小学五年级奥数第29讲 行程问题二含答案分析.docx
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小学五年级奥数第29讲行程问题二含答案分析
第29讲行程问题
(二)
一、专题简析:
1、追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同,后者追上前者的问题。
追及问题的基本数量关系是:
速度差×追及时间=追及路程
2、解答追及问题,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。
抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。
二、精讲精练
例1中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米。
两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴在前。
几小时后小轿车追上中巴车?
练习一
(1)一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车,卡车行驶的速度是每小时65千米。
摩托车多长时间能够追上?
(2)兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分钟跑120米;哥哥在后,每分钟跑140米。
几分钟后哥哥追上弟弟?
例2一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米。
开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车故障修车2小时。
因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。
汽车是在离甲地多远处修车的?
练习二
(1)小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分钟200米的速度上班,正好准时到工厂。
有一天,他出发几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米。
小王是在离工厂多远处遇到熟人的?
(2)一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。
这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。
为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米?
例3甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。
走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进。
甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。
甲骑车多少分钟才能追上乙?
练习三
(1)兄弟二人同时从家出发去学校,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走60米。
出发10分钟钟后,哥哥返回家中取文具,然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟。
哥哥骑车几分钟追上弟弟?
(2)快车每小时行60千米,慢车每小时行40千米,两车同时从甲地开往乙地。
出发0.5小时后,快车因故停下修车1.5小时。
修好车后,快车仍用原速前进,经过几小时才能追上慢车?
例4甲骑车、乙跑步,二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。
出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙。
已知二人的速度和是每分钟700米,求甲、乙二人的速度各是多少?
练习四
(1)爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。
爸爸每分钟跑150米,小明每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问:
至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明?
(2)在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?
例5甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。
甲在公路上A处,乙、丙在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。
甲和乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。
求A、B之间的距离。
练习五
(1)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲、乙二人在B地,丙在A地与甲、乙二人同时相向而行,丙和乙相遇后,又过2分钟和甲相遇。
求A、B两地的路程。
(2)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲、乙二人从B地同时同向出发,丙从A地同时同向去追甲和乙。
丙追上甲后又经过10分钟才追上乙。
求A、B两地的路程。
三、课后作业
(1)甲骑自行车从A地到B地,每小时行16千米。
1小时后,乙也骑自行车从A地到B地,每小时行20千米,结果两人同时到达B地。
A、B两地相距多少千米?
(2)汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到达乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发。
为了能在原来时间内到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地?
(3)甲、乙二人加工同样多的零件,甲每小时加工20个,乙每小时加工15个。
一天,乙比甲早工作2小时,到下午二人同时完成了加工任务。
他俩一共加工了多少个零件?
(4)环湖一周共400米,甲、乙二人同时从同一地点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。
若二人同时从同一地点反向而行,只要2分钟二人就相遇。
求甲、乙的速度。
(5)A、B两地相距1800米,甲、乙二人从A地出发,丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行。
已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米,当乙和丙相遇时,甲落后于乙多少米?
第29周行程问题
(二)
专题简析:
本周的主要问题是“追及问题”。
追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同,后者追上前者的问题。
追及问题的基本数量关系是:
速度差×追及时间=追及路程
解答追及问题,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。
抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。
例1中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米。
两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴在前。
几小时后小轿车追上中巴车?
分析原来小轿车落后于中巴车60千米,但由于小轿车的速度比中巴车快,每小时比中巴车多行84-60=24千米,也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。
60÷24=2.5小时,所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。
练习一
(1)一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车,卡车行驶的速度是每小时65千米。
摩托车多长时间能够追上?
答案
解:
设x小时后可追上卡车,根据题意列方程得,
;
答:
摩托车2小时后可追上.
解析
设经过x小时摩托车可追上卡车,利用摩托车行驶的路程与货车行驶的路程相等列方程解答即可.
(2)兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分钟跑120米;哥哥在后,每分钟跑140米。
几分钟后哥哥追上弟弟?
解:
=5(分钟);
答:
5分钟后哥哥追上弟弟.
解析:
由于跑道长100米,兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,所以他们出发时相距100米,当哥哥追上弟弟时,哥哥正好比弟弟多跑100米,由于每分钟哥哥比弟弟多跑
米,所以哥哥追上弟弟需要的时间为:
分钟.
明确当哥哥追上弟弟时,追及距离为100米,再根据追及距离
速度差=追及时间即能求出需要时间.
(3)甲骑自行车从A地到B地,每小时行16千米。
1小时后,乙也骑自行车从A地到B地,每小时行20千米,结果两人同时到达B地。
A、B两地相距多少千米?
解:
(小时),
(千米),
答:
A、B两地相距80千米.
解析
根据题意可知乙的速度快,又知甲先行1小时,乙再与甲同时行,结果同时到达,说明乙比甲多行甲先行1小时的路程,即16×1=16千米,求出它们的速度差,就可根据追及的路程差÷速度差=追及的时间,再根据速度×时间=路程,即可求出.
例2一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米。
开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车故障修车2小时。
因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。
汽车是在离甲地多远处修车的?
分析途中修车用了2小时,汽车就少行45×2=90千米;修车后,为了按时到达乙地,每小时必须多行30千米。
90千米里面包含有3个30千米,也就是说,再行3小时就能把修车少行的90千米行完。
因此,修车后再行(45+30)×3=225千米就能到达乙地,汽车是在离甲地360-225=135千米处修车的。
练习二
(1)小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分钟200米的速度上班,正好准时到工厂。
有一天,他出发几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米。
小王是在离工厂多远处遇到熟人的?
解:
3000÷200=15(分钟)
200×2=400(米)
400÷100=4(分钟)
(200+100)×4=1200(米)
另解:
设离工厂X米远遇到熟人,正常的话小王准时到工厂是3000/200=15分钟当天遇熟人前是以每分钟200米的速度行驶;遇到熟人停车两分钟;之后以每分钟200+100=300米的速度行驶,准时到达工厂,所以有[(3000-X)/200]+2+(X/300)=15,X=1200
(2)一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。
这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。
为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米?
15分钟=小时
×36=9(千米)
9÷7.2=1.25(小时)
1.25×(36+7.2)=54(千米)
答:
加油站离乙地54千米。
(3)汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到达乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发。
为了能在原来时间内到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地?
解:
30×6÷(6-2)=45(千米).
本题的关键是要把汽车前两个小时的路程看成0.解析;汽车前两个小时等于没有走,从甲地到乙地的实际时间是6-2=4(小时),用路程除以时间即可求出速度.
例3甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。
走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进。
甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。
甲骑车多少分钟才能追上乙?
分析当甲取了东西改骑自行车出发时,乙已行15+15+5=35分钟,行了60×35=2100米。
甲骑车每分钟比乙步行多行(360-60)米,用2100米除以(360-60)米就得到甲骑车追上乙的时间。
练习三
(1)兄弟二人同时从家出发去学校,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走60米。
出发10分钟钟后,哥哥返回家中取文具,然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟。
哥哥骑车几分钟追上弟弟?
解:
弟弟10分钟所走的路程是 10×60=600千米,设哥哥骑车x分钟追上弟弟.则弟弟一共所走的路程;600+60×10+60x,哥哥要追的路程为310x,由此列出方程:
310x=;600+60×10+60x
250x=1200
x=4.8
答:
哥哥骑车4.8分钟追上弟弟.
(2)快车每小时行60千米,慢车每小时行40千米,两车同时从甲地开往乙地。
出发0.5小时后,快车因故停下修车1.5小时。
修好车后,快车仍用原速前进,经过几小时才能追上慢车?
解:
[40×(1.5+0.5)-60×0.5]÷(60-40)=2.5(小时)
追及时间=路程差÷速度差.
解析
0.5小时后,快车走了60×0.5=30千米,当快车再次出发时,慢车走了40×2=80千米,此时,两车相距80-30=50千米,两车速度差为60-40=20千米/时,快车追上慢车时间=50÷20=2.5(小时)
(3)甲、乙二人加工同样多的零件,甲每小时加工20个,乙每小时加工15个。
一天,乙比甲早工作2小时,到下午二人同时完成了加工任务。
他俩一共加工了多少个零件?
在这两小时内,乙做了30个零件,说明在之后的时间里,甲比乙多做了30个,而每个小时多做5个,相除即得到甲的工作时间.
个
小时
共做了
个
例4甲骑车、乙跑步,二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。
出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙。
已知二人的速度和是每分钟700米,求甲、乙二人的速度各是多少?
分析出发10分钟后,甲从乙身后追上了乙,也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。
因此,甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。
知道了二人的速度差是每分钟400米,速度和是每分钟700米,就能算出甲骑车的速度是(700+400)÷2=550米,乙跑步的速度是700-550=150米。
练习四
(1)爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。
爸爸每分钟跑150米,小明每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问:
至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明?
解:
900÷(150-120)
=900÷30
=30(分钟)
答:
30分钟后爸爸追上小明.
(2)在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?
解:
(米),
(圈)
(米)
答:
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米.
解析
甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米,则甲每秒比乙多跑
米,又甲、乙二人同时同地同向跑步,所以两人起跑后的第一次相遇时,甲正好比乙多跑一周即300米,所以两人相遇所用时间是
秒,此时乙跑了
米,除以环形跑道的长度,余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米.
(3)环湖一周共400米,甲、乙二人同时从同一地点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。
若二人同时从同一地点反向而行,只要2分钟二人就相遇。
求甲、乙的速度。
解:
设乙的速度是每分钟x米,
那么甲的速度为200-x米;
400÷2=200(米),
10×(200-x-x)=400
2000-20x=400
20x=1600
x=80
甲的速度:
200-80=120(米)
答:
甲的速度是每分钟120米,乙的速度是每分钟80米.
故答案为:
120米;80米.
解析
二人同时从同一点反方向而行,只要2分钟就相遇,那说明两人的速度和就是路程除以时间2分钟,可以用字母表示一个,然后用含有
字母的式子表示另一个;同时从同一点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙,说明甲速度快,而且用10分钟时间比乙多走了一圈,根据此等量关系列式即可.
例5甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。
甲在公路上A处,乙、丙在公路上B处,三人同时出发,甲与乙、丙相向而行。
甲和乙相遇3分钟后,甲和丙又相遇了。
求A、B之间的距离。
分析甲和乙相遇后,再过3分钟甲又能和丙相遇,说明甲和乙相遇时,乙比丙多行(100+75)×3=525米。
而乙每分钟比丙多行90-75=15米,多行525米需要用525÷15=35分钟。
35分钟甲和乙相遇,说明A、B两地之间的距离是(100+90)×35=6650米。
练习五
(1)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲、乙二人在B地,丙在A地与甲、乙二人同时相向而行,丙和乙相遇后,又过2分钟和甲相遇。
求A、B两地的路程
解:
(米)
答:
A、B两地的路程是2880米.
解析
首先根据速度×时间=路程,用甲和丙的速度之和乘以2,求出丙和乙相遇时,甲落后乙的距离;然后用它除以甲乙的速度之差,求出丙和乙相遇用的时间是多少;最后根据速度×时间=路程,用丙和乙的速度乘以丙和乙相遇用的时间,求出A、B两地的路程是多少即可.
此题主要考查了相遇问题的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是求出丙和乙相遇用的时间是多少.
(2)甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲、乙二人从B地同时同向出发,丙从A地同时同向去追甲和乙。
丙追上甲后又经过10分钟才追上乙。
求A、B两地的路程。
100-80=20(米/分)
80-60=20(米/分)
200÷20=10(分)
100-60=40(米/分)
40×10=400(米)
答:
A、B两地的路程400米。
(3)A、B两地相距1800米,甲、乙二人从A地出发,丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行。
已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米,当乙和丙相遇时,甲落后于乙多少米?
解:
乙和丙相遇时,所需要的时间:
1800÷(100+80)=10分钟,甲乙的问题相当于追及问题,使用速度差与时间乘积可求(80-60)×10=20×10=200米.
解析
利用两次相遇时的时间关系进行求解.
相遇问题关键要弄清两人之间的关系,找好时间问题进行求解.
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