学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程212解一元二次方程2125解一元二次方程.docx
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学年度九年级数学上册第二十一章一元二次方程212解一元二次方程2125解一元二次方程
21.2.5解一元二次方程-换元法
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________
一.选择题(共15小题)
1.已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1,x2=﹣4,则方程(2x+3)2+3(2x+3)﹣4=0的解是( )
A.x1=﹣1,x2=﹣3.5B.x1=1,x2=﹣3.5
C.x1=1,x2=3.5D.x1=﹣1,x2=3.5
2.已知实数a、b满足(a2﹣b2)2﹣2(a2﹣b2)=8,则a2﹣b2的值为( )
A.﹣2B.4C.4或﹣2D.﹣4或2
3.已知x、y都是实数,且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3=0,那么x2+y2的值是( )
A.﹣3B.1C.﹣3或1D.﹣1或3
4.已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,则另一个方程(x+3)2+2(x+3)﹣3=0的解是( )
A.x1=﹣1,x2=3B.x1=1,x2=﹣3C.x1=2,x2=6D.x1=﹣2,x2=﹣6
5.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为( )
A.1B.﹣4C.1或﹣4D.﹣1或3
6.已知x是实数且满足(x2+3x)2+2(x2+3x)﹣3=0,那么x2+3x的值为( )
A.3B.﹣3或1C.1D.﹣1或3
7.若实数x、y满足(x2+y2+2)(x2+y2﹣2)=0,则x2+y2的值为( )
A.1B.2C.2或﹣1D.2或﹣2
8.若实数x、y满足(x+y﹣3)(x+y)+2=0,则x+y的值为( )
A.﹣1或﹣2B.﹣1或2C.1或﹣2D.1或2
9.已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2,x2=﹣3,则方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的解是( )
A.x1=1,x2=﹣4B.x1=﹣1,x2=﹣4C.x1=﹣1,x2=4D.x1=1,x2=4
10.设(x2+y2)(x2+y2+2)﹣15=0,则x2+y2的值为( )
A.﹣5或3B.﹣3或5C.3D.5
11.(m2+n2)(m2+n2﹣2)﹣8=0,则m2+n2=( )
A.4B.2C.4或﹣2D.4或2
12.用“整体法”求得方程(2x+5)2﹣4(2x+5)+3=0的解为( )
A.x1=1,x2=3B.x1=﹣2,x2=3C.x1=﹣3,x2=﹣1D.x1=﹣2,x2=﹣1
13.若实数x满足方程(x2+2x)•(x2+2x﹣2)﹣8=0,那么x2+2x的值为( )
A.﹣2或4B.4C.﹣2D.2或﹣4
14.已知x为实数,且满足(x2+x+1)2+2(x2+x+1)﹣3=0,那么x2+x+1的值为( )
A.1B.﹣3C.﹣3或1D.﹣1或3
15.若(x2+y2﹣2)2=9,则x2+y2的值为( )
A.1B.﹣1C.5D.5或﹣1
二.填空题(共5小题)
16.若实数a,b满足(2a+2b)(2a+2b﹣2)﹣8=0,则a+b= .
17.设x,y是一个直角三角形两条直角边的长,且(x2+y2)(x2+y2﹣1)=20,则这个直角三角形的斜边长为 .
18.已知(x2+y2)(x2+y2﹣1)=12,则x2+y2的值是 .
19.若(x2+y2+3)2﹣6(x2+y2+3)+8=0,则x2+y2﹣5= .
20.如果(m+n)(m+n+5)=6,则m+n= .
三.解答题(共4小题)
21.阅读下面的材料,回答问题:
解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1,∴x=±1;
当y=4时,x2=4,∴x=±2;
∴原方程有四个根:
x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到 的目的,体现了数学的转化思想.
(2)解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0.
22.(3x﹣2)2﹣5(3x﹣2)+4=0.
23.已知实数x,y满足(x2+y2)(x2+y2﹣12)=45,求x2+y2的值.
24.阅读下面的材料,解答后面的问题
材料:
“解方程x4﹣3x2+2=0”
解:
设x2=y,原方程变为y2﹣3y+2=0,(y﹣1)(y﹣2)=0,得y=1或y=2
当y=1时,即x2=1,解得x=±1;
当y=2时,即x2=2,解得x=±
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=﹣1,x3=
.x4=﹣
问题:
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是
A.加减消元法B.代入消元法C.换元法D.待定系数法
(2)采用类似的方法解方程:
(x2﹣2x)2﹣x2+2x﹣6=0.
2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习:
21.2.5解一元二次方程-换元法
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.
解:
把方程(2x+3)2+2(2x+3)﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程,
所以2x+3=1或2x+3=﹣4,
所以x1=﹣1,x2=﹣3.5.
故选:
A.
2.
解:
设y=a2﹣b2,原式化为y2﹣2y﹣8=0,即(y﹣4)(y+2)=0,
可得y﹣4=0或y+2=0,
解得:
y1=4,y2=﹣2,
∴a2﹣b2=4或﹣2.
故选:
C.
3.
解:
(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3=0,
(x2+y2)2+2(x2+y2)﹣3=0,
(x2+y2+3)(x2+y2﹣1)=0,
x2+y2﹣1=0,
x2+y2=1,
故选:
B.
4.
解:
∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1,x2=﹣3,
∴方程(x+3)2+2(x+3)﹣3=0中x+3=1或﹣3,
解得:
x=﹣2或﹣6,
即x1=﹣2,x2=﹣6,
故选:
D.
5.
解:
设x+2y=a,则原方程变形为a2+3a﹣4=0,解得a=﹣4或a=1.故选C.
6.
解:
由y=x2+3x,
则(x2+3x)2+2(x2+3x)﹣3=0,可化为:
y2+2y﹣3=0,
分解因式,得,(y+3)(y﹣1)=0,
解得,y1=﹣3,y2=1,
当x2+3x=﹣3时,经△=32﹣3×4=﹣3<0检验,可知x不是实数
当x2+3x=1时,经检验,符合题意.
故选:
C.
7.
解:
设t=x2+y2,则t≥0,
原方程变形为(t+2)(t﹣2)=0,
解得:
t=2或t=﹣2(舍去).
故选:
B.
8.
解:
t=x+y,则由原方程,得
t(t﹣3)+2=0,
整理,得
(t﹣1)(t﹣2)=0.
解得t=1或t=2,
所以x+y的值为1或2.
故选:
D.
9.
解:
设t=x+1,则方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0化为at2+at+c=0,
因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2,x2=﹣3,
所以t1=2,t2=﹣3,
当t=2时,x+1=2,解得x=1;
当t=﹣3时,x+1=﹣3,解得x=﹣4,
所以方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的解是x1=1,x2=﹣4.
故选:
A.
10.
解:
设t=x2+y2,则原方程可化为t2+2t﹣15=0,
∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5,
又∵t≥0,
∴x2+y2=3.
故选:
C.
11.
解:
设m2+n2=t(t≥0),由原方程,得t(t﹣2)﹣8=0,
整理,得(t﹣4)(t+2)=0,
解得t=4或t=﹣2(舍去),
所以m2+n2=4.
故选:
A.
12.
解:
(2x+5)2﹣4(2x+5)+3=0,
设2x+5=y,
则原方程变形为y2﹣4y+3=0,
解得:
y1=1,y2=3,
当y=1时,2x+5=1,
解得:
x=﹣2,
当y=3时,2x+5=3,
解得:
x=﹣1,
即原方程的解为x1=﹣2,x2=﹣1,
故选:
D.
13.
解:
设x2+2x=y,则原方程化为y(y﹣2)﹣8=0,
解得:
y=4或﹣2,
当y=4时,x2+2x=4,此时方程有解,
当y=﹣2时,x2+2x=﹣2,此时方程无解,舍去,
所以x2+2x=4.
故选:
B.
14.
解:
设y=x2+x+1=y,
则(x2+x+1)2+2(x2+x+1)﹣3=0,可化为:
y2+2y﹣3=0,
分解因式得:
(y+3)(y﹣1)=0,
解得:
y1=﹣3,y2=1,
当x2+x+1=﹣3时,经△=12﹣4×1×4<0检验,可知x不是实数,
当x2+x+1=1时,经检验,符合题意.
故选:
A.
15.
解:
设t=x2+y2(t≥0),
由原方程得:
(t﹣2)2=9,
解得t﹣2=±3,
解得t=5或t=﹣1(舍去).
故选:
C.
二.填空题(共5小题)
16.
解:
设a+b=x,则由原方程,得
2x(2x﹣2)﹣8=0,
整理,得4x2﹣4x﹣8=0,即x2﹣x﹣2=0,
分解得:
(x+1)(x﹣2)=0,
解得:
x1=﹣1,x2=2.
则a+b的值是﹣1或2.
故答案是:
﹣1或2.
17.
解:
设x2+y2=t,则原方程可化为:
t(t﹣1)=20,
∴t2﹣t﹣20=0,
即(t+4)(t﹣5)=0,
∴t1=5,t2=﹣4(舍去),
∴x2+y2=5,
∴这个直角三角形的斜边长为
,
故答案为:
.
18.
解:
(x2+y2)(x2+y2﹣1)=12,
(x2+y2)2﹣(x2+y2)﹣12=0,
(x2+y2+3)(x2+y2﹣4)=0,
x2+y2+3=0,x2+y2﹣4=0,
x2+y2=﹣3,x2+y2=4,
∵不论x、y为何值,x2+y2不能为负数,
∴x2+y2=4,
故答案为:
4.
19.
解:
设x2+y2+3=t
∵(x2+y2+3)2﹣6(x2+y2+3)+8=0,
∴t2﹣6t+8=0
∴t=2或t=4
当t=2时,
x2+y2+3=2
∴x2+y2=﹣1
故t=2舍去
当t=4时,
x2+y2+3=4
∴x2+y2=1
∴原式=1﹣5=﹣4
故答案为:
﹣4
20.
解:
设m+n为x则(m+n)(m+n+5)=6变形为x(x+5)=6
移项去括号得x2+5x﹣6=0
因式分解得(x+6)(x﹣1)=0
解得x=1或﹣6
即m+n=1或﹣6.
三.解答题(共4小题)
21.
解:
(1)换元,降次
(2)设x2+x=y,原方程可化为y2﹣4y﹣12=0,
解得y1=6,y2=﹣2.
由x2+x=6,得x1=﹣3,x2=2.
由x2+x=﹣2,得方程x2+x+2=0,
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7<0,此时方程无实根.
所以原方程的解为x1=﹣3,x2=2.
22.
解:
设(3x﹣2)=y,原方程等价于
y2﹣5y+4=0
因式分解,得
(y﹣4)(y﹣1)=0,
于是,得
y﹣4=0或y﹣1=0,
解得y=4或y=1,
3x﹣2=4,3x﹣2=1,
解得x1=2,x2=1.
23.
解:
设x2+y2=a,则a(a﹣12)=45,
a2﹣12a﹣45=0,
(a﹣15)(a+3)=0,
a1=15,a2=﹣3,
∵x2+y2=a≥0,
∴x2+y2=15.
24.
解:
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是换元法.
故答案是:
C;
(2)设x2﹣2x=y,原方程化为y2﹣y﹣6=0,
整理,得
(y﹣3)(y+2)=0,
得y=3或y=﹣2
当y=3时,即x2﹣2x=3,解得x=﹣1或x=3;
当y=﹣2时,即x2﹣2x=2,解得x=1±
综上所述,原方程的解为x1=﹣1,x2=3,x3=1+
.x4=1﹣
.
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- 学年度 九年级 数学 上册 第二十一 一元 二次方程 212 2125
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