集合的概念与运算教学讲义.docx
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集合的概念与运算教学讲义.docx
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集合的概念与运算教学讲义
集合的概念与运算教学讲义
1.集合与元素
一组对象的全体构成一个集合.
(1)集合中元素的三大特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合中元素与集合的关系:
对于元素a与集合A,__a∈A__或__a∉A__,二者必居其一.
(3)常见集合的符号表示.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*
Z
Q
R
(4)集合的表示法:
列举法、描述法、Venn图法、区间表示法.
(5)集合的分类:
集合按元素个数的多少分为有限集、无限集,有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示.
2.集合之间的基本关系
关系
定义
表示
相等
集合A与集合B中的所有元素都__相同__
A__=__B
子集
A中的任意一个元素都是__B中的元素__
A__⊆__B
真子集
A是B的子集,且B中至少有一个元素__不属于A__
A____B
注意:
(1)空集用__∅__表示.
(2)若集合A中含有n个元素,则其子集个数为__2n__,真子集个数为__2n-1__,非空真子集的个数为__2n-2__.
(3)空集是任何集合的子集,是任何__非空集合__的真子集.
(4)若A⊆B,B⊆C,则A__⊆__C.
3.集合的基本运算
符号
语言
交集A∩B
并集A∪B
补集∁UA
图形
语言
意义
A∩B={x|x∈A且x∈B}
A∪B={x|x∈A或x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
1.A∩A=A,A∩∅=∅.
2.A∪A=A,A∪∅=A.
3.A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
4.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
1.已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列表述正确的是( D )
A.0∉A B.1⊆A
C.
⊆A D.3∈A
[解析] 集合A={x∈N|0≤x≤4},所以0∈A,1∈A,
∉A,3∈A.
2.若A={x|x=4k-1,k∈Z},B={x=2k-1,k∈Z},则集合A与B的关系是( B )
A.A=B B.AB
C.AB D.A⊆B
[解析] 因为集合B={x|x=2k-1,k∈Z},A={x|x=4k-1,k∈Z}={x|x=2(2k)-1,k∈Z},集合B表示2与整数的积减1的集合,集合A表示2与偶数的积减1的集合,所以AB,故选B.
3.设集合M={2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N的子集的个数为( B )
A.2 B.4
C.7 D.128
[解析] ∵M={2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={2,6},即M∩N中元素的个数为2,子集22=4个,故选B.
4.已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B=( A )
A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2}
C.{x|0 [解析] 根据题意,作图可得, 则A∪B={x|x≥-1},故选A. 5.(文)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B( A ) A.{-2,-1} B.{-2} C.{-2,0,1} D.{0,1} (理)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( B ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) [解析] (文)∵A={x|x+1>0}={x|x>-1},∴∁RA={x|x≤-1},∴(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}. (理)∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤-2},∴∁RQ={x∈R|-2 [方法技巧] (文)集合基本运算的方法技巧 (1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算. (2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验. 6.2∈{x2+x,2x}则x=__-2__;-2∉{x2+x,2x},则x≠__0且x≠1,且x≠-1__. [解析] x2+x=2得x=-2或1(舍去),2x=2得x=1(舍去),综上x=-2;不属于按属于处理,-2=x2+x无解.-2=2x,得x=-1,又x2+x与2x不同,∴x≠0,1. 7.(文)(2018·山西吕梁期中)已知集合M={x||x|≤1},N={y|y=x2,x∈R},则M∩N=( D ) A.[-1,1] B.∅ C.(0,1] D.[0,1] (理)(2018·江西宜春月考)设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y= },则( A ) A.A⊆B B.A∪B=A C.A∩B=∅ D.A∩(∁IB)≠∅ [解析] (文)∵集合M={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1},N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},∴M∩N={0|0≤x≤1}=[0,1].故选D. (理)由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞),B={x|y= }=[1,+∞),∴A⊆B.故选A. [方法技巧] 判断集合间关系的三种方法 (1)列举法: 把元素一一列举观察. (2)集合元素特征法: 首先确定集合中的元素是什么,弄清集合中元素的特征,再利用集合中元素的特征判断关系. (3)数形结合法: 利用数轴或Venn图. 8.(文)(2018·北京东城区月考)已知集合M={x|x≤a},N={x|-2 A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] (理)(2018·吉林长春检测)已知集合A={x|ax-1=0},B={x|1 A.∅ B.{ } C.{ , } D.{0, , } [解析] (文)因为M={x|x≤a},N={x|-2 (理)由A∩B=A,得A⊆B.∵B={x|1 .要使A⊆B,则 =3或 =4,即a= 或 .综上所述,a的所有可能取值组成的集合是{0, , }.故选D. 考点1 集合的基本概念——自主练透 例1 (1)已知集合A={x|x=3k+1,k∈Z},则下列表示不正确的是( C ) A.-2∈A B.2019∉A C.3k2+1∉A D.-35∈A (2)(2018·课标Ⅱ,2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( A ) A.9 B.8 C.5 D.4 (3)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= 0或 . (4)已知a∈R,b∈R,若{a, ,1}={a2,a+b,0},则a2019+b2019=__-1__. [解析] (1)当-2=3k+1时,k=-1∈Z,故A正确;当2019=3k+1时,k=672 ∉Z,故B正确;当-35=3k+1时,k=-12∈Z,故D正确.故选C. (2)本题主要考查集合的含义与表示.由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素,故选A. (3)若a=0,则A={ },符合题意; 若a≠0,则由题意得Δ=9-8a=0,解得a= . 综上,a的值为0或 . (4)由已知得 =0,∴b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0},∴a2=1,a=-1或1(舍),∴a2019+b2019=-1,故填-1. 名师点拨 ☞ (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合; (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 考点2 集合间的关系——师生共研 例2 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.B⊆A B.A=B C.AB D.BA (2)(2018·云南第一次检测)设集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},则集合A与B的关系是( A ) A.BA B.BA C.B∈A D.A∈B (3)(文)(2018·江西八校联考)集合M={x|x= +1,n∈Z},N={y|y=n+ ,n∈Z},则两集合M,N的关系为( D ) A.M∩N=∅ B.M=N C.MN D.NM (理)(2018·广西梧州临川期中)设集合M={x|x= + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则( B ) A.M=N B.MN C.NM D.M∩N=∅ (4)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}≠∅,若A∩B=B,则实数m的取值范围为__[2,3]__. [解析] (1)A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0 (2)A={x|-x2-x+2<0}={x|x>1或x<-2},B={x|2x-5>0}={x|x> }. ∴BA,故选A. (3)(文)解法一: (列举法) 由题意知: M={…,0, ,1, ,2,…},N={…,- , , , ,…},显然NM,故选D. 解法二: (描述法) M={x|x= ,n∈Z}, N={y|y= ,n∈Z}. ∵n+2表示所有整数,而2n+1表示所有奇数,∴NM,故选D. (理)解法一: (列举法),由题意知 M={…- ,- , , , , ,……} N={…- ,0, , , , , ,…} 显然MN,故选B. 解法二: (描述法) M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z} ∵2k+1表示所有奇数,而k+4表示所有整数(k∈Z) ∴MN,故选B. (4)由A∩B=B知,B⊆A. 又B≠∅,则 解得2≤m≤3, 则实数m的取值范围为[2,3]. [引申1]本例(4)中若B={x|m+1≤x≤2m-1}情况又如何? [解析] 应对B=∅和B≠∅进行分类. ①若B=∅,则2m-1 ②若B≠∅,由例得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3]. [引申2]本例(4)中是否存在实数m,使A⊆B? 若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] 由A⊆B得 即 不等式组无解,故不存在实数m,使A⊆B. [引申3]本例(4)中,若B={x|m+1≤x≤1-2m},AB,则m的取值范围为__(-∞,-3]__. [解析] 由题意可知 解得m≤-3. 名师点拨 ☞ 判断集合间关系的3种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系.(如第1、2题) 结构法 从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.(如第3题) 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系.(如第4题) 〔变式训练1〕 (1)(2018·辽宁锦州质检 (一))集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系是( D ) A.M⊆N B.N⊆M C.M∩N=∅ D.MN且NM (2)(文)(2018·辽宁葫芦岛一中月考)已知集合M={x|y=lg(2-x)},N={y|y= + },则( B ) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.N∈M (理)(2018·湖北省部分重点中学联考)已知集合M={x|y= ,x∈R},N={x|x=m2,m∈M},则集合M,N的关系是( B ) A.MN B.NM C.M⊆∁RN D.N⊆∁RM (3)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|mx+10>0},若A⊆B,则m的取值范围是__(-2,5)__. [解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M,所以MN且NM,故选D. (2)(文)∵集合M={x|y=lg(2-x)}=(-∞,2),N={y|y= + }={0},∴N⊆M.故选B. (理)依题意知,M={x|y= ,x∈R}={x|-1≤x≤1},N={x|x=m2,m∈M}={x|0≤x≤1},所以NM.故选B. (3)化简A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},当m>0时,x>- ,因为A⊆B,所以- <-2,解得m<5,所以0 ,因为A⊆B,所以- >5,解得m>-2,所以-2 考点3 集合的基本运算——多维探究 角度1 集合的运算 例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ,1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( A ) A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} (2)(2018·天津,1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( C ) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} (3)(2018·天津,1)设全集为R,集合A={x|0 A.{x|0 C.{x|1≤x<2} D.{x|0 [解析] (1)本题主要考查集合的基本运算. ∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故选A. (2)本题主要考查集合的运算. 由题意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1≤x<2}={-1,0,1}.故选C. (3)本题主要考查集合的基本运算. 由B={x|x≥1},得∁RB={x|x<1},借助于数轴,可得A∩(∁RB)={x|0 角度2 利用集合的运算求参数 例4 (1)(2018·河北邢台联考)已知全集U={x∈Z|0 A.(6,7] B.[6,7) C.[6,7] D.(6,7) (2)(2018·江西鹰潭一中模拟)已知集合A={x|1<2x≤16},B={x|x A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) [解析] (1)若∁UA中的元素的个数为4,则∁UA={1,2,7,8},∴6 (2)由题意知A={x|0 名师点拨 ☞ 集合的基本运算的关注点 1.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. 2.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决. 3.注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图. 4.根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后应用数形结合求解. 〔变式训练2〕 (1)(角度1)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( C ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} (2)(角度1)(2018·课标Ⅰ,2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( B ) A.{x|-1 C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} (3)(角度2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|y A.a≤-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a>-1 (4)(角度1)(文)(2018·山西太原阶段性测评)设集合A={-1,0,1,2,},B={x|y= },则图中阴影部分所表示的集合为( B ) A.{1} B.{0} C.{-1,0} D.{-1,0,1} (角度1)(理)(2018·四川资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( D ) A.{x|x≤-1或x≥3} B.{x|x<1或x≥3} C.{x|x≤1} D.{x|x≤-1} [分析] (1)求解一元二次不等式得集合B,然后根据并集的定义求得A∪B的结果. (2)本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法. [解析] (1)由(x+1)(x-2)<0⇒-1 (2)化简A={x|x<-1或x>2},∴∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B. (3)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y-1即可.故选D. (4)(文)由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB).∵B={x|y= }={x|x2-1≥0}={x|x≥1或x≤-1},∴∁RB={x|-1 (理)由题意可知A={x|-1 [易错警示] (1)对于集合B,容易忽略x∈Z的条件而导致错误,注意养成严谨、细心的审题习惯.
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