数论问题之余数问题余数问题练习题含答案.docx
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数论问题之余数问题余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:
余数问题练习题含答案
1.数111(2007个1),被13除余多少
分析:
根据整除性质知:
13能整除111111,而20076后余3,所以答案为7.
2.求下列各式的余数:
(1)2461135604711
(2)21236
分析:
(1)5;
(2)644319=3392,212=4096,409619余11,所以余数是11.
3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.
分析:
1013-12=1001,1001=71113,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.
4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班
分析:
所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.
5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
6.求下列各式的余数:
(1)2461135604711
(2)21236
分析:
(1)5;
(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4):
2,4,2,4,2,4
因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
分析:
此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这3137=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.2402=238(个),3137=306(个),(238,306)=34(人).
8.(第十三届迎春杯决赛)已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是.
分析:
1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=223717=5128=6821=8417,因此所求的两位数51或68或84.
9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
分析:
127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
第二页:
练习题含答案1120题
第三页:
练习题含答案2128题
11.除以99,余数是______.
分析:
所求余数与19100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.
12.求下列各式的余数:
(1)2461135604711
(2)199920007
分析:
(1)5;
(2)19997的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律,发现4的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由20003余2可以得到42000除以7的余数是2,故199920007的余数是2.
13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
分析:
此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这3137=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.2402=238(个),3137=306(个),(238,306)=34(人).
14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析:
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
分析:
127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
16.除以99的余数是______.
分析:
所求余数与19100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.
17.199419941994(1994个1994)除以15的余数是______.
分析:
法1:
从简单情况入手找规律,发现199415余14,1994199415余4,19941994199415余9,
199419941994199415余14,......,发现余数3个一循环,19943=664...2,199419941994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:
我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么199419941994000能被15整除,19943=664...2,199419941994(1994个1994)除以15的余数是4.
18.abc是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c)(a-b)(b-c)除以11的余数是多少
分析:
(a+b+c)11的余数是7;(ab)11的余数是1l+27=6;(bc)11的余数是11+79=9.所求余数与76911的余数相同,是4.
19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?
分析与解答:
如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.
281012
2456
253
故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.
20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.
分析与解答:
设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.
则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.
21.求123456789101112199200除以9的余数是________;
解答:
一位数个位数字之和是1+2+3+..9=45
二位数数字之和是
110+1+2+3+.9(10-19)
210+1+2+3+.9(20-29)
910+1+2+3+.9(90-99)余90,9余0,11余2
故二位数总和为(1+2..+9)10+1+2..+9=495
100199与199的区别在于百位多了100个1,共100
所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3.
22:
22222除以13所得的余数是_____.
2000个
分析与解答:
因为222222=2111111
=21111001
=211171113
所以222222能被13整除.
又因为2000=6333+2
2222=222200+22
2000个1998
2213=19
所以要求的余数是9.
求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;
解答:
23:
除以9的余数是0,
11:
一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5.2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为52007.
520073(mod11),所以除以11的余数是3
99:
能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36
200720072007能被7,13,37整除.999=27371001=7111391=713
13:
0(mod13)除以13余0
91:
0(mod91)除以91余0
所以除以13,91,999的余数都是0.
1001:
除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.
101:
我们发现9999=10199,所以
=0000+2007=10000+2007
=9999++2007+2007(mod101)
同样道理
+2007+20072(mod101)
以此类推20072007(mod101)=68
24、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何
解答:
此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是23
25、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;
解答:
满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4,69-a=13b.
a最小等于4.满足条件的最小数是381.
设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)
26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;
天之后是星期________;
解答:
只要求出7的余数就可以知道天后是星期几.52007(mod7),561(mod7)
20073(mod6),52007536(mod7)s
所以天之后是星期日
2007的个位数字是7
20072的个位数字是9
20073的个位数字是3
20074的个位数字是1
20075的个位数字是1
27、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;
一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;
解答:
设此三位数为17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.
设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)
这个四位数是1946
28、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;
解答:
如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.
9392-603=1275,939-3932=153
A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51
再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.
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