高等数学课后习题答案.docx

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高等数学课后习题答案

高等数学课后习题答案

【篇一：

上海交大版高等数学课后习题解答】

txt>第一章函数

1．设f（x）?

x2?

1，求f（x2）、?

f（x）?

。

解答：

f（x2）?

（x2）2?

1?

x4?

1,?

f（x）?

?

[x2?

1]2?

x4?

2x2?

1。

所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

aex?

be?

x

2．设f（x）?

，求f（x）?

f（?

x）。

a?

b

aex?

be?

xae?

x?

be?

（?

x）ae?

x?

bex

?

解答：

f（x）?

，f（?

x）?

，a?

ba?

ba?

b

aex?

be?

xae?

x?

be?

（?

x）

f（x）?

f（?

x）?

?

?

ex?

e?

x。

a?

ba?

b22

所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

?

2x?

1?

x?

0,1?

3．设?

（x）?

?

20?

x?

1,求?

（3）,?

（2）,?

（0）,?

（?

）。

2?

x?

11?

x?

3,?

1解答：

?

（3）?

2,?

（2）?

1,?

（0）?

1,?

（）?

。

2所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

4．求下列函数的定义域：

（1）y?

2x11?

xy?

log；

（2），（a?

0,a?

1）；a2x?

3x?

221?

x

（3

）y?

3?

2x1；（4

）y?

arcsin.5lg（1?

x）

解答：

（1）由x2?

3x?

2?

0解得定义域为?

?

?

1?

?

1,2?

?

2,?

?

?

；

（2）由1?

x?

0,1?

x?

0解得定义域为?

?

1,1?

；1?

x

（3）由2?

x?

0,1?

x?

0,1?

x?

1解得定义域为?

?

2,0?

（4）由3?

x?

0,3?

2x?

1解得定义域为[?

1,3]。

5?

0,1?

；

所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

5．下列各题中，函数f（x）与g（x）是否相同？

x

（1）f（x）?

lgx2，g（x）?

2lg；

（2）f（x）?

x，

g（x）

（3）f（x）?

elnx，g（x）?

x.

解答：

（1）f（x）中的x可为一切实数，g（x）中的x要求大于零，即定义域不同，故函数不同；

（2）f（x）将负数对应负数，而g（x）把负数对应正数，对应法则不同，故函数不同；

（3）f（x）中的x要求大于零，g（x）中的x可为一切实数，即定义域不同，故函数不同。

所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

6．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？

（1）y?

x2（1?

x2）；

（2）y?

3x2?

x3；

1?

xex?

e?

x

（a?

0,a?

1）；（4）y?

（3）y?

loga；1?

x2

（5）y?

x2cosx?

1；（6

）y?

ln（x?

.

解答：

（1）偶；

（2）非奇非偶；（3）奇；（4）偶；（5）偶；（6）奇所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

7．下列函数中哪些是周期函数？

对于周期函数指出其周期t：

（1）y?

1?

tanx；

（2）y?

cos（3x?

1）；

（3）y?

xsinx；（4）y?

sin2x.

所属章节：

第一章第一节

难度：

一级

8．求下列函数的反函数：

（1）y?

x2?

2x；（2

）y

2x

（3

）y?

ln（x；（4）y?

x.2?

1解答：

（1）由y?

x2?

2x，得y?

（x?

1）2?

1，解得x?

1。

所以当y?

?

1时，反函数y?

1y?

?

1时，反函数y?

1

（2

）当y?

1时，y?

y?

1时，y?

（3

）由y?

ln（x

，得ey?

x（ey?

x）2?

1?

x2，e2y?

1ey?

e?

yex?

e?

x

?

解得x?

，所以反函数为y?

；2ey22

xyy2x

（4）由y?

x解得2x?

，即x?

log2，所以反函数为y?

log2。

1?

x1?

y1?

y2?

1

所属章节：

第一章第一节

难度：

二级

9．下列初等函数由哪些简单函数复合而成？

2（1

）y?

（2）y?

cosx；3

（3）y?

ex；（4）y?

lnsin2x；

（5）y?

sin（3x?

1）；（6）y?

arctane

解答：

（1

）y?

u?

2?

x2；

（2）y?

cosu,u?

22?

1x.2x；（3）y?

eu,u?

x2；3

（4）y?

lnu,u?

sinv,v?

2x；（5）y?

u2,u?

sinv,v?

3x?

1；（6）y?

arctanu,u?

ev,v?

?

所属章节：

第一章第二节1x2

难度：

一级

10．设f（x）?

ex，证明：

（1）f（x）?

f（y）?

f（x?

y）；

（2）f（x）?

f（x?

y）.f（y）

解答：

（1）f（x）?

f（y）?

ex?

ey?

ex?

y?

f（x?

y）；

f（x）ex

（2）?

y?

ex?

y?

f（x?

y）f（y）e

所属章节：

第一章第二节

难度：

一级

11．设f（x）?

ln（x?

1），证明：

f（x2?

2）?

f（x?

2）?

f（x）.

解答：

f（x2?

2）?

f（x?

2）?

ln（（x2?

2）?

1）?

ln（（x?

2）?

1）?

ln（x2?

1）?

ln（x?

1）

x2?

1?

ln?

ln（x?

1）?

f（x）x?

1

所属章节：

第一章第二节

难度：

一级

12．设f（x）具有性质：

f（x?

y）?

f（x）?

f（y），证明：

必有f（0）?

0，pf（x）?

f（px）（p为任意正整数）

解答：

在f（x?

y）?

f（x）?

f（y）中，令x?

0，即得f（0）?

0。

在f（x?

y）?

f（x）?

f（y）中，令y?

x，即得f（2x）?

2f（x）；

在f（x?

y）?

f（x）?

f（y）中，令y?

2x，结合上式，即得f（3x）?

3f（x）；

设对正整数k，有f（kx）?

kf（x），则在f（x?

y）?

f（x）?

f（y）中，令y?

kx，结合假设有f（（k?

1）x）?

（k?

1）f（x），由数学归纳法得证。

所属章节：

第一章第二节

难度：

二级

13．设fn（x）?

f（f（?

?

?

f（x））），若f（x）?

a?

bx，证明：

n次

a（bn?

1）nfn（x）?

?

bx（b?

1）.b?

1

a（b2?

1）2?

bx，即等式成立；解答：

当n?

2时，f2（x）?

f（f（x））?

a?

b（a?

bx）?

a?

ab?

bx?

b?

12

设n?

k时等式成立，即a（bk?

1）kfk（x）?

?

bx，则当n?

k?

1时，b?

1

fn（x?

）ff?

?

?

（fx（

n次a（bk?

1）kabk?

1?

（1）?

f（fk）x）?

）a?

b?

）bx）?

?

bk?

1x，]即等式也成立，得证。

b?

1b?

1

所属章节：

第一章第二节

难度：

二级

14．验证下列恒等式：

（1）sinh（x?

y）?

sinhxcoshy?

coshxsinhy；

（2）cosh（x?

y）?

coshxcoshy?

sinhxsinhy；

x?

yx?

ycosh；22

x?

yx?

ysinh（4）coshx?

coshy?

2sinh.22（3）sinhx?

sinhy?

2sinh

ex?

e?

xex?

e?

x

coshx?

解答：

由定义sinhx?

，从右往左证明22

ex?

e?

xey?

e?

yex?

e?

xey?

e?

yex?

y?

e?

（x?

y）

sinhxcoshy?

coshxsinhy?

?

?

?

sinh（x?

y），即证22222

得

（1）式；类似可证其他三式。

所属章节：

第一章第二节

难度：

二级

第二章极限与连续

1．用“?

?

n”定义验证下列极限：

【篇二：

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集】

=txt>第一章

习题1?

1

1?

设a?

（?

?

?

?

5）?

（5?

?

?

）?

b?

[?

10?

3）?

写出a?

b?

a?

b?

a\b及a\（a\b）的表达式?

解a?

b?

（?

?

?

3）?

（5?

?

?

）?

a?

b?

[?

10?

?

5）?

a\b?

（?

?

?

?

10）?

（5?

?

?

）?

a\（a\b）?

[?

10?

?

5）?

2?

设a、b是任意两个集合?

证明对偶律?

（a?

b）c?

ac?

bc?

证明因为

x?

（a?

b）c?

x?

a?

b?

x?

a或x?

b?

x?

ac或x?

bc?

x?

ac?

bc?

所以（a?

b）c?

ac?

bc?

3?

设映射f?

x?

y?

a?

x?

b?

x?

证明

（1）f（a?

b）?

f（a）?

f（b）?

（2）f（a?

b）?

f（a）?

f（b）?

证明因为

y?

f（a?

b）?

?

x?

a?

b?

使f（x）?

y

?

（因为x?

a或x?

b）y?

f（a）或y?

f（b）

?

y?

f（a）?

f（b）?

所以f（a?

b）?

f（a）?

f（b）?

（2）因为

y?

f（a?

b）?

?

x?

a?

b?

使f（x）?

y?

（因为x?

a且x?

b）y?

f（a）且y?

f（b）?

y?

f（a）?

f（b）?

所以f（a?

b）?

f（a）?

f（b）?

4?

设映射f?

x?

y?

若存在一个映射g?

y?

x?

使g?

f?

ix?

f?

g?

iy?

其中ix、iy分别是x、y上的恒等映射?

即对于每一个x?

x?

有ixx?

x?

对于每一个y?

y?

有iyy?

y?

证明?

f是双射?

且g是f的逆映射?

g?

f?

1?

证明因为对于任意的y?

y?

有x?

g（y）?

x?

且f（x）?

f[g（y）]?

iyy?

y?

即y中任意元

素都是x中某元素的像?

所以f为x到y的满射?

又因为对于任意的x1?

x2?

必有f（x1）?

f（x2）?

否则若f（x1）?

f（x2）?

g[f（x1）]?

g[f（x2）]?

x1?

x2?

因此f既是单射?

又是满射?

即f是双射?

对于映射g?

y?

x?

因为对每个y?

y?

有g（y）?

x?

x?

且满足f（x）?

f[g（y）]?

iyy?

y?

按逆映射的定义?

g是f的逆映射?

5?

设映射f?

x?

y?

a?

x?

证明?

（1）f?

1（f（a））?

a?

（2）当f是单射时?

有f?

1（f（a））?

a?

证明

（1）因为x?

a?

f（x）?

y?

f（a）?

f?

1（y）?

x?

f?

1（f（a））?

所以f?

1（f（a））?

a?

（2）由

（1）知f?

1（f（a））?

a?

另一方面?

对于任意的x?

f?

1（f（a））?

存在y?

f（a）?

使f?

1（y）?

x?

f（x）?

y?

因为y?

f（a）且f是单射?

所以x?

a?

这就证明了f?

1（f（a））?

a?

因此f?

1（f（a））?

a?

6?

求下列函数的自然定义域?

（1）y?

?

解由3x?

2?

0得x?

?

2?

函数的定义域为[?

2,?

?

）?

33

（2）y?

1

?

1?

x

解由1?

x2?

0得x?

?

1?

函数的定义域为（?

?

?

?

1）?

（?

1?

1）?

（1?

?

?

）?

（3）y?

1?

?

x2?

x

解由x?

0且1?

x2?

0得函数的定义域d?

[?

1?

0）?

（0?

1]?

（4）y?

1?

24?

x

解由4?

x2?

0得|x|?

2?

函数的定义域为（?

2?

2）?

（5）y?

sin?

解由x?

0得函数的定义d?

[0?

?

?

）?

（6）y?

tan（x?

1）?

解由x?

1?

?

（k?

0?

?

1?

?

2?

?

?

?

）得函数的定义域为x?

k?

?

?

?

1（k?

0?

?

1?

?

2?

?

?

22

?

）?

（7）y?

arcsin（x?

3）?

解由|x?

3|?

1得函数的定义域d?

[2?

4]?

（8）y?

?

x?

1?

x

解由3?

x?

0且x?

0得函数的定义域d?

（?

?

?

0）?

（0?

3）?

（9）y?

ln（x?

1）?

解由x?

1?

0得函数的定义域d?

（?

1?

?

?

）?

（10）1y?

e?

解由x?

0得函数的定义域d?

（?

?

?

0）?

（0?

?

?

）?

7?

下列各题中?

函数f（x）和g（x）是否相同？

为什么？

（1）f（x）?

lgx2?

g（x）?

2lgx?

（2）f（x）?

x?

g（x）?

x2?

（3）f（x）?

x4?

x3?

g（x）?

x?

1?

（4）f（x）?

1?

g（x）?

sec2x?

tan2x?

解

（1）不同?

因为定义域不同?

（2）不同?

因为对应法则不同?

x?

0时?

g（x）?

?

x?

（3）相同?

因为定义域、对应法则均相相同?

（4）不同?

因为定义域不同?

?

|sinx||x|?

?

?

3?

求?

（?

）?

?

（?

）?

?

（?

?

）?

?

（?

2）?

并作出函数y?

?

（x）8?

设?

（x）?

?

464|x|?

?

?

03?

的图形?

解?

（?

?

|sin?

|?

1?

?

（?

?

|sin?

|?

?

?

（?

?

）?

|sin（?

?

）|?

?

?

（?

2）?

0?

442442662

9?

试证下列函数在指定区间内的单调性?

（1）y?

x?

（?

?

?

1）?

1?

x

（2）y?

x?

lnx?

（0?

?

?

）?

证明

（1）对于任意的x1?

x2?

（?

?

?

1）?

有1?

x1?

0?

1?

x2?

0?

因为当x1?

x2时?

y1?

y2?

xxx?

x?

?

?

0?

1?

x11?

x2（1?

x1）（1?

x2）

所以函数y?

x在区间（?

?

?

1）内是单调增加的?

1?

x

（2）对于任意的x1?

x2?

（0?

?

?

）?

当x1?

x2时?

有

xy1?

y2?

（x1?

lnx1）?

（x2?

lnx2）?

（x1?

x2）?

l?

0?

x2

所以函数y?

x?

lnx在区间（0?

?

?

）内是单调增加的?

10?

设f（x）为定义在（?

l?

l）内的奇函数?

若f（x）在（0?

l）内单调增加?

证明f（x）在（?

l?

0）内也单调增加?

证明对于?

x1?

x2?

（?

l?

0）且x1?

x2?

有?

x1?

?

x2?

（0?

l）且?

x1?

?

x2?

因为f（x）在（0?

l）内单调增加且为奇函数?

所以

f（?

x2）?

f（?

x1）?

?

f（x2）?

?

f（x1）?

f（x2）?

f（x1）?

这就证明了对于?

x1?

x2?

（?

l?

0）?

有f（x1）?

f（x2）?

所以f（x）在（?

l?

0）内也单调增加?

11?

设下面所考虑的函数都是定义在对称区间（?

l?

l）上的?

证明?

（1）两个偶函数的和是偶函数?

两个奇函数的和是奇函数?

（2）两个偶函数的乘积是偶函数?

两个奇函数的乘积是偶函数?

偶函数与奇函数的乘积是奇函数?

证明

（1）设f（x）?

f（x）?

g（x）?

如果f（x）和g（x）都是偶函数?

则

f（?

x）?

f（?

x）?

g（?

x）?

f（x）?

g（x）?

f（x）?

所以f（x）为偶函数?

即两个偶函数的和是偶函数?

如果f（x）和g（x）都是奇函数?

则

f（?

x）?

f（?

x）?

g（?

x）?

?

f（x）?

g（x）?

?

f（x）?

所以f（x）为奇函数?

即两个奇函数的和是奇函数?

（2）设f（x）?

f（x）?

g（x）?

如果f（x）和g（x）都是偶函数?

则

f（?

x）?

f（?

x）?

g（?

x）?

f（x）?

g（x）?

f（x）?

所以f（x）为偶函数?

即两个偶函数的积是偶函数?

如果f（x）和g（x）都是奇函数?

则

f（?

x）?

f（?

x）?

g（?

x）?

[?

f（x）][?

g（x）]?

f（x）?

g（x）?

f（x）?

所以f（x）为偶函数?

即两个奇函数的积是偶函数?

如果f（x）是偶函数?

而g（x）是奇函数?

则

f（?

x）?

f（?

x）?

g（?

x）?

f（x）[?

g（x）]?

?

f（x）?

g（x）?

?

f（x）?

所以f（x）为奇函数?

即偶函数与奇函数的积是奇函数?

12?

下列函数中哪些是偶函数?

哪些是奇函数?

哪些既非奇函数又非偶函数？

（1）y?

x2（1?

x2）?

（2）y?

3x2?

x3?

2（3）y?

1?

x

?

1?

x

（4）y?

x（x?

1）（x?

1）?

（5）y?

sinx?

cosx?

1?

x?

x（6）y?

a?

a?

2

解

（1）因为f（?

x）?

（?

x）2[1?

（?

x）2]?

x2（1?

x2）?

f（x）?

所以f（x）是偶函数?

（2）由f（?

x）?

3（?

x）2?

（?

x）3?

3x2?

x3可见f（x）既非奇函数又非偶函数?

1?

（?

x）21?

x2?

?

f（x）?

所以f（x）是偶函数?

（3）因为f（?

x）?

221?

x1?

?

x（4）因为f（?

x）?

（?

x）（?

x?

1）（?

x?

1）?

?

x（x?

1）（x?

1）?

?

f（x）?

所以f（x）是奇函数?

（5）由f（?

x）?

sin（?

x）?

cos（?

x）?

1?

?

sinx?

cosx?

1可见f（x）既非奇函数又非偶函数?

（?

x）?

（?

x）?

xxa?

aa?

a?

?

f（x）?

所以f（x）是偶函数?

（6）因为f（?

x）?

22

13?

下列各函数中哪些是周期函数？

对于周期函数?

指出其周期?

（1）y?

cos（x?

2）?

解是周期函数?

周期为l?

2?

?

（2）y?

cos4x?

解是周期函数?

周期为l?

?

?

2

（3）y?

1?

sin?

x?

解是周期函数?

周期为l?

2?

解不是周期函数?

（5）y?

sin2x?

解是周期函数?

周期为l?

?

?

14?

求下列函数的反函数?

（1）y?

x?

1错误！

未指定书签。

错误！

未指定书签。

?

【篇三：

高等数学上册练习题】

题。

4、lim

x?

1

x?

x?

1

（）。

a、?

?

1b、?

1c、=0d、不存在

5、当x?

0时，下列变量中是无穷小量的有（）。

1sinx?

x

b、c、2?

1d、lnxxxsin?

x?

1?

?

（）7、lim。

2x?

1x?

1

1

a、1b、2c、0d、

2

a、sin

9、下列等式中成立的是（）。

?

2?

?

1?

a、lim?

1?

?

?

eb、lim?

1?

?

n?

?

n?

?

?

n?

?

n?

1?

?

?

1?

c、lim?

1?

?

?

ed、lim?

1?

?

n?

?

n?

?

?

2n?

?

n?

n

nn?

2

?

e

2n

?

e

10、当x?

0时，1?

cosx与xsinx相比较（）。

a、是低阶无穷小量b、是同阶无穷小量c、是等阶无穷小量d、是高阶无穷小量

11、函数f?

x?

在点x0处有定义，是f?

x?

在该点处连续的（）。

a、充要条件b、充分条件c、必要条件d、无关的条件12、数列｛yn｝有界是数列收敛的（）.

（a）必要条件（b）充分条件（c）充要条件（d）无关条件13、当x—0时，（）是与sinx等价的无穷小量.（a）tan2x

（b）

x

1

ln（1?

2x）2（c）（d）x（x+2）

14、若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）.

（a）f（x）在x0的函数值必存在且等于极限值（b）f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值

（c）f（x）在x0的函数值可以不存在（d）如果f（x0）存在则必等于极限值15、如果limf（x）与limf（x）存在，则（）.

x?

x?

x?

x?

（a）limf（x）存在且limf（x）?

f（x0）

x?

x

x?

x

1

（b）limf（x）存在但不一定有limf（x）?

f（x0）

x?

x

x?

x

（c）limf（x）不一定存在

x?

x

（d）limf（x）一定不存在

x?

x

16、下列变量中（）是无穷小量。

1x?

31-c.2（x?

3）b.sin（x?

0）x

a.e（x?

0）x?

9xd.lnx（x?

1）17、lim

sinx

x?

?

2x

?

（）

a.1b.0c.1/2d.2

18、下列极限计算正确的是（）

x

a.lim?

x?

0?

?

1?

1?

x?

?

?

eb.limx?

?

x1x?

1c.limx?

0xsin1x?

1d.limsinxx?

?

x?

1

19、下列极限计算正确的是（）

sinxx

a.limb.lim?

?

1?

1?

?

?

ex3?

812xx?

?

x?

1x?

0?

x?

c.limx?

2x2?

x?

6?

5d.x?

0x?

1

20、.设f（x）?

?

?

x?

2?

1x?

0,2x

?

1x?

0则下列结论正确的是（）

a.f（x）在x=0处连续b.f（x）在x=0处不连续，但有极限c.f（x）在x=0处无极限d.f（x）在x=0处连续，但无极限23、lim1

x?

?

xsin

x

?

（）.（a）?

（b）不存在（c）1（d）0

24、limsin2（1?

x）

1（x?

1）2（x?

2）

?

（）.

x?

（a）（b）?

（c）0（d）

?

125、设f（x）?

?

?

sinxx?

0?

x3

，要使f（x）在（?

?

?

?

）处连续，则a?

（?

a

x?

0（a）0（b）1（c）1/3（d）3

?

326、点x?

1是函数f（x）?

?

x?

1x?

1

?

1

x?

1的（）.?

?

3?

xx?

1（a）连续点（b）第一类非可去间断点（c）可去间断点（d）第二类间断点

2

）.

x?

028

、f（x）?

，如果f（x）在x?

0处连续，那么k?

（）.?

kx?

0?

（a）0（b）2（c）1/2（d）1

x?

0?

xex

30、设函数f?

x?

?

?

在点x=0处（）不成立。

x?

0?

x

a、可导b、连续c、可微d、连续，不可异31、函数f?

x?

在点x0处连续是在该点处可导的（）。

a、必要但不充分条件b、充分但不必要条件

c、充要条件d、无关条件

1

sin2x。

2

111122

a、sinxb、cos2xc、?

cosxd、1?

cos2x

4242

32、下列函数中（）的导数不等于33、设y?

ln（x?

x2?

1），则y′=（）.

1

1

①x?

③x?

34、已知y?

x2?

1②x2?

1

2xxx2?

1④x2?

1

14

x，则y?

?

=（）．4

32

a.xb.3xc.6xd.6

36、下列等式中，（）是正确的。

a.c.-

12x

dx?

d

2x?

?

1?

b.lnxdx?

d?

?

?

x?

ddx?

cos?

xd.sinx?

37、d（sin2x）=（）

a.cos2xdxb.–cos2xdxc.2cos2xdxd.–2cos2xdx39、曲线y=e2x在x=2处切线的斜率是（）a.e4b.e2c.2e2d.2

40、曲线y?

x?

1在x?

1处的切线方程是（）

1?

1?

dx?

d?

2?

x?

x?

a.y?

x3x3x3x3?

b.y?

?

c.y?

?

?

d.y?

?

?

22222222

2

41、曲线y?

x?

2x上切线平行于x轴的点是（）.

a、（0,0）b、（1,-1）c、（–1,-1）d、（1,1）

42、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有（）。

3

a、y?

x?

?

1,2?

b、y?

4x3?

5x2?

x?

1?

0,1?

c、y?

ln1?

x2?

0,3?

d、y?

?

?

2x

?

?

1,1?

2

1?

x

43、函数y?

x3?

x?

2在其定义域内（）。

a、单调减少b、单调增加c、图形下凹d、图形上凹44、下列函数在指定区间（?

?

?

?

）上单调增加的是（）．a．sinxb．exc．x245、下列结论中正确的有（）。