线性规划问题教学提纲.docx
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线性规划问题教学提纲
线性规划问题
数学模型实验报告
投资规划问题
姓名田璐璐
学号1112123067
专业及班级统计1102
1某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
(1)政府及代办机构的证券至少要购进400万元;
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益(%)
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
问题:
(1)若该经理有1000万元资金,应如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益率增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
一、摘要
本文针对证券投资问题,采用线性规划模型,用Lingo软件求解得到了不同限制条件下的最佳投资方案。
对于问题一,该经理有1000万元资金,进行投资。
即在一定的约束条件下,建立线性规划模型,使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。
可得A证券的投资资金为218.1818万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为736.3636万元,D证券的投资资金为0,E证券的投资资金为45.45455万元,在此情况下,获益最大为29.83636万元。
对于问题二,涉及到借款的问题,收益就会因借款而减小。
同样运用线性规划的方法,对整体求最优解。
在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益率增加为4.5%,投资策略在不改变。
证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为0万元,D证券的投资资金为648万元,E证券的投资资金为16万元。
在此情况下,获益最大为29.424万元
对于问题三,在问题一的基础上,进行灵敏度分析,当变量在一定范围里变动时,不改变投资计划。
用LINGO求解,若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金,他应该改变投资策略,A证券的投资资金为240万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为810万元,D证券的投资资金为0,E证券的投资资金为50万元,在此情况下,获益最大为30.07万元,应借款100万元。
关键词:
线性规划、LINGO、灵敏度分析
二、问题的复述
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,为了实现证券投资的有效组合(降低风险和收益最大化),投资者要有正确的投资决策。
可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
(1)政府及代办机构的证券至少要购进400万元;
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益(%)
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
建立模型:
(1)若该经理有1000万元资金,投资建立模型使收益最大化
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益率增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
三、问题的分析
该问题属于线性规划问题,即在一定约束条件下建立线性规划模型,找到最优的解,使利润最大化。
通过建立模型,使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。
四、问题的假设
(1)假设该经理所购证券都只是简单地一次投资,不进行再投资。
(2)假设题中所涉及的收益率和利率都与年限无关。
(3)假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。
(4)假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。
(5)假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。
五、符号说明
x1投资证券A的金额
x2投资证券B的金额
x3投资证券C的金额
x4投资证券D的金额
x5投资证券E的金额
y以2.75%的利率借到的资金金额
w所有投资的证券总收益
六、建立数学模型及求解
模型一
建立模型:
目标函数:
设所有投资的证券总收益为W万元,
约束条件:
政府及代办机构证券购买量:
平均信用等级:
不超过1.4,即:
平均到期年限:
不超过5年,即:
总资金:
模型求解:
Max
S.t.
用LINGO求解,可得A证券的投资资金为218.1818万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为736.3636万元,D证券的投资资金为0,E证券的投资资金为45.45455万元,在此情况下,获益最大为29.83636万元。
模型二
建立模型:
目标函数:
设所有投资的证券总收益为W万元,
约束条件
政府及代办机构证券购买量:
平均信用等级:
不超过1.4,即:
平均到期年限:
不超过5年,即:
总资金:
模型求解
Max
S.t.
用LINGO求解,若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金,他应该改变投资策略,A证券的投资资金为240万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为810万元,D证券的投资资金为0,E证券的投资资金为50万元,在此情况下,获益最大为30.07万元,应借款100万元。
模型三
建立模型:
根据模型一的灵敏度分析(附录)得,证券A的税前收益増加0.35%,减少1.3%,原投资计划不改变。
而证券A的税前收益率增加为4.5%,只增加了0.2%,所以投资不改变。
证券c的税后收益率增加1.733333%,减少0.056%,原投资计划不改变。
即税前可增加3.4%,可减少0.112%。
若证券C的税前收益减少为4.8%,即减少了0.2%,要改变原投资计划。
目标函数:
设所有投资的证券总收益为W万元,
约束条件:
政府及代办机构证券购买量:
平均信用等级:
不超过1.4,即:
平均到期年限:
不超过5年,即:
总资金:
模型求解
模型求解:
Max
S.t.
在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益率增加为4.5%,投资策略在不改变。
证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元,B证券的投资资金为0,C证券的投资资金为0万元,D证券的投资资金为648万元,E证券的投资资金为16万元。
在此情况下,获益最大为29.424万元
七、模型的评价
优点:
(1)建立的模型可在一定约束条件下,给出最优解。
(2)利用lingo软件进行的灵敏度分析,能给人直观的解。
(3)所建立的数学模型在一定条件下符合实际情况。
缺点:
(1)没有考虑投资年限问题,在实际情况中不太适用。
(2)这里假设是简单投资,没有考虑再投资问题,不符合实际情况。
八、模型的改进
使用数据计算结果,进行分析与检验:
此模型只是简单的线性规划模型,有效地表示出了各个量之间的关系,更以全局最优解为参照,详细地算出了各个约束的影子价格。
没有将更多的变量引入,未能将收益与现实更紧密的联系结合起来,在计算投资金额时,有一定的误差。
此模型因本身局限,并不能以点盖面地显示出其他有效信息,运用不广。
如果该题能给出投资年限对收益率的影响,我们将会找到更适用的投资方案。
九、参考文献
[1] 赵静但琦等《数学建模与数学实验》(第三版)高等教育出版社2007年6月
[2]姜启源等, 《数学模型》(第四版),高等教育出版社,2010年8月
十附录
1、LINGO求解模型一代码:
max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5
st
x1+x2+x3+x4+x5<1000
x2+x3+x4>400
2x1+2x2+x3+x4+5x5<1400
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5<5000
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
29.83636
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
5
VariableValueReducedCost
X1218.18180.000000
X20.0000000.3018182E-01
X3736.36360.000000
X40.0000000.6363636E-03
X545.454550.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
129.836361.000000
20.0000000.9363636E-02
3336.36360.000000
40.0000000.6181818E-02
50.0000000.2363636E-02
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X10.4300000E-010.3500000E-020.1300000E-01
X20.2700000E-010.3018182E-01INFINITY
X30.2500000E-010.1733333E-010.5600000E-03
X40.2200000E-010.6363636E-03INFINITY
X50.4500000E-010.5200000E-010.1400000E-01
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
21000.000266.6667180.4878
3400.0000336.3636INFINITY
41400.0001057.143200.0000
55000.0001000.0001200.000
2、LINGO求解模型二代码
max0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5-0.0275y
st
x2+x3+x4>=400
x1+x2+x3+x4+x5-y<=1000
0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5<=0
4x1+10x2-x3-2x4-3x5<=0
y<100
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
30.07000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
3
VariableValueReducedCost
X1240.00000.000000
X20.0000000.3018182E-01
X3810.00000.000000
X40.0000000.6363636E-03
X550.000000.000000
Y100.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
130.070001.000000
2410.00000.000000
30.0000000.2983636E-01
40.0000000.6181818E-02
50.0000000.2363636E-02
60.0000000.2336364E-02
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X10.4300000E-010.3500000E-020.1070833E-01
X20.2700000E-010.3018182E-01INFINITY
X30.2500000E-010.1733333E-010.5600000E-03
X40.2200000E-010.6363636E-03INFINITY
X50.4500000E-010.5200000E-010.1400000E-01
Y-0.2750000E-01INFINITY0.2336364E-02
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
2400.0000410.0000INFINITY
31000.000INFINITY556.7901
40.01288.571220.0000
50.01100.0001320.000
6100.0000INFINITY100.0000
3、LINGO求解模型三代码:
max0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5
st
x1+x2+x3+x4+x5<1000
x2+x3+x4>400
2x1+2x2+x3+x4+5x5<1400
9x1+15x2+4x3+3x4+2x5<5000
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
29.42400
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCost
X1336.00000.000000
X20.0000000.3064000E-01
X30.0000000.4400000E-03
X4648.00000.000000
X516.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
129.424001.000000
20.0000000.8320000E-02
3248.00000.000000
40.0000000.6360000E-02
50.0000000.2440000E-02
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X10.4300000E-010.1600000E-010.2750000E-02
X20.2700000E-010.3064000E-01INFINITY
X30.2400000E-010.4400000E-03INFINITY
X40.2200000E-010.2033333E-010.5000000E-03
X50.4500000E-010.1100000E-010.2650000E-01
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
21000.000133.3333151.2195
3400.0000248.0000INFINITY
41400.000885.714366.66667
55000.000400.00002100.000
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