矢量分析与场论课后答案.docx
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矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论
习题1
1(写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
1
xatybt,,cos,sin,,
2xtytzt,,,3sin,4sin,3cos,,
1解:
,其图形是平面上之椭圆。
ratibtj,,cossinxOy,,
其图形是平面与圆柱面rtitjtk,,,3sin4sin3cos430xy,,2,,
222xz,,3之交线,为一椭圆。
223,,,rtitjtk解:
曲线的矢量方程为3
dr2,i,2tj,2tk则其切向矢量为dt
dr2421|,1,4t,4t,1,2t模为dt
2drdri,2tj,2tk
/H,于是切向单位矢量为2dtdtl,2t
2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4
2ratiatjatk,,,sinsin2cos解:
曲线矢量方程为
dr,,,,,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为dt
d2rt,在处,,,,,aiak,4t,4d2t
22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t,l,y,4t,3,z,2t,6t法平面方程。
22r,(t,l)i,(4t,3)j,(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:
由题意得曲线矢量方程为
dr在的点M处,切向矢量t,2,,,[2ti,4j,(4t,6)k],4i,4j,2kt,2dtt,2
y,oy,ox,5z,4x,5z,4于是切线方程为,,,即,,442221于是法平面方程为,即2(x,5),2(y,5),(z,4),0
2x,2y,z,16,0
238(求曲线上的这样的点,使该点的切线平行于平面。
xyz,,,24rtitjtk,,,
dr2解:
曲线切向矢量为,?
,,,,,23itjtkdt
平面的法矢量为,山题知nijk,,,2
22,,,,,,,niktt,,itjtk2302j,,,143,,,,
得。
将此依次代入?
式,得3
111
丨,;lit,,,,,i,j,k,,,i,j,kt,,39273
111,,,,,,1,11,,,故所求点为,,,,3927,,
习题2
1(说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
11u,;,,AxByCzD,,,
z2,sinuarc,,22,xy
lAxByCzD,,,,0解:
场所在的空间区域是除外的空间。
,,
等值面为
11,C或Ax,By,Cz,D,,0,这是与平(C,0为任意常数)llAx,By,Cz,DC1
面平行的空间。
AxByCzD,,,,0
2222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
,,z〉
222222等值面为,z,(x,y)sinc,(x,y,0)
当时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外);sinOc,
当时,是除原点外的平面。
sinOc,xOy
22xy,Ml,l,2u,2(求数量场经过点的等值面方程。
,,z
Ml,1,2解:
经过点等值面方程为,,
2222xy,,llu,,,1,z2
22即,是除去原点的旋转抛物面。
zxy,,
(已知数量场,求场中与直线相切的等值线方程。
3xy,,,240uxy,
xy,解:
设切点为,等值面方程为,因相切,则斜率为xycxy,,,,0000ylOk,,,,,即x,2y00x20
xy,点在所给直线上,有,,00
xy,,,24000
解之得yx,,1,200
xy,2故
2224(求矢量的矢量线方程。
Axyixyjzyk,,,
解矢量线满足的微分方程为Adr,,0,
dxdydz或,,222xyxyzy
dxdzxdx,ydy,,.有xz
22,x,y,C,1解之得(C,C为任意常数),12z,Cx2,
225.求矢量场通过点的矢量线方程。
(2,1,1)MA,xi,yj,(x,y)zk
dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为22x,yzxy()
dxdyll由,,得,,C122xyxy
()dx,ydzd(x,y)dz,,按等比定理有即解得,.x,y,Cz.222(x,y)zx,yx,yz
11,,,,Cl,lxy故矢量线方程为又求得C,,,C,1M(2,1,1),122,x,y,Cz2,
Ul,,,,xy2.故所求矢量线方程为,
x,y,z,
习题3
23224M2,0,1,1(求数量场在点处沿的方uxzyz,,2,,lxixyjzk,,,23
向导数。
241xixyjzkik,,,,,2343解:
因,其方向余弦为,,MM
43cos,,,cos,,0,cos,八55
u,u,u3222M(2,0,,1)在点处有,2xz,,4,,4yz,0,,3xz,2y,12,,x,y,z
u43,,(,4),0,0,,12,4所以,155
2223M1,1,1,t2(求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,,3,,xtytzt,,,,,,
增大一方的方向导数。
u解:
所求方向导数,等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点
M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为t,1
dydxdz2,,1,,,2t,,2,,3t,3t,It,ldtdtdtMMM
123其方向余弦为cos,,,cos,八,cos,,.
141414,u,u,u2,(6xz,y),7,,,x,,1,,(3x,2z),5又。
MMM,x,y,zMMM
于是所求方向导数为
u,u,u,ul,2324,(cos,cos,cos),7,,(,1),,
5,,,,,lxyz,,,,14141414MM
23M2,1,1,3(求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大,,,uxyz,
u0解:
gradgradcos,,ulu,,,1
,0当时,方向导数最大。
u,u,ugradu,(i,j,k)M,x,y,zM
32322,(2xyzi,xzj,3xyzk),,4i,4j,12k,M
gradu,,4i,4j,12k即函数沿梯度方向的方向导数最大uM
最大值为。
gradu,176,411M
13122u,(x,y)u,0,,1,,24.画出平面场中的等值线,并画出场在与点
M(2,2)1222
处的梯度矢量,看其是否符合下面事实:
M(3,7)2
(1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小;
u
(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向增大的方向。
2222x,y,0,x,y,1,
2222x,y,2,x,y,3,解:
所述等值线的方程为:
其中第一个乂可以写为
22x,y,4,
0xx,y,0,x,y,0为二直线,其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线
(如下图,
图中G,gradu,1M1
)G,gradu,2M2
山于gradu,xi,yj,
故
gradu,2i,2j,Ml
gradu,3i,7j,M2
由图可见,其图形都符合所论之事实。
Pl,2,33(用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
uxyyzzx,
1直接应用方向导数公式;,,
2作为梯度在该方向上的投影。
,,
lr,14.解:
点P的矢径其模其方向余弦为r,i,2j,3k,,,
123又cos,,,cos,,,cos,…
141414,u,u,u,(y,z),5,,(x,z),4,,(x,y),3PPP,x,y,zPPP
uuuu,(cos,cos,cos),lxyzPP所以
123225,,4,,3,,。
14141414
u,u,u2gradu,(i,j,k),5i,4j,3k,,,P,x,y,zP
rl230r,,i,j,k.rl41414
U123220,gradu,r,5,,4,,3,,o故P,114141414P
2226,求数量场在点与点0(0,0,0)A(l,1,l)u,x,2y,3z,xy,3x,2y,6z处梯度的大小和方向余弦。
乂问在哪些点上梯度为0,解:
gradu,(2x,y,3)i,(4y,x,2)j,(6z,6)k,
gradu,3i,2j,6k,gradu,6i,3j,Ok,0A
222222其模依次为:
3,(,2),(,6),7,6,3,0,35
326gradu于是的方向余弦为cos,,,cos,,八cos,,,.0777
21gradu的方向余弦为cos,,,cos,,,cos,,0.A55
2x,y,3,0,,
,求使之点,即求坐标满足之点,由此解得gradu,04y,x,2,0,,
6z,6,0,
故所求之点为x,,2,y,1,z,1(,2,1,1).
27(通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
M(l,,2,3)xy,2xz,4
2解:
所给曲面可视为数量场的一张等值面,因此,场在点uu,xy,2xz
处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即M
2gradu,(2xy,2z)i,xj,2xk,2i,j,2k,MM
x,ly,2z,3,故所求的法线方程为212
习题4
2222r,xi,yj,zkl.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量x,y,
z,a(z,0),
o【提示:
注意S的法矢量n与r同指向】,
解:
23,,r,dS,rdS,rdS,adS,a,2,a,2,a.n,,,,,,,,
SSSS
2222v,(x,y,z)k2.设S为曲面求流速场在单位时间内下x,y,z,a(0,z,h),侧穿S的流量Q。
22Q,(x,y,z)dxdy,,(x,y,x,y)dxdy,解:
其中D为S在xOy面上的,,,,SD
222Q,,(rcos,,rsin,,r)rdrd,投影区域:
用极坐标计算,有x,y,h.,,
32,2h2,hhl2232,,,d(rcos,,rsin,,r)dr,,[(cos,,
sin,),Jd,,,,h.,,,000342
223.设S是锥面z,x,y在平面z,4的下方部分,求矢量场向A,4xzi,yzj,
3zk下穿出S的通量。
,
解:
略
4.求下面矢量场A的散度。
323
(1)A,(x,yz)i,(y,xz)j,(z,xy)k;
(2)A,(2z,3y)i,(3x,z)j,(y,2x)k;
(3)A,(1,ysinx)i,(xcosy,y)j・
22解:
(1)divA,3x,2y,3z
divA,0
(2)
divA,ycosx,xsiny,1(3)
333divA5.求在给定点处的值:
(1)A,xi,yj,zk在点M(l,0,,l)处;
2
(2)A,4xi,2xyj,zk在点M(l,1,3)处;
(3)A,xyzr(r,xi,yj,zk)在点M(l,3,2)处;
222divA,(3x,3y,3z),6解:
⑴MM
divA,(4,2x,2z),8
(2)MM
divA,xyzdivr,grad(xyz),r,3xyz,(yzi,xzj,xyk),(xi,yj,zk)(3)
divA,6xyz,36,6xyz,故。
MM
2326.已知求。
div(uA)u,xyz,A,xi,xzj,2yzk,
解:
divA,2x,2y
23322gradu,yzi,2xyzj,3xyzk
故div(uA),udivA,gradu,A
23233222,xyz(2x,2y),(yzi,2xyzj,3xyzk)(xi,xzj,2yzk)
2232332232433,2xyz,2xyz,xyz,2xyz,6xyz
22323324,3xyz,8xyz,2xyz.
7(求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量:
,
3332222
(1)A,xi,yj,zk,S为球面x,y,z,a;
222xyz
(2)A,(x,y,z)i,(y,z,x)j,(z,x,y)k,S为椭球面,,,1.222abc
222.,A,dS,divAdV,3(x,y,z)dV解:
(1),,,,,,,,
5.,
2222其中为S所用之球域今用极坐标,x,y,z,a
x,rsin,cos,,y,rsin,sin,,z,rcos,计算,有
,a2122245,3rrsindrdd3dsindrdra,0005,
4,3dV,3,,abc,4,abc
(2),,A,dS,divAdV,,,,,,,,3,S,
习题五
F,,yi,zj,xkl:
x,acost,y,asint,1(求一质点在力场的作用下沿闭曲线
t,0到t,2,z,a(l,cost)从运动一周时所做的功。
W,F,dl,,ydx,zdy,xdz解:
功,,11
2,2222八,asint,a(l,cost)cost,acostsintdt,0
2,22,a(l,cost,costsint)dt,2,a,0
2.求矢量场沿下列曲线的环量:
A,,yi,xj,Ck(C为常数)
222
(1)圆周;x,y,R,z,0
222
(2)圆周。
(x,2),y,R,z,0
222解:
(1)令x,Rcos,,则圆周的方程成为x,y,R,z,0
于是环量X,Rcos,,y,Rsin,,z,0
2,2222,,A,dl,,ydx,xdy,Cdz,(Rsin,,Rcos,)d,,2,R.八,Oil
222x,2,Rcos,
(2)令,则圆周的方程成为(x,2),y,R,z,0
于是环量X,Rcos,,2,y,Rsin,,z,0
2,22,,A,dl,,ydx,xdy,Cdz,[Rsin,,(Rcos,,2)Rcos,Jd,,,,Oil
222,(R,2Rcos,)d,,2,R,0
3.用以下两种方法求矢量场A,x(z,y)i,y(x,z)j,z(y,x)k在点M(l,2,3)处沿方
n,i,2j,2k向的环量面密度。
(1)直接应用环量面密度的计算公式;
(2)作为旋度在该方向上的投影。
nl221220cos,,,cos,,,cos,,.n,,i,j,k,解:
(1)故n的方向余弦为333n333
P,x(z,y),Q,y(x,z),R,z(y,x)又根据公式,环量面密度,,[(R,Q)cos,,
(P,R)cos,,(Q,P)cos,]nyzzxxyMM
12258619,[(,),(,),(,)],,,,zyxzxyM3333333
rotA,[(z,y)i,(x,z)j,(x,y)k],5i,4j,3k,
(2)于是MM
1220,,rotA,n,(5i,4j,3k),(i,j,k)nMM333
58619,,,,3333
4(用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
232
(1)A,(3xy,z)i,(y,xz)j,2xyzk;
222
(2)A,yzi,zxj,xyk;
(3)A,P(x)i,Q(y)j,R(z)k.
2,,xyx6312,,22divA,6xy,3y,2xy,(8x,3y)y,解:
(1)故有DA,,zy,xz32,,,
,yzxzxy222,,
224xzi,(1,2yz)j,(z,3x)k.rotA,
2,,zyz02
,2divA,
(2)故有0,0,0,0,DA,xzx20,,,
2、,yxy20,,
x(2y,x)i,y(2z,y)j,z(2x,z)k.rotA,
',,Px()00
,''''divA,(3)故有DA,QyO()0,P(x),Q(y),R(z).,,
',,Rz00(),,
rotA,0o
xyz222rotuA・5・已知求u,e,A,zi,xj,yk,rotuA,urotA,gradu,A解:
002z,,xyz,,rotA,2yi,2zj,2xk,urotA,e(2yi,2zj,2xk),有DA,2x00,,,,,02y0,,
xyzgradu,Agradu,e(yzi,xzj,xyk),
ijk
xyzxyz232323,eyzxzxy,e[(xyz,xy)i,(xyz,yz)j,(xyz,xz)k],
222zxy
xyz232323rotuA,e[(2y,xyz,xy)i,(2z,xyz,yz)j,(2x,xyz,xz)k]
习题六1.证明下列矢量场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。
(1)A,ycosxyi,xcosxyj,sinzk;
22
(2)A,(2xcosy,ysinx)i,(2ycosx,xsiny)j.解:
(1)记
P,ycosxy,Q,xcosxy,R,sinz・
ijk
,,贝ijrotA,,Oi,0j,[(cosxy,xysinxy),(cosxy,xysinxy)Jk,0,x,y,z
PQR
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数:
v
xyzOv,,P(x,0,0)dx,Q(x,y,0)dy,R(x,y,z)dz,Cl公式法:
1,八000
xyz,,Odx,xcosxydy,sinzdz,C1,,,000
0,sinxy,cosz,1,C,cosz,sinxy,C・1
02A,,gradv不定积分法:
因势函数满足,即有v
v,,ycosxy,v,,xcosxy,v,,sinz,xyz
V,,sinxy,,(y,z),x将第—个方程对积分,得
'v,,xcosxy,,(y,z)对求导,得,与第二个方程比较,知yyy
',(y>z),,(z),v,,sinxy,,(z).于是从而,(y,z),0,y
'',(z),cosz,C.V,,(z),z再对求导,得与第三个方程比较,知,
故,(z),,sinzz
v,cosz,sinxy,C・所以
22
(2)记P,2xcosy,ysinx,Q,2ycosx,xsiny,R,0.
则
ijk
,,rotA,,Oi,Oj,[(,2ysinx,2xsiny),(,2xsiny,2ysinx)Jk,0,x,y,z
PQR
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数:
v
xyzO公式法:
v,,P(x,0,0)dx,Q(x,y,0)dy,R(x,y,z)dz,Cl,,,000
xyz2,,2xdx,(2ycosx,xsiny)dy,Odz,C,,,000
222222,,x,ycosx,xcosy,x,C,,ycosx,xcosy,C・
0不定积分法:
因势函数满足,即有2A,,gradvv
22v,,2xcosy,ysinx,v,,2ycosx,xsiny,v,0,xyz
22将第一个方程对积分,得xv,,xcosy,ycosx,,(y,z),
2'v,xsiny,2ycosx,,(y,z)对求导,得,与第二个方程比较,知yyy
'22于是从而,(y,z),,(z),,(y,z),0,v,,xcosy,ycos,,(z).y
八再对求导,得与第三个方程比较,知,故,(z),C.v,,(z),z,(z),0z
22所以v,,xcosy,ycosx,C.
2.下列矢量场A是否保守场,若是,计算曲线积分:
Adl,l
2221A(4,0,1),
(1),的起点为终点为A,(6xy,z)i,(3x,z)j,
(3xz,y)kB(2,1,,1);
2221A(3,0,1),B(5,,1,3).
(2),的起点为终点为A,2xzi,2yzj,(x,2yz,l)k
2.,yxz663
,解:
(1)DA,x,有601,,,
2.,z,xz316,,
22rotA,[(,1),(,l)]i,(3z,3z)j,(6x,6x)k,0,故为保守场。
因此,存在
AA,dl的原函数u。
按公式
xyzu,P(x,0,0)dx,Q(x,y,0)dy,R(x,y,z)dz,,,000
xyz2223于是,Odx,3xdy,(3xz,y)dz,3xy,xz,yz,,,,000
B(2,1,,1)23oAdi,(3xy,xz,yz),7,A(4,0,1)1
zx202,,
,2rotA,(4yz,4yz)i,(2x,2x)j,Ok,0,
(2)有故为保DA,zyzA024,,,
2,,xyzy242,,
A,dl的原函数u守场。
因此,存在。
按公式
xyzu,,P(x,0,0)dx,Q(x,y,0)dy,R(x,y,z)dz,,,000
xyz22222,Odx,Ody,(x,2yz,1)dz,xz,yz,z,于是,,,000
B(5,,1,3)222Adl,(xz,yz,z),73.。
A(3,0,1)1
3.求下列全微分的原函数:
u
222
(1)du,(x,2yz)dx,(y,2xz)dy,(z,2xy)dz;
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