《常微分方程》第三版答案.docx
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《常微分方程》第三版答案
《常微分方程》第三版答案
习题1.21.
dx
dy
=2xy,并满足初始条件:
x=0,y=1的特解。
解:
y
dy
=2xdx两边积分有:
ln|y|=x2+cy=e
2
x+ec=cex2
另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0
原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1特解为y=e2
x.
2.y2
dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解。
解:
y2dx=-(x+1)dy
2
ydydy=-1
1+xdx两边积分:
-
y
1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1+xc
另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解:
y=
|
)1(|ln1
+xc
3.dxdy=y
xxyy321++
解:
原方程为:
dx
dy=yy21+31
xx+
yy21+dy=31
x
x+dx两边积分:
x(1+x2
)(1+y2
)=cx2
4.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:
原方程为:
yy-1dy=-x
x1
+dx
两边积分:
ln|xy|+x-y=c
另外x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x)dy+(x-y)dx=0解:
原方程为:
dxdy=-y
xyx+-
令
x
y
=u则dxdy=u+xdxdu代入有:
-1
12++uudu=x1dx
ln(u2+1)x2=c-2arctgu即ln(y2+x2)=c-2arctg2
xy
.6.x
dx
dy
-y+22yx-=0解:
原方程为:
dxdy=xy+x
x|
|-2)(1xy-
则令
x
y
=udxdy=u+xdxdu
2
11u-du=sgnx
x
1
dxarcsin
x
y
=sgnxln|x|+c7.tgydx-ctgxdy=0解:
原方程为:
tgydy=ctgx
dx两边积分:
ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=
xccos1=x
c
cos另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c.8
dxdy+y
ex
y32+=0
解:
原方程为:
dxdy=y
ey2
ex3
2e
x
3-3e
2
y-=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解:
原方程为:
dxdy=xylnxy令x
y
=u,则dxdy=u+xdxdu
u+x
dxdu
=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln
x
y
=cy.10.
dx
dy=ey
x-解:
原方程为:
dx
dy=exey
-ey=cex
11
dx
dy
=(x+y)2解:
令x+y=u,则
dxdy=dx
du-1dxdu-1=u2
2
11
u
+du=dxarctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c
12.
dxdy=2)
(1yx+解:
令x+y=u,则dxdy=dx
du-1
dxdu-1=21u
u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.
dxdy=1
212+-+-yxyx解:
原方程为:
(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2
-y)-dx2
+x=cxy-y2
+y-x2-x=c
14:
dxdy=2
5--+-yxyx解:
原方程为:
(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(
21y2+2y)-d(2
1x2
+5x)=0
y2+4y+x2+10x-2xy=c.
15:
dx
dy
=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1+解:
原方程为:
dx
dy
=(x+4y)2+3
令x+4y=u则dxdy=41dxdu-4
1
41dxdu-41=u2
+3dxdu
=4u2+13u=2
3
tg(6x+c)-1tg(6x+c)=3
2
(x+4y+1).
16:
证明方程
yxdx
dy
=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程:
1)y(1+x2
y2
)dx=xdy
2)yxdxdy=2
222x-2yx2y+
证明:
令xy=u,则xdxdy+y=dx
du则dxdy=x1dxdu-2xu
,有:
uxdx
du
=f(u)+1
)1)((1+ufudu=x
1
dx
所以原方程可化为变量分离方程。
1)令xy=u则
dxdy=x1dxdu-2
xu
(1)原方程可化为:
dxdy=x
y[1+(xy)2
]
(2)
将1代入2式有:
x1dxdu-2xu=x
u(1+u2
)
u=22+u+cx
17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解:
设(x+y)为所求曲线上任意一点,则切线方程为:
y=y’(x-x)+y则与x轴,y轴交点分别为:
x=x0-
'
yyy=y0-x0y’则x=2x0=x0-
'
yy所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中α=
4
π
。
解:
由题意得:
y’=
x
y
y1dy=x1dx
ln|y|=ln|xc|y=cx.α=
4
π
则y=tgαx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明:
设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y’=kx则:
y=kx2
+c即为所求。
常微分方程习题2.11.
xydx
dy
2=,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.解:
对原式进行变量分离得
。
故它的特解为代入得
把即两边同时积分得:
eex
xycyxxcycyxdxdyy
2
2
11,0,ln,21
2
=====+==
0)1(.22
=++dyxdxy并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得:
。
故特解是
时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当x
ycyxyxcycyxydydxxy
++=====++=+=+≠=+-
1ln11
11,001ln1
11ln0,1112
3
y
xydxdyxy32
1++
=
解:
原式可化为:
xxyx
xyxy
xy
y
x
y
ccccxdxxdyyy
xy
dx
dy2
2
2
2
2
2
2
2
3
22
3
2
)1
(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+
∙
+
=+)
故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然
10ln1lnln1ln1,0
ln0
)ln(ln:
931:
8.
coslnsinln0
7lnsgnarcsin
lnsgnarcsin1
sgn11,)1(,,,6ln)1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:
5332
2
22
2
22
2
22
2
cdxdydxdyx
y
cyu
du
udxxxyudxx
y
dyxyydxdyyxxcdyy
yy
y
dxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxx
y
cxxudx
xxdux
dx
dudx
du
xudxdyuxyuxyydxdyx
cxarctgudx
xduuuudxduxudx
dux
udxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeee
exyu
ux
yxuuxy
x
y
yxx
x
+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解:
变量分离:
。
代回原变量得:
则有:
令解:
方程可变为:
解:
变量分离,得
两边积分得:
解:
变量分离,得:
:
也是方程的解。
另外,代回原来变量,得两边积分得:
分离变量得:
则原方程化为:
解:
令:
。
两边积分得:
变量分离,得:
则令解:
.0;0;ln,ln,lnln0
110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:
由:
c
xyxarctgc
xarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdx
dyc
dxdydx
dyt
tyxeeeeexy
x
y
y
x+=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.112
22)(代回变量得:
两边积分变量分离得:
原方程可变为:
则解:
令两边积分得:
解:
变量分离,
12.2)
(1yxdxdy+=解
cxyxarctgyxcxarctgttdxdtttt
dxdtdxdtdxdytyx+=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2,代回变量,两边积分变量分离,原方程可变为,则
令
变量分离
,则方程可化为:
令则有令的解为解:
方程组UUdXdUXUXYYXY
XdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU21222'
22,31,313
1
31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
cxyxc
xtdxdtttt
dxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为:
则
解:
令
15.1
8)14()1(22+++++=xyyxdxdy
原方程的解。
,是
,两边积分得分离变量,
,所以求导得,则关于令解:
方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(181********22
16.2
252
622y
xxyxydxdy+-=解:
,则原方程化为,,令uyx
xyxydxdyxxyyxydxdy=+-==+-=32
322332322232]2)[(32
(2)(126326322
2
22+-=+-=x
uxux
xuxudxdu,这是齐次方程,令
c
xxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzd
zzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu153********735372
233222)2()3(023)2()3,)2()31
12062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。
故原方程包含在通解中当或,又因为即(,两边积分的(时,变量分离当是方程的解。
或)方程的解。
即是(或,得当,,,,所以,则
17.y
yyxxxyxdxdy-+++=
3232332解:
原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,2
2
-+++===uvuvdvduvxuy则
方程组,,,);令,的解为(111101230
132+=-=-⎩⎨
⎧=-+=++uYvZuvuv
则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++==+=+zyzydzdyyzyz23321023032)化为,,,,从而方程(令)2.((232223322)
,,,,,所以,,则有
t
tdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt+-=++=++==当
是原方程的解
或的解。
得,是方程时,,即222222)2(1022xyxytt-=-=±==-当
cxyxydzzdtt
tt522222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时,,分离变量得另外
cxyxyxyxy522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为,包含在其通解中,故,或
,这也就是方程的解。
,两边积分得分离变量得,则原方程化为令解)(并由此求解下列方程可化为变量分离方程,经变换证明方程
cyxxydxxduuuuu
xuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdx
dyyx+==--=
+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=
=+===4
ln142241)22(1dxduuxy
(2)0.
x,c
2
故原方程的解为原
也包含在此通解中。
0y,c2
即,c2两边同时积分得:
dxx12udu变量分离得:
),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dx
dyyx时,方程化为0sxy是原方程的解,当0y或0x当:
(1)解程。
故此方程为此方程为变u)
(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得:
ydx
dudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明:
因为22).2()1(.1)(18.2
222
222
2
2
2
2
222
4
22
3
3
222
22222x
yxyxyxy
xuuu
uy
x
19.已知f(x)
⎰≠=x
xfxdtxf0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解:
设f(x)=y,则原方程化为⎰=x
ydtxf0
1
)(两边求导得'1
2yy
y-=c
xyycxdyydxdxdyy+±==+-==
-21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入
把c
xy+±
=21⎰
=
x
y
dtxf0
1
)(x
yccxccxcxdtc
tx
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±⎰
所以得
20.求具有性质x(t+s)=
)
()
(1)
()(sxtxsxtx-+的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)=
)0
(1)0()0(xxx-+=)
0()0
(1)
0(2xxx-若x(0)≠0得x2=-1矛盾。
所以x(0)=0.x’(t)=)
(1)(0(')
()(1[))
(1)((lim)()(lim
22txxtxtxttxtxttxttx+=∆-∆+∆=∆-∆+)))
(1)(0(')
(2txxdt
tdx+=
dtxtxtdx)0(')
(1)(2=+两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解1.
dx
dy
=xysin+解:
y=e⎰
dx
(⎰
xsine⎰-dx
cdx+)
=ex
[-21ex
-(xxcossin+)+c]=cex
-2
1(xxcossin+)是原方程的解。
2.
dt
dx+3x=et
2解:
原方程可化为:
dt
dx=-3x+et
2所以:
x=e⎰-dt
3(
⎰
et2e-⎰-dt3cdt+)
=e
t
3-(
51et
5+c)=cet3-+51et
2是原方程的解。
3.dt
ds
=-stcos+21t2sin
解:
s=e⎰-tdtcos(t2sin2
1
⎰edtdt⎰3c+)
=e
t
sin-(⎰
+cdttett
sincossin)
=e
t
sin-(cete
tt
+-sinsinsin)
=1sinsin-+-tce
t
是原方程的解。
4.
dxdynxxeyn
x
=-,n为常数.解:
原方程可化为:
dxdynxxeyn
x
+=
)(cdxe
xee
ydx
xn
nxdx
xn
+⎰⎰=⎰-
)(cexx
n
+=是原方程的解.
5.
dxdy+1212
--yxx=0解:
原方程可化为:
dxdy=-1212
+-yx
x
⎰
=-dx
xxe
y2
12(cdxe
dx
xx+⎰
-2
21)
)
2
1
(ln2+=xe
)(1
ln2⎰+-
-cdxe
x
x
=)1(12
x
cex+是原方程的解.
6.dxdy2
3
4xyxx+=解:
dxdy2
3
4xy
xx+==23y
x+xy
令
x
y
u=则uxy=dxdy=udxdux+
因此:
dxduxu+=2ux
21
u
dxdu=
dxduu=2
cxu+=3
3
1
cxxu+=-33(*)将
x
y
u=带入(*)中得:
3433cxxy=-是原方程的解.
33
3
2
()2
1
()2
27.
(1)12
(1)1
2
(),()
(1)1
(1)(())
1
(1)dxPxdxxPxdx
dyyxdxxdyyxdxxPxQxxxeexeQxdxcx+--=++=+++==++⎰⎰==+⎰
⎰++⎰⎰
P(x)dx
2
3
2
解:
方程的通解为:
y=e=(x+1)(*(x+1)dx+c)=(x+1)((x+23
2
2
1
(1)()
2
11
()(())
dy
yxcdyydxxydxxydyyy
Qyyye
y
Qydyc-+++==+=⎰⎰
==⎰
⎰+⎰⎰2
243P(y)dy
P(y)dy
P(y)dy1)dx+c)
=(x+1)即:
2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8.=x+y解:
则P(y)=e方程的通解为:
x=ee23
3
1
*)
2
2
ydycy
ycy
y++⎰=y(=即x=+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。
()()()19.
1
),()(())01adxPxdxa
xPxdxPxdxaadyayxadxxx
axPxQxxxeexeeQxdxcaa-+=++==
⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解:
(方程的通解为:
y=1x+1=x(dx+c)xx当时,方程的通解为y=x+ln/x/+c当时,方程01aaa
≠a的通解为
y=cx+xln/x/-1当,时,方程的通解为
x1
y=cx+-1-
33
31()()()310.11(),()1(())
(*)dxPxdxxPxdxPxdx
dy
x
yxdxdyyxdxxPxQxxxeex
eeQxdxcxxdxcc
x
c
x
--+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++
⎰⎰33解:
方程的通解为:
y=1=x
x=4x方程的通解为:
y=4()
()
()
2
2
3333
23
3232332311.
2()2()()2,()2(())
(
(2)pxxdx
x
pxpxxdy
xyxydxxyxydx
xyxydx
xyxdx
yz
dz
xzxdx
PxxQxxedxeeedxedxQxdxcex-----+==-+=-+=--+==--+==-⎰
⎰
==⎰
⎰+-⎰⎰2
3-2
xdy
解:
两边除以ydydy令方程的通解为:
z==e2
2
2)1
1)1,0xxdxcceycey+++++==22=x故方程的通解为:
(x且也是方程的解。
2221
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- 常微分方程 微分方程 第三 答案