高中数学高考导数题型分析及解题方法免费下载.docx
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导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,
函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一:
利用导数研究函数的极值、最值。
1.f(x)
x3
3x2
2在区间
1,1上的最大值是
2
2.已知函数y
f(x)
x(x
c)2在x
2处有极大值,则常数
c=
6
;
3.函数y
13x
x3
有极小值-1
极大值
3
题型二:
利用导数几何意义求切线方程
1.曲线y
4x
x3
在点
1,
3处的切线方程是
y
x2
2.若曲线f(x)
x4
x在P点处的切线平行于直线
3x
y
0,则P点的坐标为
(1,0)
3.若曲线yx4
的一条切线l与直线x
4y
8
0垂直,则l的方程为
4x
y30
4.求下列直线的方程:
(1)曲线y
x3
x21在P(-1,1)
处的切线;
(2)曲线y
x2
过点P(3,5)
的切线;
解:
(1)
点P(
1,1)在曲线y
x3
x2
1上,
y/
3x2
2x
k
y/|
-
1
3-21
x
所以切线方程为
y
1
x
1,即x
y
2
0
(2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为
A(x0,y0),则y0
x0
2
①又函数的导数为y/2x,
A(x,y)
k
y/|
xx
2x
A(x,y)
所以过
点的切线的斜率为
0
,又切线过
、P(3,5)点,所以有
00
0
0
0
y0
5
x
1
x
0
5
2x0
0
或
3②,由①②联立方程组得,
y0
1
y0
25,即切点为(
1,1)时,切线斜率为
x0
k12x0
2;;当切点为(
5,25)时,切线斜率为
k2
2x0
10;所以所求的切线有两条,方程分
别为y
1
2(x
1)或y
25
10(x
5),即y2x
1或y
10x
25
题型三:
利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数f(x)x3ax2bxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f
(1))的切线方程为y=3x+1
第1页共61页
(Ⅰ)若函数f(x)在x2处有极值,求f(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数
yf(x)在[-3,1]上的最大值;
(Ⅲ)若函数y
f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数
b的取值范围
解:
(1)由f(x)
x3
ax2
bx
c,求导数得f(x)3x2
2ax
b.
过yf(x)上点P(1,f
(1))的切线方程为:
yf
(1)f
(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
而过y
f(x)上P[1,f
(1)]的切线方程为y
3x
1.
3
2a
b
3
即2a
b
0
①
故a
c
3
a
c
3
②
∵y
f(x)在x
2时有极值,故f
(
2)
0,
4a
b
12
③
由①②③得
a=2,b=-4,c=5
∴f(x)
x3
2x2
4x
5.
(2)f(x)
3x2
4x
4
(3x
2)(x
2).
3x
2时,f(x)
0;当2x
2时,f(x)0;
当
3
当2
x
时
f(x)0.f(x)极大
f
(2)
13
3
1
又f
(1)
4,
f(x)在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)
在[-2,1]上单调递增,又
f
(x)
3x2
2ax
b,由①知2a+b=0。
依题意f
(x)在[-2,1]上恒有f
(x)≥0,即3x2
bx
b
0.
x
b
1时,f(x)min
f
(1)
3
b
b
0,
b
6
6
①当
;
x
b
2时,f
(x)min
f(
2)
12
2b
b
0,
b
②当
6
;
2
6
1时,f
12b
b
2
0,则0
b
6.
③当
b
(x)min
12
综上所述,参数b的取值范围是[0,
)
2.已知三次函数
f(x)
3
2
c在x
1和x
1时取极值,且f
(2)4.
x
ax
bx
第2页共61页
(1)
求函数y
f(x)的表达式;
(2)
求函数y
f(x)的单调区间和极值;
(3)
若函数g(x)
f(x
m)
4m(m
0)在区间[m3,n]上的值域为[
4,16],试求m、n应满足
的条件.
2
b,
解:
(1)
f
(x)
3x
2ax
由题意得,
1,
1是3x2
2ax
b
0的两个根,解得,
a0,b
3.
再由f
(2)
4可得c
2.∴f(x)
x3
3x
2.
(2)
f
(x)
3x2
3
3(x
1)(x
1),
当x
1时,f(x)
0;当x
1时,f(x)
0;
当
1
x1时,f
(x)
0;当x
1时,f
(x)
0;
当x
1时,f(x)
0.∴函数f
(x)在区间(
1]上是增函数;
在区间[1,1]上是减函数;在区间
[1,
)上是增函数.
函数f(x)的极大值是
f(
1)
0,极小值是
f
(1)
4.
(3)
函数g(x)的图象是由
f(x)的图象向右平移
m个单位,向上平移
4m个单位得到的,
所以,函数
f(x)在区间[
3,n
m]上的值域为[
44m,16
4m](m
0).
而f(3)
20,∴
4
4m
20,即m
4.
于是,函数
f(x)在区间[
3,n
4]上的值域为[
20,0].
令f(x)
0得x
1或x
2.由f(x)的单调性知,
1剟n
4
2,即3剟n6.
综上所述,m、n应满足的条件是:
m4,且3剟n
6.
3.设函数f(x)x(xa)(x
b).
(1)若f(x)的图象与直线5x
y80相切,切点横坐标为2,且
f(x)在x
1处取极值,
求实数a,b的值;
第3页共61页
(2)当b=1时,试证明:
不论a取何实数,函数
f(x)总有两个不同的极值点.
解:
(1)f
(x)3x2
2(a
b)x
ab.
由题意f
(2)
5,f
(1)0,代入上式,解之得:
a=1,b=1.
(2)当b=1时,令f
(x)
0得方程3x2
2(a
1)xa
0.
因4(a2
a1)
0,故方程有两个不同实根
x1,x2.
不妨设x1
x2
,由f
'(x)
3(x
x1)(x
x2)可判断f'(x)的符号如下:
当
xx1时,f
'(x)
>0;当
x1
xx2时,f'(x)
<0;当
x
x2时,f
'(x)
>0
因此x1是极大值点,
x2是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数
f(x)总有两个不同的
极值点。
题型四:
利用导数研究函数的图象
1.如右图:
是f(x)的导函数,
f/(x)的图象如右图所示,则
f(x)的图象只可能是(D
)
(A)
(B)
(C)
(D)
1
x
3
4x
1的图像为
y
(A)
2.函数3
y
y
y
y
6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
-4
-2
-4-2
o24
x
o24
x-4-2
y24
x
o
24
x
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-4
3.方程2x36x27
0在(0,2)内根的个数为
(B
)
A、0
B
、1
C
、2
D
、3
题型五:
利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
第4页共61页
f(x)
1x3
2ax2
3a2xb,0a1.
1.设函数
3
(1)求函数f(x)的单调区间、极值.
(2)若当x[a1,a2]时,恒有|f(x)|a,试确定a的取值范围.
解:
(1)
f(x)
x2
4ax
3a2
=
(x3a)(xa)
,令
f(x)0
得
x1a,x23a
列表如下:
x
(-∞,a)a
(a,3a)3a
(3a,+∞)
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)
极小
极大
∴f(x)在(a,3a)上单调递增,在(
-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
f极小(x)
b
4
a3
3a时,f极小(x)
b
xa时,
3
,x
(2)f(x)x2
4ax
3a2
∵0
a
1,∴对称轴
x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上单调递减
∴fMax
(a
1)2
4a(a
1)
3a2
2a
1,fmin
(a
2)
2
4a(a
2)3a2
4a4
依题|f(x)|
a
|fMax|
a,|fmin|
a
即|2a
1|
a,|
4a
4|
a
4
a1
,又0a
1
[4
1)
解得5
∴a的取值范围是
5
2
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3与x=1时都取得极值
(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。
解:
(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-212-4a+b=0-1
由f(3)=93,f
(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
第5页共61页
x
2
2
2
1
(1,+
)
(-,-3)-3
(-3,1)
f(x)+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
2
2
所以函数f(x)的递增区间是(-
,-3)与(1,+
),递减区间是(-
3,1)
1
2
22
(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,当x=-3时,f(x)=27+c
为极大值,而
f
(2)=2+c,则f
(2)=2+c为最大值。
要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需
c2
f
(2)=2+c,解得c
-1或c2
题型六:
利用导数研究方程的根
1
3
1.已知平面向量a=(
3,-1).
b=(2,
2
).
(1)若存在不同时为零的实数
k和t,使x=a+(t2
-3)b,y=-k
a+tb,x⊥y,
试求函数关系式
k=f(t)
;
(2)据
(1)的结论,讨论关于
t
的方程f(t)-k=0的解的情况.
解:
(1)∵x⊥y,∴x
y=0
即[a+(t2-3)
b]·(-ka+tb)=0.
2
2
整理后得-ka+[t-k(t2-3)]
ab+(t2-3)·b=0
2
2
1
,即k=4t(t2-3)
∵ab=0,a
=4,b=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0
1
1
(2)讨论方程4t(t2-3)-k=0
的解的情况,可以看作曲线
f(t)=4t(t2-3)
与直线y=k
的交点个
数.
3
3
于是f′(t)=
4(t2-1)=
4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.
当t变化时,f′(t)
、f(t)
的变化情况如下表:
t
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+
∞)
f′(t)
+
0
-
0
+
F(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
1
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)
极大值=2.
第6页共61页
1
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-2
1
函数f(t)=
4t(t2-3)
的图象如图
13-2-1所示,
可观察出:
1
1
(1)
当k>2或k<-
2时,方程f(t)-k=0有且只有一解;
1
1
(2)
当k=2或k=-2时,方程f(t)
-k=0有两解;
1
1
(3)
当-2<k<2时,方程f(t)
-k=0有三解.
题型七:
导数与不等式的综合
1.设a
0,函数f(x)
x3
ax在[1,
)上是单调函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设x0
≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))
x0,求证:
f(x0)
x0.
解:
(1)y
f
(x)
3x2
a,若f(x)在1,
上是单调递减函数,则须y
0,即a
3x2,这
样的实数a不存在.故f(x)在1,
上不可能是单调递减函数.
若f(x)在1,
上是单调递增函数,则
a≤3x2
,
由于x
1,
故3x2
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