数学建模实验二概述.docx
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数学建模实验二概述
基本实验
1.微分方程稳定性分析
绘出下列自治系统相应的轨线,并标出随t增加的运动方向,确定平衡点,并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类:
解答:
(1)由平衡点的定义可得,f(x)=x=0,f(y)=y=0,因此平衡点
为(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为
A
1
0
,解得其特征值
0
1
121.p
1220,q1210
.对照稳定性的情况表,可
知平衡点(0,
0)是不稳定的。
自治系统相应轨线为:
(2)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=2y=0,因此平衡点为(0,0),
系统的线性近似方程的系数矩阵为A
10
,解得其特征值
0
2
11;22.p1210,q12
2
0.对照稳定性的情况
表,可知平衡点(0,0)是不稳定的。
自治系统相应轨线为:
(3)由平衡点的定义可得,f(x)=y=0,f(y)=-2x=0,因此平衡点为(0,0),
系统的线性近似方程的系数矩阵为A
0
1
,解得其特征值
2
0
12i;22i.p120,q122
0.对照稳定性的情况表,
可知平衡点(0,0)是不稳定的。
自治系统相应轨线为:
(4)由平衡点的定义可得,f(x)=-x=0,f(y)=-2y=0,因此平衡点为
(0,0),系统的线性近似方程的系数矩阵为A10,解得其特征值
02
11;22.p1230,q1220.对照稳定性的情况表,
可知平衡点(0,0)是稳定的。
自治系统相应轨线为:
2.营养平衡问题
营养以每单位时间R个分子的常速流入一个细胞,并且以其内营
养浓度成比例的速度离开,比例常数为K,设N为t时刻的浓度,则
上述营养变化速度的数学描述为:
dN
dt
RKN
即N的变化速度等于营养进入细胞的速度减去它们离开的速度,营养的浓度会达到平衡吗?
如果能,平衡解是什么?
它是稳定的吗?
试用这个方程解的图示解释之。
解答:
由题意可得
N满足的微分方程为:
fN
dN
,
RKN
R,当N
dt
令fN0,可求得方程的平衡点N0
N0时,fN
0;当
K
NN0时,f
N
0.
不难计算出f'
N
K,由题意知K
0,故平衡点是稳定的。
由以上分析可做图示分析如下:
3.种群增长模型
一个片子上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落.设病菌的数目
为N,单位成员的增长率为
r1,则由
Malthus
生长律有
dN
dt
r1N
,但是,
处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤,它们死亡的数量与
1
N2成比例,其比例系数为r2,求N满足的微分方程.不用求解,图示
其解族.方程是否有平衡解,如果有,是否为稳定的?
1
解答:
由题意可得N满足的微分方程为:
fN
dN
,
r1Nr2N2
dt
2
令fN0,可求得方程的两个平衡点N10;N2r22,
r1
分析可得,当N
0时,单调递减,当
r22
时,单调递增,当N
r22
r12
r12
0N
2
时,单调递减,所以N10是不稳定的,N2r2是稳定的。
r12
对f
N求二次微分可得:
2
1
1
d
N
(r
1rN2)(rNrN2)
dt2
1
22
1
2
,
令
d2N
得N
r22
,该点即为曲线的拐点。
2
t
2
d
4r1
方程的解族如下图所示:
y
x
2
由图形也可以看出,N10是不稳定的,N2r22是稳定的。
r1
4.单种群开发模型
考虑单种群开发方程
dx
(r1-
x
)x-Ex(E
r).
dt
N
用数学表达式证明:
在稳定状态下,最优捕捞率为E*r
2
解答:
由本问题的目标出发,渔场中鱼量达到稳定的平衡状态时的情形,不必知道每一时刻的鱼量变化情况,故不需要解出方程,只需要讨论方程的平衡点并分析其稳定性。
令
f(x)=
dx
(r1-
x)x-Ex
0
dt
N
解得的两个平衡点为:
x0N(1
E)
0
r
,x1
易得f'x0
Er;f'x1rE
由定理知:
若f'x0
0,则x0是稳定的;若f'
x00,则x0不是稳定的。
应用上述近似判别法,所以有
当E 点; 当E>r时,f'x00,f'x10,x0不是稳定平衡点,x1是稳定平衡 点; 所以,当捕捞适度(即: E N1 E , r 从而获得持续产量,而当捕捞过度(即: E>r)时,渔场产量将减至 x10,从而是不可持续的。 令 h(x0) N(1 E)E r 求导可得: dh N(1 2E)0 E*r dx r 2 所以,最优捕捞率为E* r。 2 5.Compertz模型 设渔场鱼量自然增长服从Gompertz模型: dxrxlnN dtx 其中r为固有增长率,N为最大种群数量。 若单位时间捕捞量为 hEx.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x*0。 解答: 令: N f(x)rxlnEx 由: 0,rxlnN E fx Ex0,解得该方程的平衡点为x0 Ner,x10. x f' x rln N r E x f' x0 r 0,f'x1 , 可得平衡点x0是稳定的,而平衡点x1不稳定. 最大持续产量的数学模型为: maxh Ex s.t. rxln N Ex0,x0. x E 由前面的结果可得hENer E dhNer dE E ENer, r 令dh 0可得最大产量的捕捞强度 Emr,从而得到最大持续产量 dE N。 hmrN/e,此时,渔场鱼量水平x0* e 6.有限资源竞争模型 微分方程 dx1 x1[a1 c1(1b1x1b2x2)] dt dx2 x2[a2 c2(1b1x1b2x2)] dt 是两个物种为了共同的有限资源而竞争的模型,假设c1>a1, c2>a2。 试用微分方程稳定性理论分析: (1)如果a1 a2 ,则x1t0t (2)如果a1 a2 ,则x2t0t c1 c2 c1 c2 (3)用图形分析方法来说明上述两种情况。 解答: dx1 x1[a1 c1(1b1x1 b2x2)]0 f(x1) (1)令 dt dx2 x2[a2 c2(1b1x1 b2x2)]0 f(x2) dt 得方程的平衡点为P(0,0),P(c1 a1 ), (0, c2a2). 0 1 0 P2 c2b2 c1b1 对平衡点P0(0,0), c1a10 系数矩阵A 1c2a2 又c1>a1,c2>a2则p=-[(c1-a1)+(c2-a2)]<0,所以该平衡点不稳定。 a1c1b2(c1a1) 对平衡点P(c1 a1 ),系数矩阵 A b1 1 0 (c1 a1)c2 c1b1 0 a1 c1 c1 则p=c1a1 a2c1 a1c2 ,q=(c1a1)[(c2 (c1a1)c2 )],若 a1 a2 ,且 c1 a2) c1 c1 c2 c1>a1,c2>a2,则q<0不稳定。 而对于P2(0,c2 a2 ),有p>0,且q>0稳定,此时x1(t) 0(t );说 c2b2 明物种1最终要灭亡。 (2)如果a1 a2的情况下,方程在P1(c1a1 0)稳定,其他点不稳定, c1 c2 c1b1 此时x2(t) 0(t );说明物种2最终会灭亡。 (3)对于线性方程组 x1 x2 0 直线l1 1 N1 N1 , x1 x2 0 直线l2 1 N2 N1 其中,N1 c1-a1,N2 c2-a2, b2.直线l1和l2将第一象限分成三个区 b1c1 b1c2 b1 域。 ①当a1 a2时,P2点稳定,通过分析x1,x2的单调性可得下图: c1 c2 此时x1(t) 0(t);说明物种1最终要灭亡。 ②当a1 a2时,P1点稳定,通过分析x1,x2的单调性可得下图: c1 c2 此时x2(t)0(t);说明物种2最终要灭亡。 7.蝴蝶效应与混沌解 考虑Lorenz模型 x1 '(t) x1(t) x2(t)x3(t) x2'(t) x2(t) x3(t) x3 '(t) x1(t)x2(t) x2(t)x3(t) 其中 10, 28, 8/3,且初值为 ()(),() x10x200x30 ,ε为一 个小常数,假设1010,且0t100。 (1)用函数ode45求解,并画出x2~x1,x2~x3,x3~x1的平面图; (2)适当地调整参数σ,ρ,β值,和初始值x1(0),x2(0)=0,x3(0),重复一的工作,看有什么现象发生。 解答: (1)创建plot_yuanzhe.m文件,在plot_yuanzhe.m文件中编写下面的语句: 在plot_yuanzhe.m文件中,编写下面的语句: f=@(t,x)[-8/3*x (1)+x (2)*x(3);-10*x (2)+10*x(3);-x (1)*x (2)+28*x (2)-x(3 )]; t_final=100;x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45(f,[0,t_final],x0); subplot(2,2,1),plot(x(: 2),x(: 1)) xlabel('x_2');ylabel('x_1'); subplot(2,2,2),plot(x(: 2),x(: 3)) xlabel('x_2');ylabel('x_3'); subplot(2,2,3),plot(x(: 3),x(: 1)) xlabel('x_3');ylabel('x_1'); 运行程序,可得下面的图形: (2)修改此题的参数,令5,12,5/3,且初值不变,1010 保持不变,运行上面的程序,可得下面的图形: 修改此题的参数,令12,30,7/3,且初值不变,1010保持 不变,运行上面的程序,可得下面的图形: 可以发现,修改参数和初始值,图形会发生很大变化。 8.药物动力学模型 解答: 题目中没有3,这里我拟将3作为肠道中的初始药物浓度。 (1)根据课件中的“药物分部中的房室模型”,该题为二室模型, 其满足的微分方程组如下: d 1 1 1 dt d 2 1 1 1 2 dt 1 0 3 2 0 0 (2)求解微分方程: 创建D8_yuanzhe.m文件,编写下面的语句: [x,y]=dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=c','y(0)=0') 可以得到下面的结果: x= ((a^2*c)/(exp(a*t)*(a-b))-(a*b*c)/(exp(a*t)*(a-b)))/a y= (a*c)/(exp(b*t)*(a-b))-(a*c)/(exp(a*t)*(a-b)) 最小二乘曲线拟合的方法求解参数: 创建D8_2_yuanzhe.m文件,编写下面的语句: t=[123468101216]; y=[0.71.21.41.41.10.80.60.50.3]; f=@(a,t)(-a (1)*-a(3))/exp(-a (2)*t).*(a (1)-a (2))-(a (1)*a(3))/exp(a (1)*t))*( a (1)-a (2));a=[1;2;3]; [a,b,c]=lsqcurvefit(f,a,t,y) 可以得到下面的结果: a= 0.1830 0.4347 5.9981 b= 0.0356 c= 0.1080 -0.0039 -0.0652 -0.0691 0.0333 0.0741 0.0432 -0.0384 -0.0707 所以: 参数的估计值为: 10.1830,20.4347,35.9981. 加分实验(化学动力学模型) 解答: (1)根据题意建立模型: df1 1 f1 4f1 dt df2 2f2 3f2 1f 1 dt df3 f2 4f1 2 dt (2)创建D9_yuanzhe.m文件,编写下面的语句: [x,y,z]=dsolve('Dx=-a*x-d*x','Dy=a*x-b*y-c*y','Dz=b*y+d*x','x(0)=1','y (0)=0','z(0)=0') 可以得到下面的结果: x= -((a*b*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))-(d^2*(a*b -a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))-(a^2*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))+(a*c*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))-(2*a*d*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))+(b*d*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b -c+d))+(c*d*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d)))/(a*b*exp(a*t+d*t)-d^2*exp(a*t+d*t)-a*d*exp(a*t+d*t)+b*d*exp(a*t+d*t)+c*d*exp(a*t+d*t)) y= -((a*b^2*d^2*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))- (a^2*b^2*c*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))-(a^2*b^3*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))+(a^2*b^2*d*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b -c+d))+(a^2*b*exp(b*t+c*t)*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d))-(a*b^3*d*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))+(a*b*c*d^2*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))-(a*b*c^2*d*exp(a*t +d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))-(2*a*b^2*c*d*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))+(a^2*b*c*d*exp(a*t+d*t))/((b+c)*(a-b-c+d))+(a*b*d*exp(b*t+c*t)*(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2))/((a+d)*(a-b-c+d)))/(a*b^2*exp(a*t+d*t)*exp(b*t+c*t)-b*d^2*exp(a*t+d*t)*exp(b*t+c*t)+b^2*d*exp(a*t+d*t)*exp(b*t+c*t)-a*b*d*exp(a*t+d*t)*exp(b*t+c*t)+b*c*d*exp(a*t+d*t)*exp(b*t+c*t)) z= (a*b+b*d+c*d)/((a+d)*(b+c))+(a*b-a*d+b*d+c*d-d^2)/(exp(a*t+d*t)*(a+d)*(a-b-c+d))-(a*b)/(exp(b*t+c*t)*(b+c)*(a-b-c+d))
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