MATLAB插值与拟合.docx

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MATLAB插值与拟合

MATLAB插值与拟合

§1曲线拟合

实例：

温度曲线问题

气象部门观测到一天某些时刻的温度变化数据为：

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T

13

15

17

14

16

19

26

24

26

27

29

试描绘出温度变化曲线。

曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。

曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。

1.1      线性拟合函数：

regress（）

调用格式：

b=regress（y,X）

[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）

[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X,alpha）

说明：

b=regress（y,X）返回X处y的最小二乘拟合值。

该函数求解线性模型：

y=Xβ+ε

β是p1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n1的向量；y为n1的向量；X为np矩阵。

bint返回β的95%的置信区间。

r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。

Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。

例1：

设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。

即y=10+x+ε；求线性拟合方程系数。

程序：

x=[ones（10,1）,（1:

10）’]

y=x*[10;1]+normrnd（0,0.1,10,1）

[b,bint]=regress（y,x,0.05）

结果：

x=

11

12

13

14

15

16

17

18

19

110

y=

10.9567

11.8334

13.0125

14.0288

14.8854

16.1191

17.1189

17.9962

19.0327

20.0175

b=

9.9213

1.0143

bint=

9.788910.0537

0.99301.0357

即回归方程为：

y=9.9213+1.0143x

1.2      多项式曲线拟合函数：

polyfit（）

调用格式：

p=polyfit（x,y,n）

[p,s]=polyfit（x,y,n）

说明：

x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。

矩阵s用于生成预测值的误差估计。

（见下一函数polyval）

例2：

由离散数据

x

0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1

y

.3

.5

1

1.4

1.6

1.9

.6

.4

.8

1.5

2

拟合出多项式。

程序：

x=0:

.1:

1;

y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]

n=3;

p=polyfit（x,y,n）

xi=linspace（0,1,100）;

z=polyval（p,xi）;%多项式求值

plot（x,y,’o’,xi,z,’k:

’,x,y,’b’）

%equivalentto:

plot（x,y,'bo-',xi,z,'k:

'）

legend（‘原始数据’,’3阶曲线’）

结果：

p=

16.7832-25.745910.9802-0.0035

多项式为：

16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035

曲线拟合图形

也可由函数给出数据。

例3：

x=1:

20,y=x+3*sin（x）

程序：

x=1:

20;

y=x+3*sin（x）;

p=polyfit（x,y,6）

xi=linspace（1,20,100）;

z=polyval（p,xi）;%多项式求值函数

plot（x,y,’o’,xi,z,’k:

’,x,y,’b’）

legend（‘原始数据’,’6阶曲线’）

结果：

p=

0.0000-0.00210.0505-0.59713.6472-9.729511.3304

再用10阶多项式拟合

程序：

x=1:

20;

y=x+3*sin（x）;

p=polyfit（x,y,10）

xi=linspace（1,20,100）;

z=polyval（p,xi）;

plot（x,y,'o',xi,z,'k:

',x,y,'b'）

legend（'原始数据','10阶多项式'）

结果：

p=

Columns1through7

0.0000-0.00000.0004-0.01140.1814-1.806511.2360

Columns8through11

-42.086188.5907-92.815540.2671

可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。

1.3      多项式曲线求值函数：

polyval（）

调用格式：

y=polyval（p,x）

[y,DELTA]=polyval（p,x,s）

说明：

y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s（参见上例中输出项[p,s]=polyfit（x,y,n））得出误差估计Y

DELTA。

它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。

则Y

DELTA将至少包含50%的预测值。

1.4    多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：

polyconf（）

调用格式：

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）

说明：

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y

DELTA。

它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。

1-alpha为置信度。

例4：

给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。

程序：

x=0:

.1:

1;

y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]

n=3;

[p,s]=polyfit（x,y,n）

alpha=0.05;

[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）

结果：

p=

16.7832-25.745910.9802-0.0035

s=

R:

[4x4double]

df:

7

normr:

1.1406

Y=

Columns1through7

-0.00350.85381.29701.42661.34341.14800.9413

Columns8through11

0.82380.89631.25942.0140

DELTA=

Columns1through7

1.36391.15631.15631.15891.13521.12021.1352

Columns8through11

1.15891.15631.15631.3639

1.5     稳健回归函数：

robust（）

稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。

调用格式：

b=robustfit（x,y）

[b,stats]=robustfit（x,y）

[b,stats]=robustfit（x,y,’wfun’,tune,’const’）

说明：

b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’（默认值）时添加一个常数项；为’off’时忽略常数项。

例5：

演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。

首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。

调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。

程序：

x=（1:

10）’;

y=10-2*x+randn（10,1）;

y（10）=0;

bls=regress（y,[ones（10,1）x]）%线性拟合

brob=robustfit（x,y）%稳健拟合

scatter（x,y）

holdon

plot（x,bls

（1）+bls

（2）*x,’:

’）

plot（x,brob

（1）+brob

（2）*x,’r‘）

结果：

bls=

8.4452

-1.4784

brob=

10.2934

-2.0006

分析：

稳健拟合（实线）对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。

最小二乘拟合（点线）则受到异常值的影响，向异常值偏移。

1.6对自定义函数拟合

对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。

所用函数：

nlinfit（）

调用格式：

[beta,r,J]=nlinfit（X,y,’fun’,betao）

说明：

beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。

X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。

例6：

在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：

现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。

xyxyxy

80.49160.43280.41

80.49180.46280.40

100.48180.45300.40

100.47200.42300.40

100.48200.42300.38

100.47200.43320.41

120.46200.41320.40

120.46220.41340.40

120.45220.40360.41

120.43240.42360.36

140.45240.40380.40

140.43240.40380.40

140.43260.41400.36

160.44260.40420.39

160.43260.41

首先定义非线性函数的m文件：

fff6.m

functionyy=fff6（beta0,x）

a=beta0

（1）;

b=beta0

（2）;

yy=a+（0.49-a）*exp（-b*（x-8））;

程序：

x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...

16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...

24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...

34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]';

y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...

0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...

0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]';

beta0=[0.300.02];

betafit=nlinfit（x,y,'fff6',beta0）

结果：

betafit=

0.3896

0.1011

即：

a=0.3896，b=0.1011拟合函数为：

§2插值问题

在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。

实例：

海底探测问题

某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。

并绘出较细致的海底曲面图。

一、一元插值

一元插值是对一元数据点（xi,yi）进行插值。

1． 线性插值：

由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。

一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。

调用格式：

yi=interp1（x,y,xi,’linear’）%线性插值

zi=interp1（x,y,xi,’spline’）%三次样条插值

wi=interp1（x,y,xi,’cubic’）%三次多项式插值

说明：

yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。

x、y为已知数据点。

例1：

已知数据：

x

0

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1

y

.3

.5

1

1.4

1.6

1.9

.6

.4

.8

1.5

2

求当xi=0.025时的yi的值。

程序：

x=0:

.1:

1;

y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];

yi0=interp1（x,y,0.025,'linear'）

xi=0:

.02:

1;

yi=interp1（x,y,xi,'linear'）;

zi=interp1（x,y,xi,'spline'）;

wi=interp1（x,y,xi,'cubic'）;

plot（x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-'）

legend（'原始点','线性点','三次样条','三次多项式'）

结果：

yi0=0.3500

要得到给定的几个点的对应函数值，可用：

xi=[0.25000.35000.4500]

yi=interp1（x,y,xi,'spline'）

结果：

yi=1.20881.58021.3454

（二）二元插值

二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点（x,y,z）构造函数求出插值点数据（xi,yi,zi）。

1、单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。

调用格式1：

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’linear’）

‘liner’是双线性插值（缺省）

调用格式2：

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’nearest’）

’nearest’是最近邻域插值

调用格式3：

zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’spline’）

‘spline’是三次样条插值

说明：

这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。

z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。

z和x,y之间的关系是z（i,:

）=f（x,y（i））z（:

j）=f（x（j）,y）即：

当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。

如果没有对x,y赋值，则默认x=1:

n,y=1:

m。

n和m分别是矩阵z的行数和列数。

例2：

已知某处山区地形选点测量坐标数据为：

x=00.511.522.533.544.55

y=00.511.522.533.544.555.56

海拔高度数据为：

z=8990878592919693908782

9296989995918986848284

9698959290888584838185

8081828995969392898686

8285879899969788858283

8285899495939291868488

8892939495898786838192

9296979896939584828184

8585818280808185909395

8486819899989796958487

8081858283848790958688

8082818485868382818082

8788899899979698949287

其地貌图为：

对数据插值加密形成地貌图。

程序：

x=0:

.5:

5;

y=0:

.5:

6;

z=[8990878592919693908782

9296989995918986848284

9698959290888584838185

8081828995969392898686

8285879899969788858283

8285899495939291868488

8892939495898786838192

9296979896939584828184

8585818280808185909395

8486819899989796958487

8081858283848790958688

8082818485868382818082

8788899899979698949287];

mesh（x,y,z）%绘原始数据图

xi=linspace（0,5,50）;%加密横坐标数据到50个

yi=linspace（0,6,80）;%加密纵坐标数据到60个

[xii,yii]=meshgrid（xi,yi）;%生成网格数据

zii=interp2（x,y,z,xii,yii,'cubic'）;%插值

mesh（xii,yii,zii）%加密后的地貌图

holdon%保持图形

[xx,yy]=meshgrid（x,y）;%生成网格数据

plot3（xx,yy,z+0.1,’ob’）%原始数据用‘O’绘出

2、二元非等距插值

调用格式：

zi=griddata（x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’）

插值方法有：

linear%线性插值（默认）

bilinear%双线性插值

cubic%三次插值

bicubic%双三次插值

nearest%最近邻域插值

例：

用随机数据生成地貌图再进行插值

程序：

x=rand（100,1）*4-2;

y=rand（100,1）*4-2;

z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;

ti=-2:

.25:

2;

[xi,yi]=meshgrid（ti,ti）;%加密数据

zi=griddata（x,y,z,xi,yi）;%线性插值

mesh（xi,yi,zi）

holdon

plot3（x,y,z,'o'）

该例中使用的数据是随机形成的，故函数griddata可以处理无规则的数据。