高一数学必修一A.docx
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高一数学必修一A
集合
一、知识复习
1.集合的概念:
(1)含义:
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
(2)性质:
i.确定性:
给定的集合,它的元素必须是确定的。
也就是说,给定一个集合,那么任何
一个元素在不在这个集合就确定了,要么在,要么不在。
比如,"大于3小于10的偶数"构
成一个集合,4、6、8在这个集合中,其他的元素都不在。
"我国的小河流"不能构成集合,
因为小河流没有明确的标准。
ii.互异性:
一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现。
(以后如果两个集合有公共元素,那么它们并起来,公共元素只能出现一次。
)
iii.无序性:
集合中的元素没有顺序的区别,只有构成两个集合的元素是一样的,我们就
称这两个集合是相等的。
2.集合的表示:
(1)字母表示法:
一般用一个大写拉丁字母表示集合,如A,B,C等,元素一般用小写拉丁
字母表示,如a,b,c等。
(2)列举法:
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫
列举法。
如{1,2,3}
(3)描述法:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。
具体方法是:
在花
括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这
个集合中元素所具有的共同特征。
比如:
A={x∈N|x<8},竖线左边表示一般元素是x,x要是
自然数,竖线右边表示A中的元素(x)都要小于8。
即A={0,1,2,3,4,5,6,7},又比如B={x∈R|x<8}
表示小于8的所有实数,有时候有写成B={x|x<8},即不写x的范围表示x属于实数。
3.元素与集合的关系:
如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a∈A,如果a不是集合A中的
元素,就说a不属于集合A,记作 a
A.
4.常用数集:
自然数集N、正整数集N+、有理数集Q、实数集R.(如还不清楚请看课本,注意N是从0开始的,即0∈N)
5.子集:
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集。
记作:
A
B(或B
A),读作A含于B(或B包含A).
6.集合相等:
如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时,集合A与集合
B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B
7.真子集:
如果集合A
B,但存在元素x∈B,且x
A,我们称集合A是集合B的真子集。
记作:
A
B(或B
A).
8.子集与真子集的关系:
A的子集包括A的真子集和A。
如果一个集合有n个元素,则它的子集个数
是2n个,它的真子集个数是2n-1个
9.空集:
不含任何元素的集合叫空集,记作
.并规定:
空集是任何集合的子集,是任何非空
集合的真子集。
10.并集:
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集。
记作A∪B(读作
A并B),即
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
11.交集:
由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集。
记作A∩B
(读作A交B),即
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
12.补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有的元素组成的集合称为A的补集,记
作CuA,即
CuA={x|x∈U,且x
A}
二、学法指导:
1.符号∈与
有什么区别?
符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于
右边的集合,如1∈N,a∈{a,b};符号
只能适用于集合与集合之间,说明左边的集合是右边的
集合的子集,左边集合的元素都属于右边的集合,如{1,2}
{1,2,3}。
2.怎样对给定的集合进行交并补运算?
(1).对抽象的集合和有限集合一般用Venn图表示,如设全集U={1,2,3,4,5},A∩(CUB)={1,2},
B∩(CUA)={3},A∩B={4,5},求A,B分析:
画出Venn图如下:
由图很容易得出:
A={1,2,4,5},B={3,4,5}
(2).对实数集合之间的运算一般画数轴,画好数轴后求交集是取两个集合的公共部分,求并集可先
把A的部分都画上,再把B的部分也画上,则总的就是A与B的并,如A={x|-1 画出数轴如下: ∴A∩B={x|-1 函数及其表示 一、知识复习 1.函数的定义: 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的的数f(x)和它对应,那么就称 f: A-->B为从集合A到集合B的一个函数,记作: y=f(x),x∈A 其中,x是自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值对应的y值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集。 2.区间: 设a,b是两个实数,而且a (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为: [a,b] (2)满足不等式a (a,b) (3)满足不等式a≤x 分别表示为: [a,b),(a,b]. (4)实数R=(-∞,+∞),其中+∞表示比任意给定的数都大,-∞表示比任意给定的数都小。 因并不存在-∞,+∞,所以-∞,+∞不能用闭区间。 满足x≥a的实数可表示为[a,+∞)。 注意: a 3.函数的表示方法: (1).解析法: 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如f(x)=2x-3 (2).图象法: 用图象表示两个变量之间的对应关系 (3).列表法: 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 4.分段函数: 指在定义域的不同部分,有不同的解析式。 注意: 分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。 分段函数画图一般分段画,求分段函数的函数值要先搞清自变量在那一段,再代那一段的表达式。 5.映射: (1).定义: 设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的的元素y和它对应,那么就称 f: A-->B为从集合A到集合B的一个映射。 (2).映射和函数的关系: 函数是特殊的映射,即当两个集合A,B都为非空的数集时,从A到B的 映射就是函数,所以函数一定是映射,映射不一定是函数。 二、学法指导: 1.函数的三要素: 定义域、对应法则、值域;有时给出的函数没有明确说明定义域,这时,定义域就是 字变量有意义的x的集合;如果函数涉及实际问题,它的定义域还需使实际问题有意义或另有其它限制。 2.符号f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数的符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m) 既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m是常数时,f(m)表示自变量x=m 对应的函数值,是一个常量。 3.基本初等函数的定义域与值域: (1).一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R,值域是R (2).反比例函数f(x)=k/x(k≠0)的定义域是{x|x≠0},值域是{x|x≠0} (3).二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R; 当a>0时,值域是{y|y≥(4ac-b2)/4a};当a<0时,值域是{y|y≤(4ac-b2)/4a} 4.如何判断两个函数是同一函数: 当且仅当两个函数的三要素完全相同时,它们才是同一函数,只要有一个要素不同就不是同一函数; 又函数的值域是有定义域和对应法则确定的,则只需看定义域与对应法则是否相同即可。 注意: 用什么字母表示没有关系。 比如: f(x)=2x+3与g(t)=2t+3是同一函数。 方法: 先求定义域,如不一样,则不是同一函数;若定义域一样,则化简函数的表达式,如果化简 后的表达式一样,则它们是同一函数。 5.描点法画函数图象的步骤: (1).求函数的定义域; (2).列表;(关键点一定要列上,比如端点、转折点) (3).描点; (4).连线。 函数的基本性质 一、知识复习: 1.增减函数定义: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2, 当x1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个子变量的值x1,x2,当x1 都有f(x1)>f(x2),那么我们就说函数f(x)在区间D上是减函数. 2.最值定义: 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1).对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2).存在x0∈I,使得f(x0)=M. 那么我们就说M是函数y=f(x)的最大值, 同理,把 (1)中的f(x)≤M改为f(x)≥M,则M为f(x)的最小值。 3.奇偶函数的定义: 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数; 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数。 二、学法指导: 1、基本初等函数的单调性: (1).正比例函数y=kx(k≠0)当k>0时是R上的增函数,当当k<0时是R上的减函数 (2).反比例函数y=k/x(k≠0) 当k>0时,函数的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),不存在递增区间。 (注意: 不能说在定义域内或在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,它是分别在(-∞,0)和(0,+∞) 上减函数,并在一起不是,如是的话,则f(-1)>f (1),即-k>k.显然不对。 ) 当k<0时,函数的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),不存在递减区间。 (3).一次函数y=kx+b(k≠0) 当k>0时,函数y=kx+b在R上是增函数,当k<0时,函数y=kx+b在R上是减函数。 (4).二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时,递减区间为(-∞,-b/(2a)],递增区间为[-b/(2a),+∞); 当a<0时,递增区间为(-∞,-b/(2a)],递减区间为[-b/(2a),+∞)。 2.复合函数y=f[g(x)]的单调性: 当f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f[g(x)]是增函数。 当f(x)和g(x)的单调性相反时,复合函数y=f[g(x)]是减函数。 3.对于函数f(x)±g(x)的单调性可总结为: 增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减。 4.用定义法证明函数的单调性的步骤: (1).设x1,x2属于要证的区间,且x1 (2).比较f(x1)与f(x2)的大小,通常用作差法比较,此时比较它们大小的方法是作差、变形、看符号; (3).下结论。 5.判断函数奇偶性的方法: (1)定义法: 其步骤为: 先求函数的定义域,看是不是关于原点对称,如不是则不是奇偶函数, 如是再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等,若f(-x)=f(x)则是偶函数,若f(-x)=-f(x)则是奇函数。 (2)图象法: 如果函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数,如果函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数是偶函数。 如果函数的图象关于原点和y轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数。 注意: 分段函数的奇偶性要分段判断。 6.单调性与奇偶性: (1)区别: 函数的奇偶性是整个定义域上的性质,是“整体性质”,不能说在一个区间上是奇函数,在另 一个区间上是偶函数,而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质,是“局部”性质,可以在一个 区间上是增函数,在另一个区间上是减函数。 (2)综合: 如果函数y=f(x)是奇函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性; 如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性; 集合与函数概念章复习 一、知识复习 1.集合元素的特性: 确定性、互异性、无序性 2.集合的表示法: 列举法、描述法、Venn图 3.集合的运算: 交、并、补 4.集合的关系: 子集、真子集、空集 5.函数的定义、三要素及函数的表示方法 6.函数的性质: 单调性、奇偶性、最值 二、学法指导 1.在集合运算时,必须主要集合中的元素所具有的特性,正确理解和使用符号语言,尽量 数形结合。 2.求函数的定义域时需注意: (1)分母不能为0 (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)实际问题要考虑实际意义。 3.求函数值域的常用方法: (1)观察法; (2)配方法(如二次函数);(3)判别式法; (4)换元法;(5)利用函数的单调性。 指数函数 一、知识复习 (3)有理指数幂的运算性质: (a>0,b>0,r,s∈Q) aras=ar+s;(ar)s=ars; (ab)r=arbr 2.指数函数: (1)定义: 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量, (2)性质: 函数的定义域的R,值域为(0,+∞),图象恒过点(0,1); 当0 当a>1时,y=ax在R上是增函数。 (3)图象: 01 二、学法指导: 1.利用分数指数幂进行根式的运算: 先把根式化为分数指数幂,再根据分数指数幂 的运算性质进行计算,最后用根式表示。 2.指数函数性质口诀: 指数增减要看清,抓住底数不放松, 反正底数大于0,不等于1已表明, 底数若是大于1,图象从下往上增, 底数0到1之间,图象从上往下减, 无论增和减, 图象都过(0,1)点。 3.指数幂ax和1的比较: 当x<0,00,a>1时,ax>1, 当x<0,a>1或x>0,0 4.比较指数式的大小: 当底数相同时,利用指数函数的单调性比较大小, 当底数不同时,借助中间量比较,如0,1。 5.与指数有关的复合函数问题以及指数方程常用换元法,注意换元时要关注中间量的 取值范围。 对数函数与幂函数 (2)图象和性质
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