备战中考第09讲一元二次方程及其应用附解析答案.docx
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备战中考第09讲一元二次方程及其应用附解析答案
备战2019中考初中数学导练学案50讲
第09讲一元二次方程及其应用
【疑难点拨】
1.一元二次方程易误易混辨析:
误区一:
忽视一元二次方程的一般形式,易出现将常数项写成1的错误,原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式,另外,不用忽视各项系数的符合.误区二:
在解答过程中忽略条件,本题易出现答案为
的错误,原因是忽略了二次项系数不为0这一隐含条件.因此,在解答一元二次方程中所含字母的值时,一定要保证二次项系数不为0,从而避免出错.
2.一元二次方程的解法:
(1)配方法:
由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解,用公式法也较繁琐,适合用配方法来解;
(2)公式法:
由题目的特点可知本题适宜用公式法来解;
(3)因式分解法:
适合用因式分解法来解;
解一元二次方程关键是方法的选择。
当一个方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时则适合用配方法;当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。
在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。
注意用公式法求解时,应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0,再确定a、b、c的值,同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.
3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是:
(1)审题.分析题意,找出已知量和未知量,弄清它们之间的数量关系.
(2)设未知数.一般采取直接设法,有的要间接设.(3)列出方程.要注意方程两边的数量相等.方程两边的代数式的单位相同.(4)解方程.应注意一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.
4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法:
(1)三连续整数:
若设中间的一个为x,则另两个分别为x-1,x+1.三连续偶数(奇数):
若设中间的一个为x,则另两个分别为x-2,x+2.
(2)三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c,则这个三位数为100a+10b+c.
(3)增长率问题:
设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为a(1+x)2. 降低率问题:
若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为a(1-x)2.
(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】
一、选择题:
1.用公式法解﹣x2+3x=1时,先求出a、b、c的值,则a、b、c依次为( )
A.﹣1,3,﹣1B.1,﹣3,﹣1C.﹣1,﹣3,﹣1D.1,3,1
2.已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根,则p的值是( )
A.0B.1C.2D.﹣2
3.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是( )
A.x(x﹣1)=28B.
x(x﹣1)=28C.2x(x﹣1)=28D.
x(x+1)=28
4.(2018•山东菏泽•3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠﹣1D.k≤0且k≠﹣1
5.(2018•安徽•4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
6..(2018年四川省南充市)若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,则m﹣n的值为 .
7.(2018年四川省内江市)关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根,则k的取值范围是 .
8.(2018年四川省内江市)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 .
三、解答与计算题:
9.(2018•四川成都•6分)若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根,求的取值范围.
10.(2018•湖北黄石•8分)已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
(1)求实数m的取值范围;
(2)若x1﹣x2=2,求实数m的值.
【能力篇】
一、选择题:
11.已知a、b、c是
的三边长,且方程
的两根相等,则
为
.
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.任意三角形
12.(2018年江苏省泰州市•3分)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
13.(2018·山东潍坊·3分)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+
=0有两个不相等的实数根x1,x2.若
+
=4m,则m的值是( )
A.2B.﹣1C.2或﹣1D.不存在
二、填空题:
14.(2018·四川自贡·4分)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 .
15.(2018•湖北黄冈•3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为______________.
三、解答与计算题:
16.(2018·广西梧州·6分)解方程:
2x2﹣4x﹣30=0.
17.(2018·湖北省孝感·9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).
(1)试证明:
无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.
18.观察下列一元二次方程,并回答问题:
第1个方程:
x2+x=0;
第2个方程:
x2﹣1=0;
第3个方程:
x2﹣x﹣2=0;
第4个方程:
x2﹣2x﹣3=0;
…
(1)第2018个方程是 ;
(2)直接写出第n个方程,并求出第n个方程的解;
(3)请说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
【探究篇】
19.(2018·湖北省宜昌·10分)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:
生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理,若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.
(1)求n的值;
(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;
(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a.在
(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等,第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.
20.(2018·广东广州·14分)已知抛物线
。
(1)证明:
该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在圆P上。
①试判断:
不论m取任何正数,圆P是否经过y轴上某个定点?
若是,求出该定点的坐标,若不是,说明理由;
②若点C关于直线
的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为,圆P的半径记为,求
的值。
第09讲一元二次方程及其应用
【疑难点拨】
1.一元二次方程易误易混辨析:
误区一:
忽视一元二次方程的一般形式,易出现将常数项写成1的错误,原因是没将方程化为一元二次方程的一般形式,另外,不用忽视各项系数的符合.误区二:
在解答过程中忽略条件,本题易出现答案为
的错误,原因是忽略了二次项系数不为0这一隐含条件.因此,在解答一元二次方程中所含字母的值时,一定要保证二次项系数不为0,从而避免出错.
2.一元二次方程的解法:
(1)配方法:
由本方程的特点可知其不适合用因式分解法来解,用公式法也较繁琐,适合用配方法来解;
(2)公式法:
由题目的特点可知本题适宜用公式法来解;
(3)因式分解法:
适合用因式分解法来解;
解一元二次方程关键是方法的选择。
当一个方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时则适合用配方法;当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积右边是0的形式时就可利用因式分解法来解。
在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解。
注意用公式法求解时,应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0,再确定a、b、c的值,同时还应明确其使用的前提是b2-4ac≥0.
3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是:
(1)审题.分析题意,找出已知量和未知量,弄清它们之间的数量关系.
(2)设未知数.一般采取直接设法,有的要间接设.(3)列出方程.要注意方程两边的数量相等.方程两边的代数式的单位相同.(4)解方程.应注意一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.
4.、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法:
(1)三连续整数:
若设中间的一个为x,则另两个分别为x-1,x+1.三连续偶数(奇数):
若设中间的一个为x,则另两个分别为x-2,x+2.
(2)三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c,则这个三位数为100a+10b+c.
(3)增长率问题:
设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),二次增长后的值为a(1+x)2. 降低率问题:
若基数为a,降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),二次降低后的值为a(1-x)2.
(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据。
【基础篇】
一、选择题:
1.用公式法解﹣x2+3x=1时,先求出a、b、c的值,则a、b、c依次为( )
A.﹣1,3,﹣1B.1,﹣3,﹣1C.﹣1,﹣3,﹣1D.1,3,1
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项即可.
【解答】解:
将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1=0,
可得二次项系数a=﹣1,一次项系数b=3,常数项为﹣1.
故选:
A.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,利用此方法解方程时,首先将方程整理为一般形式,找出a,b及c的值,然后计算出根的判别式的值,当b2﹣4ac≥0时,将a,b及c的值代入求根公式可求出解.
2.已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根,则p的值是( )
A.0B.1C.2D.﹣2
【分析】
把x=1代入x2+px+1=0,即可求得p的值.
【详解】
把x=1代入把x=1代入x2+px+1=0,得
1+p+1=0,∴p=-2.故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解得定义,能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
3.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是( )
A.x(x﹣1)=28B.
x(x﹣1)=28C.2x(x﹣1)=28D.
x(x+1)=28
【分析】
赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),x个班比赛总场数=x(x-1)÷2,即可列方程求解.
【详解】
设九年级共有x个班,每个班都要赛(x-1)场,但两班之间只有一场比赛,
故
x(x-1)=28.故选B.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用,根据比赛场数与参赛队之间的关系为:
比赛场数=队数×(队数-1)÷2,进而得出方程是解题关键。
4.(2018•山东菏泽•3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠﹣1D.k≤0且k≠﹣1
【考点】AA:
根的判别式;A1:
一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,然后求出两个不等式的公共部分即可.
【解答】解:
根据题意得k+1≠0且△=(﹣2)2﹣4(k+1)≥0,
解得k≤0且k≠﹣1.
故选:
D.
【点评】本题考查了根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.
5.(2018•安徽•4分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%假定2018年的平均增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件,2018年我省有效发明专利数为(1+22.1%)•(1+22.1%)a,由此即可得.
【详解】由题意得:
2017年我省有效发明专利数为(1+22.1%)a万件,
2018年我省有效发明专利数为(1+22.1%)•(1+22.1%)a万件,即b=(1+22.1%)2a万件,故选B.
【点睛】本题考查了增长率问题,弄清题意,找到各量之间的数量关系是解题的关键.
二、填空题:
6..(2018年四川省南充市)若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,则m﹣n的值为 ﹣
.
【考点】A3:
一元二次方程的解.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0,然后把等式两边除以n即可.
【解答】解:
∵2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根,
∴4n2﹣4mn+2n=0,
∴4n﹣4m+2=0,
∴m﹣n=﹣
.
故答案是:
﹣
.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
7.(2018年四川省内江市)关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根,则k的取值范围是 k≥﹣4 .
【考点】AA:
根的判别式.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根,
∴△=42﹣4×1×(﹣k)=16+4k≥0,
解得:
k≥﹣4.
故答案为:
k≥﹣4.
【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△≥0时,方程有实数根”是解题的关键.
8.(2018年四川省内江市)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 1 .
【考点】AB:
根与系数的关系;A9:
换元法解一元二次方程.
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
设x+1=t,方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根分别是x3,x4,
∴at2+bt+1=0,
由题意可知:
t1=1,t2=2,
∴t1+t2=3,
∴x3+x4+2=3
故答案为:
1
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
三、解答与计算题:
9.(2018•四川成都•6分)若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根,求的取值范围.
【答案】由题知:
.
原方程有两个不相等的实数根,
,
.
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】根据已知条件此方程有两个不相等的实数根,得出b2-ac>0,解不等式求解即可。
(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x12+x22=10,求m的值.
【考点】AB:
根与系数的关系;AA:
根的判别式.
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解:
(1)由题意可知:
△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)
=4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,
∴
+
=(x1+x2)2﹣2x1x2=10,
∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,
∴m2﹣2m﹣3=0,
∴m=﹣1或m=3
【点评】本题考查根与系数的关系,解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法,本题属于中等题型.
10.(2018•湖北黄石•8分)已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
(1)求实数m的取值范围;
(2)若x1﹣x2=2,求实数m的值.
【分析】
(1)根据根的判别式得出不等式,求出不等式的解集即可;
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2,和已知组成方程组,求出方程组的解,再根据根与系数的关系求出m即可.
【解答】解:
(1)由题意得:
△=(﹣2)2﹣4×1×m=4﹣4m>0,
解得:
m<1,
即实数m的取值范围是m<1;
(2)由根与系数的关系得:
x1+x2=2,
即
,
解得:
x1=2,x2=0,
由根与系数的关系得:
m=2×0=0.
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解,能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键.
【能力篇】
一、选择题:
11.已知a、b、c是
的三边长,且方程
的两根相等,则
为
.
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.任意三角形
【分析】方程
的两根相等,即
,结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状.
【详解】
原方程整理得
,
因为两根相等,
所以
,
即
,
所以
是直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式,勾股定理的逆定理,熟练掌握根的判别式是解题的关键.
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
12.(2018年江苏省泰州市•3分)已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是( )
A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、由x1•x2=﹣2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.
综上即可得出结论.
【解答】解:
A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,
∴x1≠x2,结论A正确;
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1+x2=a,
∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,
∴x1•x2=﹣2,结论C错误;
D、∵x1•x2=﹣2,
∴x1<0,x2>0,结论D错误.
故选:
A.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
13.(2018·山东潍坊·3分)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+
=0有两个不相等的实数根x1,x2.若
+
=4m,则m的值是( )
A.2B.﹣1C.2或﹣1D.不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△>0,得出关于m的不等式组,解之得出m的取值范围,再根据根与系数的关系可得出x1+x2=
,x1x2=
,结合
+
=4m,即可求出m的值.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+
=0有两个不相等的实数根x1、x2,
∴
,
解得:
m>﹣1且m≠0.
∵x1、x2是方程mx2﹣(m+2)x+
=0的两个实数根,
∴x1+x2=
,x1x2=
,
∵
+
=4m,
∴
=4m,
∴m=2或﹣1,
∵m>﹣1,
∴m=2.
故选:
A.
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式,解题的关键是:
(1)根据二次项系数非零及根的判别式△>0,找出关于m的不等式组;
(2)牢记两根之和等于﹣
、两根之积等于
.
二、填空题:
14.(2018·四川自贡·4分)若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为 ﹣1 .
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值.
【解答】解:
∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴△=22﹣4×1×(﹣m)=0,
解得:
m=﹣1.
故答案为:
﹣1.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,牢记“当△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键.
15.(2018•湖北黄冈•3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为______________.
【考点】解一元二次方程,三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解为3或7,利用三角形的两边之和大于第三边进行判断,得到满足题意的第三边的长,从而求得三角形的周长.
【解答】解:
x2-10x+21=0,
因式分解得:
(x-3)(x-7)=0,
解得:
x1=3,x2=7,
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的根,
∴三角形的第三边为3或7,
当三角形第三边为3时,3+3=6,不能构成三角形,舍去;
当三角形第三边为7时,三角形三边分别为3,6,7,能构成三角形,
则第三边的长为7.
∴三角形的周长为:
3+6+7=16.
故答案为:
16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程,以及三角形三边的关系.利用因式分解法求解解一元二次方程时,首先将方程右边化为0,左边分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0,转化为两个一元一次方程来求解。
三、解答与计算题:
16.(2018·广西梧州·6分)解方程:
2x2﹣4x﹣30=0.
【分析】利用因式分解法解方程即可;
【解答】解:
∵2x2﹣4x﹣30=0,
∴x2﹣2x﹣15=0,
∴(x﹣5)(x+3)=0,
∴x1=5,x2=﹣3.
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法,解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法,属于中考基础题.
17.(2018·湖北省孝感·9分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).
(1)试证明:
无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+
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- 备战 中考 09 一元 二次方程 及其 应用 解析 答案