线的方程得
,故选D.
2.B
【解析】双曲线方程即为
,所以,又,可得,所以。
选B。
3.A
4.A
【解析】由题意可知:
,其中为坐标原点,
结合通径公式可得:
,则:
,
即:
,整理可得:
,
故,结合可知:
.
5.C
【解析】以线段为直径的圆与直线相切,
所以原点到直线的距离,得,
所以椭圆的离心率为,故选C.
6.B
7.C
【解析】若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,
设F1(﹣c,0),F2(c,0),则|F1P|=,
∵F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,
∴=2c,∴c2+4b2=4c2,
∴c2+4(c2﹣a2)=4c2,
∴c2=4a2,即c=2a,
b==a,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x,
即为.
8.D
【解析】抛物线的焦点为,其准线方程为
准线经过双曲线的左焦点,
点为这两条曲线的一个交点,且
的横坐标为
代入抛物线方程,可得的纵坐标为
将的坐标代入双曲线方程,可得
9.D
又因为在右支上存在一点,使由焦半径公式得,
得,故因为即
综上则该双曲线的离心率的取值范围是
10.D
【解析】
(1)若焦点在轴上,则
由题意得:
,无解舍去
(2)若焦点在轴上,则
由题意得:
,解得
故双曲线的方程为
11.
(1)证明见解析;
(2).
【解析】
(2)设点,则
当时,有最小值.
12.
(1)
(2)
【解析】
(1)因为双曲线的渐近线方程为,
则点到渐近线距离为(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知,又因为,解得,
故所求双曲线的渐近线方程是.
(2)因为,由余弦定理得
,
即
又由双曲线的定义得,平方得
,
相减得
。
根据三角形的面积公式得
,
得。
再由上小题结论得,
故所求双曲线方程是.
13.
(1);
(2).
【解析】
(2)由题意,设,则,从而,,
将代入双曲线得:
且
从而
14.
(1)
(2)
【解析】
(1) ,
∴
∴
∴
15.(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)∵双曲线的渐近线方程为,
∴设双曲线方程为,
∵点在双曲线上.
∴,
∴
∴双曲线方程为,即。
(Ⅱ)由题意知。
设直线方程为,
由
,解得
,
∴
。
由直线方程为.以代替上式中的,可得
。
∴
。
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