经典的组合数学题.docx
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经典的组合数学题
经典的组合数学题
加法和乘法原理+—点点的容斥定理
例:
1)求小于10000的含1的正整数的个数
2)求小于10000的含0的正整数的个数
解:
1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外。
故有9>9>9X9—1=6560个.含1的有:
9999—6560=3439个
另:
全部4位数有104个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:
104—94=3439个
2)"含0"和"含1"不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定,要特别留神。
不含0的1位数有9个,2位数有92个,3位数有「个,4位数有94个
不含0小于10000的正整数有9+92+\+94=(叮—9)/(9—1)=7380个含0小于10000的正整数有9999-7380=2619个
部分全排:
n个不同的人选r个出来排列的种数(一般不说可重意即无重。
)
在上述定义中,一个排列的第1位有n个选择,第2位有(n-1)个选择,第k位有(n-k+1)个选择,故P(n,r)=n(n-1)…(n<+1)。
(无重)排列与球放入盒子的方案的对照:
从a,b,c3个元素中取2个的排列相当于将2个不同的球放入3个不同的盒子里,每盒最多一个球的方案。
组合数的物理意义:
从a,b,c3个字母中取2个做组合,每个组合对应2!
个排列:
ab:
ab,ba;
ac:
ac,ca;
bc:
bc,cb。
部分组合:
组合的计数相当于将r个相同的球放入n个不同的盒子里,每盒最多一个球的方案数
注意分类讨论计算!
例:
从[1,300]中取3个不同的数,使这3个数的和能被3整除,有多少种方案?
解:
将[1,300]分成3类:
A={i|i三1(mod3)}={1,4,7,…,298},
B={i|i三2(mod3)}={2,5,8,…,299},
C={i|i三3(mod3)}={3,6,9,…,300}.
要满足条件,有四种解法:
1)3个数同属于A;2)3个数同属于B;3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.
故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100
注意模型转换!
例:
某车站有6个入口处,每个入口处每次只能进一人,一组9个人进站的方案有多少?
解:
一进站方案表示成:
00011001010100其中"0"表示人,"1"表示门框,其中"0"是不同元,"1"是相同元。
n个门只用n-1个门框。
任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。
[解法1]标号可产生5!
个14个元的全排列。
故若设x为所求方案,则x5!
=14!
二
x=14!
/5!
=726485760
[解法2]在14个元的排列中先确定"1"的位置,有C(14,5)种选择,在确定人的位置,有9!
种选择。
故C(14,5)9!
即所求
[解法3]把全部选择分解成若干步,使每步宜于计算。
不妨设9个人编成1至9号。
1号有6种选择;2号除可有1号的所有选择外,还可(也必须)选择当与
1号同一门时在1号的前面还是后面,故2号有7种选择;3号的选择方法同2号,故共有8种。
以此类推,9号有14种选择。
故所求方案为[6]9。
圆排列和项链排列的定义:
一般而言,若两个项链排列通过转动、平移和翻转能够重合,就看做是同一个项链排列。
从n个字符中取r个不同的字符构成圆排列的个数为P(n,r)/r,(0 从n个字符中取r个不同的字符构成项链排列的个数为P(n,r)/2r,(3 组合应用: 简单格路问题|(0,0)-(m,n)|=l卿丿,从(0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单位,最终走到(m,n)点,有多少条路径? 解: y|(mvn) ••• 0X 无论怎样走法,在x方向上总共走m步,在y方向上总共走n步。 若用一个x表示x方向上的一步,一个字母y表示y方向上的一步。 则(0,0)—(m,n)的每一条路径可表示为m个x与n个y的一个多重排列。 将每一个多重排列的x与y分别编号,可得m! n! 个m+n元的无重全排列。 设所求方案数为P(m+n;m,n),则P(m+n;m,n)m! “! =(m+n)! 故P(m+n;m,n)=」.=.门=C(m+n,m)设c>a,d訥则由(a,b)到(c,d)的简单 格路数为|(a,b)(c,d)|=亡一洸丿 b(c,d) D (ab) 在上例的基础上若设mvn,求(0,1)点到(m,n)点不接触对角线x=y的格路的数目("接触"包括"穿过") 解: 从(0,1)点到(m,n)点的格路,有的接触x=y,有的不接触。 对每一条接触x=y 的格路,做(0,1)点到第一个接触点部分关于x=y的对称格路,这样得到一条从(1,0) 容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)对应。 故所求格路数为 Im (桝+趕—l)l(牌+旳一1»吻(丹一1)1(W3 +科一ip(11' (加一1)! (料一1)1I胡冲丿 广廉+艸-P 1料丿 •mj 若条件改为可接触但不可穿过,则限制线要向下或向右移一格,得x-y=1, (0,0)关于x—y=1的对称点为(1,-1)。 所求格路数为 / m-\-n (tn-l)! (w+1)! ”ws+G+1II朋丿 格路也是一种常用模型。 在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果,失败者退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场比赛? 解: 99场比赛。 一种常见的思路是按轮计场,费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。 (Cayley定理)n个有标号的顶点的树的数目等于nn-2。 生长点不是叶子,每个生长点是[1,n]中的任一元.有n种选择。 两个顶点的树是唯一的 鸽巢原理 鸽巢原理的几种形式,应用鸽巢原理的技巧,Ramsey问题,Ramsey数 【学习指南】 容斥原理 |AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AAB| 图一|AAC|-|BAC|+ |AABAC| 先利用文氏图对两个,三个集合的并有直观的了解。 然后推导n个公式的并的势的计数公式及几个集合的补的交的势的计数公式。 例: 求[1,20]中2或3的倍数的个数. 解: 2的倍数是: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。 一共10个 3的倍数是: 3,6,9,12,15,18。 一共6个 答案不是10+6=16个,因为6,12,18被重复记数,应该减去,所以答案应为10+6-3=13个。 在论域U,补集二中, DeMorgan定理 A=A),有: 何a]Jb=aC\b AT]B=A]3B AeAljB^xeAQB DeMorgan原理的推广: 设「、…、…'是U的子集,则: ⑷扎网工帀>瓦仃石门04 ◎AjwrriA=4U^u-..u4 禺U-U4二瓦gnn忑 一个学校只有三门课程: 数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人;同时修数学、物理两门课的学生45人;同时修数学、化学的20人;同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。 问这学校共有多少学生? 解: 令: M为修数学的学生集合; P为修物理的学生集合; C为修化学的学生集合; 则|M|=170,|P|=130,|C|=120, 二45,=20,=22,=3 =|M|+|P|+|C|---I'-'I =170+130+120-45-20-22+3 =336 即学校学生数为336人。 例1: 求a,b,c,d,e,f六个字母的全排列中不允许出现ace和df图象的排列数。 解: 设A为ace作为一个元素出现的排列集, B为df作为一个元素出现的排列集, AAB为同时出现acedf的排列集。 •••|A|=4! ;|B|=5! ;|AAB|=3; 根据容斥原理,不出现ace和df的排列数为: 0门^|=6! -(5! +4D4-31=582 例2: 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。 解: 令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合, B为被5除尽的数的集合, AAB为能同时被3和5整除的数的集合。 \A 故能被3或5整除的数的个数为: |AUB|=|A|+|B|—|AAB|=166+100-33=233例3: 求由a,b,c,d四个字母构成的位符号串中,a,b,c,d至少出现一次的符号串数目。 解: 令A、B、C分别为n位符号串中不出现a,b,c符号的集合。 由于n位符号串中每一位都可取a,b,c,d四种符号中的一个,故不允许出现a的n位符号串的个数应是「,即: |A|=|B|=|C|=「; |AAB|=|AAC|=|B |AABAC|=1___ a,b,c至少出现一次的n位符号串集合即为: ' pr)5nc| =护_(国十国+|邙+(0门创 例4: 求小于120的素数的个数。 解: 因为「=121,故不超过120的合数必然是2、3、5、7的倍数,而且不超过120的合数的因子不可能都超过11。 设「为不超过120的数i的倍数集,i=2,3,5,7 凶门如=[罟■卜虫门屈=[制=8 120 2x3x7 =120-1^-1上|—|1|TT+|…G卄|-f-.: |+|-f「|+|.-: f_: |+|.-: .Q-r|+Zn-1-|- Zn-: 卜1…n: n-十|…n-: n〔十匸n.: n”+|…n: .nin-1=120-(60+40+24+17)+(20+12+8+8+5+3)-(4+2+1+1)=27。 注意: 27并非就是不超过120的素数个数,因为这里排除了2,3,5,7这四个数,又包含了1这个非素数。 2,3,5,7本身是素数。 故所求的不超过120的素数个数为: 27+4-仁30。 例5: 用26个英文字母作不允许重复的全排列,要求排除dog,god,gum,depth,thing字样的出现,求满足这些条件的排列数。 解: 所有排列中,令: •为出现dog的排列的全体; '为出现god的排列的全体; J为出现gum的排列的全体; '为出现depth的排列的全体; 丄: 为出现thing的排列的全体; 出现dog字样的排列,相当于把dog作为一个单元参加排列, 故|冷=24! 类似有: |讨=|讨=24! |十|、: |=22! 由于god,dog不可能在一个排列中同时出现,故: I•门…|=0; 类似有: |…小: 」=0;|n-|=0。 由于dog和gum可以在dogum字样中同时出现,故: 卜「上|=22! 类似的理由god和depth可以在godepth字样中同时出现,故|…n|=20! god和thing可以在thingod字样中同时出现,故: |-n.: |=20! ;|.n-.: |=0;卩n.: |=19! I-: n|=卩: n-: |=20! |: .|=0; 「1=0; I41,n: .n匸0; p,n: .n: |=「nn.: |=0; I.一,n: .n匸|…n: n十0 由于god、depth、thing不可以同时出现,故|「nn.: |=0;[-: .nn.: |=17! 其余多于3个集合的交集均为空集,不一一列举。 故所求的满足要求的排列数为: 26! -3>24! —2>22! +22! +4>20! +19! -17! =26! —3>24! -22! +4X20! +19! —17! 错排问题就是n个元素依次给以标号1,2,…,n。 N个元素的全排列中,求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。 设Ai为数i在第i位上的全体排列, i=1,2,...,n.因数字i不动,故: |\|=(n-1)! ,i=1,2,…,n。 同理|.■: n|=(n-2)! ,i,j=1,2,...n,i……。 每个元素都不在原来位置上的排列数为: 区n石n…n瓦| =.: y +'■: .'1'|—……±..| 助1(1_丄+丄—…±丄) ■112! nV 例1数1,2,…,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置的错排数目。 解: 实际上是1,3,5,7,9五个数的错排问题,总数为: 5! -C(5,1)4! +C(5,2)3! -C(5,3)2! +C(5,4)1! -C(5,5)=44。 例2: 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中,求使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的错排数目 解: 8个字母的全排列中令分别为表A,C,E,G在原来位置上的排列,贝 |AnAnAn儿|=8! -C(4,1)7! +C(4,2)6! -C(4,3)5! +C(4,4)4! =40320-20160+4320-480+24=24024 例3: 求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。 解: 8个字母中只有4个不在原来的位置上,其余4个字母保持不动,相当于4 个元素的错排,其数目为: 4! (1—1/1! +1/2! —1/3! +1/4! )=9。 故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为: C(8,4)9=630。 1■有限制排列 错排问题就是一种有限制条件的排列。 例: 4个x,3个y,2个z的全排列中,求不出现xxxx、yyy、zz图象的排列数解: 出现xxxx图象的排列记为』 出现yyy图象的排列记为< 出现zz图象的排列记为'■ xxxx作为一个单元出现进行排列,考虑到y重复3次,z重复2次,故 |6! /(3! 2! )=60, |十7! /(4! 2! )=105, |-: .|=8! /(4! 3! )=280, |小,|=4! /2! =12, |,m: |=5! /3! =20, |"计=6! /4! =30, |nm-: •=3! =6, 4个x,3个y,2个z的全排列中不同的排列数为9/(4! 3! 2! )=1260。 所以 Imn-: .| =1260—|「—|讨一|丄」+|n「|+|n讨+|…n-: .卜| =1260—(60+105+280)+(12+20+30)—6=871。 例1: 某校有12个教师,已知教数学的有8位,教物理的有8位,教化学的5位;数、理5位,数、化4位,理、化3位;数理化3位。 问教其他课的有几位? 只教一门的有几位? 只好教两门的有几位? 解: 令教数学的教师属于「,教物理的属于…,教化学的属于上。 则 R=12, : =I「1+IT+I十8+6+5=19; 二=Inq+|n: |+|丄n十12; '=「nn;I=3; 故教其他课的老师数为: 気=岛—F,+£—£=2 恰好一门的教师数: 気=只一2丘+3: =4 恰好教两门的老师数为: 齐=£—3尺=3 n对夫妻围坐问题 设n对夫妻围圈而坐,男女相间,每个男人都不和他的妻子相邻,有多少种可能的方案? 解: 不妨设n个女人先围成一圈,方案数为(n—1)! o对任一这样的给定方案,顺时针给每个女人以编号1,2,…,n设第i号与第i+1号女人之间的位置为第i号位置,1Wi51。 第n号女人与第1号之间的位置为第n号位置。 设第i号 女人的丈夫的编号也为第i号,Ki韦。 让n个男人坐到上述编号的n个位置上。 设陽是坐在第i号位置上的男人,则也工i,i+1,Ki51;金”工耳1。 这样的限制也即要求在下面3行n列的排列中 123n-1n 234n1 -一心 每列中都无相同元素。 满足这样的限制的排列称为二重错排。 设二重错排的个数为Yi.,原问题所求的方案数就是(n—1)! 。 设「为■-=i或i+1(1<——11),an=n或1的排列…匚的集合。 则|\|=2(n—1)! ,关键是计算 zIn^l 也就是从(1,2)(2,3)—1,-n()r(n,1)这n对数的k对中各取一数,且互 不相同的取法的计数。 这相当于从1,2,2,3,3,4,—1,-n—1,n,n,1中取k 个互不相邻数的组合的计数,但首尾的1不能同时取。 回想无重复不相邻组合 的计数: C'(n,r)=C(n—r+1,r), 这里所求的是C(2n-k+1,k)—C(2n-4-(k-2)+1,k-2)=C(2n-k,k)2n/G2n-k) (D! 抽屉原理 鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理,也叫抽屉原理。 即"若有n个 鸽子巢,n+1个鸽子,则至少有一个巢内有至少有两个鸽子。 " 367人中至少有2人的生日相同。 10双手套中任取11只,其中至少有两只是完整配对的。 参加一会议的人中至少有2人认识的别的参加者的人数相等。 例: 从1到2n的正整数中任取n+1个,则这n+1个数中,至少有一对数,其 中一个是另一个的倍数。 证: 设n+1个数是W…;•一。 每个数去掉一切2的因子,直至剩下一个奇数为止。 组成序列1\一。 这n+1个数仍在[1,2n]中,且都是奇数。 而[1,2n]中只有n个奇数。 故必有■-■-r,则: 若则「是二的倍数。 例: 设■<-: …,是正整数序列,则至少存在k和I,1 S^Ta, +…+「是m的倍数。 证: 设=,•戸: '•,modm,OWWm-1,h=1,2,…,。 若存在I,&尸0modm则命题成立。 否则,1W 但h=1,2,…冋由鸽巢原理,故存在: .=■, 即二三,,不妨设h>k。 则 +…+■\=0modm 例: 设「;: ,: •为任意3个整数,为-,□,'〔・的任一排列,贝d—I,s—v,匚——: •中至少有一个是偶数。 证: 由鸽巢原理必有两个同奇偶•设这3个数被2除的余数为xxy,于是二,「】,•: .中被2除的余数有2个x,一个y。 这样’1—二,’匚——】,’〔•——: •被2除的余数必有一个为0。 例: 设「;_,「;…是由1和2组成的序列,已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16.即卩碍+%+•••+£+9w16Ki<,1则至少存在h和k,k>h,使得i+"…+「;,=39。 鸟= 证: 令,j=1,2,…,100。 显然。 v]<•••<‘.‘,且“=('〔+…+〔‘)+('1一 +…+・)+•••+(+…+')根据假定有r: .‘w10x16=160乍序列p,2,•••,,",<+39,…,二,+39。 共200项.其中最大项二+39<160+39由鸽巢原理,必有两项相等.而且必是前段中某项与后段中某项相等.设+39,k>h,二 =39,即'\+「-+•••+・.=39。 错排问题就是n个元素依次给以标号1,2,…,n。 N个元素的全排列中,求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。 设Ai为数i在第i位上的全体排列,i=1,2,...,n.因数字i不动,故: |'4(n—1)! i=1,2,...,n。 同理I’(n—2)! i,j=1,2,...n,i……。 每个元素都不在原来位置上的排列数为: =;*二―; +'■: .■-■| —……±'..| 助i(i-丄+丄—…±丄) ■112! n\ 例1: 数1,2,…,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置的错排数目。 解: 实际上是1,3,5,7,9五个数的错排问题,总数为: 5! —C(5,1)4! +C(5,2)3! —C(5,3)2! +C(5,4)1! —C(5,5)=44。 例2: 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中,求使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的错排数目 解: 8个字母的全排列中令•“…,「厂分别为表A,C,E,G在原来位置上的排列,贝 皿皿仏冲=8! -C(4,1)7! +C(4,2)6! —C(4,3)5! +C(4,4)4! =40320—20160+4320—480+24=24024. 例3: 求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。 解: 8个字母中只有4个不在原来的位置上,其余4个字母保持不动,相当于4个元素的错排,其数目为: 4! (1—1/1! +1/2! —1/3! +1/4! )=9。 故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为: C(8,4)9=630。 有限制的错排 例: 4个X,3个y,2个z的全排列中,求不出现xxxx、yyy、zz图象的排列数解: 出现xxxx图象的排列记为. 出现yyy图象的排列记为- 出现zz图象的排列记为i: . xxxx作为一个单元出现进行排列,考虑到y重复3次,z重复2次,故 |戶6! /(3! 2! )=60, |十7! /(4! 2! )=105, |: .|=8! /(4! 3! )=280, |仆怜4! /2! =12, |小: .|=5! /3! =20, |一心: |=6! /4! =30, |: •=3! =6, 4个x,3个y,2个z的全排列中不同的排列数为9/(4! 3! 2! )=1260。 所以 「mn-: .| =1260—||讨一|讨+|.门制+|门讨+|-小讣|「 =1260—(60+105+280)+(12+20+30)—6=871。 例1某校有12个教师,已知教数学的有8位,教物理的有8位,教化学的5位;数、理5位,数、化4位,理、化3位;数理化3位。 问教其他课的有几位? 只教一门的有几位? 只好教两门的有几位 解: 令教数学的教师属于•「,教物理的属于…,教化学的属于上。 则 叽=12, ■=|「|+|…|+|-: |=8+6+5=19; =|「和J+|2讨+|二n\-|=12; 「=pnn|=3; 故教其他课的老师数为一: 気=人—F,+R—也=2 恰好一门的教师数: _ 気=只—2丘+阴=4 恰好教两门的老师数为: 齐=£—3出=3 例2: n对夫妻围坐问题 设n对夫妻围圈而坐,男女相间,每个男人都不和他的妻子相邻,有多少种可能的方案? 解: 不妨设n个女人先围成一圈,方案数为(n—1)! o对任一这样的给定方案,顺时针给每个女人以编号1,2,…,n设第i号与第i+1号女人之间的位置为第i号位置,1Wiw—1o第n号女人与第1号之间的位置为第n号位置。 设第i号女人的丈夫的编号也为第i号,K
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