概率统计练习四期望与方差docx.docx
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概率统计练习四——期望与方差
1.给出如下叙述:
①某座大桥一天经过的车辆数为E;②某无线电台一天收到的寻呼次数
为E;③一天之内的温度为E;④一射手射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用E表
示射手一次射击中的得分•上述问题中的E是离散型随机变量的是()
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④
PC:
")=a(丄)打=1,2,3,则a的值为(
3
9
11
A.1B.
C.
13
13
3.设某批电子手表正品率为
3/4,次品率为
2.设随机变量'的分布列为
次测到正品,则P(=3)等于()
27
D.
13
1/4,现对该批电子手表进行测试,设第次首
21232321123
AU)(卫;")(/;°(4)(才;D.
4.10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取出一球,直到第n次才取得kk_n次红
球的概率为()
A.乜”2廿B..C晋匚.C罟卩门9尸
10101010n-101021010
5.已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品。
需要从中取出2个正品,每次从中取
出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止,设E为取出球的次数,贝UEE=。
6.某自然保护区内有n只大熊猫,从中捕捉t只体检后加上标志再放回保护区,一年后再从
保护区捕捉m只大熊猫(设该区内大熊猫总数不变),则其中有s只大熊猫是第二次接受
体检的概率为.
7.某园林局对1000株树木的生长情况进行调查,其中槐树600株,银杏树400株。
现用分
层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株,其中银杏树树干周长(单位:
cm)的抽
查结果如下表:
树干周长(单位:
cm)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
株数
4
18
x
6
则x的值为;若已知树干周长在30cm到40cm之间的4株银杏树中有1株患有
虫害,现要对这4株树逐一进行排查直到找出患虫害的树木为止。
则排查的树木恰好为2
株的概率为。
若设需要排查的树木数为随机变量X,则X的分布列为。
一1
8.某人参加射击,击中目标的概率是-.
3
1设E为他射击6次击中目标的次数,求随机变量E的分布列;
2设n为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求n的分布列;
3若他连续射击6次,设E为他第一次击中目标时之前射击的次数,求E的分布列;
4若只有6颗子弹,他击中目标,则不再射击,否则直到子弹打完,求他射击次数E的
分布列。
9.
如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的•某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C,
则分别设为1,2,3等奖.
(I)已知获得I,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,
90%•记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣
率,求随机变量的分布列及期望E;
(II)若有3人次(投入I球为I人次)参加促销活动,
记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次,求P(=2).
1
10.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋
7
中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取”取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用•表示取球终止所需要的取球次
数•(I)求袋中所有的白球的个数;(II)求随机变量'的概率分布;(III)求甲取到白球
的概率•
11.在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3
分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,
某同学在A处的命中率q1为0.25,在B处的命中率为q2,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用•表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为
0
2
3
4
5
p
0.03
P1
P2
P3
P4
(I)求q2的值;(H)求随机变量'的数学期望E';(H)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.
12.请用你学过的概率统计学知识阐述“标志重捕法”的根据
【参考答案】
1.B2.C3.C4.C
有E=2P(F:
=2)3P(F:
=3)4P^-4^22。
9
sm_s
Ct5」
次,
故分布列为:
X
1
2
3
P
1/4
1/4
1/4
【错因】上述分布列显然有问题:
概率之和不等于1.其错误在于:
认为事件“X=3
的含义是“前两次未查处,第三次查出”。
如何正确理解事件“X=3”的确切含义是解题
的关键!
其含义应是:
排查第三次无论是查出还是查不出,都有确定而明朗的结果了,故事件“X=3”包括两种情况:
“前两次未查处,第三次查出”和“三次都未查出”
P(X=3)-
43
故正确的分布列为:
X
1
2
3
P
1/4
1/4
1/2
8.【分析】从题目不同的叙述中仔细体会并鉴别不同特点的概率模型。
【解答】①射击一次就相当于“做一次试验”,这试验是可重复的,故随机变量E服从二项
1
分布B(6,—),而E的取值为0,123,4,5,6,贝U
3
12
P二k=C:
()k(严—0,1,234,5,6,
33
故E的分布列为:
•••n的分布列为
n
1
2
3
4
k
P
1
3
21
A
33
221
(一)-
33
白3
2k_11
(一)-
33
③设E=k—1表示前k—1次未击中目标,而第k次击中目标,E的取值为0,1,2,3,4,5,
当E=6时,表示射击6次均未击中目标,则
u2k1x26
P二k=(-)kk71,2,3,4,5,而P=6十)6,
333
.'的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
P
1
2
4
8
16
32
64
3
9
27
81
243
729
2187
④设=k,表示前k-1次未击中,而第k次击中,k=1,2,3,4,5,
」h2k』1」
P=k=(o)o—123,4,5;
33
而.=6表示前5次未击中,第6次可以击中,也可以未击中,则P=6i;=(Z)5,
故'的分布列为:
1
2
3
4
5
6
P
1
2
4
8
16
32
3
9
27
81
243
729
【小结】上述第①小题容易鉴别为n次独立重复试验(二项分布)模型,第②小题则为项数无限的几何分布;而第③④小题都是项数有限的几何分布。
对于后三小题,可以不必知道是
几何分布,但是必须会从所设随机变量来仔细体会其含义,鉴别其属性,进而准确求出相应概率。
9.【解答】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概
念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
(I)由题意得E的分布列为:
E
50%
70%
90%
P
3
3
7
16
8
16
3373
则EE二一X50%+—X70%+—90%.
168164
339
(□)由(I)可知,获得1等奖或2等奖的概率为-+-=—.
16816
可得门=3或门=-2(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,•的可能取值为1,2,3,4,5,则
3;P(=5)=43213=1
357654335
所以•的分布列为
E
1
2
3
4
5
P
3
2
6
3
1
7
7
35
35
35
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事
22件A,则P(A)=P=1P=3P=5二
35
11.【分析】本题的特点是给出分布列的部分信息来分析解决问题,这还需要结合“投篮”
这一稍为复杂事件分解成若干更为基本的独立与互斥事件来考虑。
【解答】
(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且
P(A)=0.25,P(A)二0.75,P(B)=q2,P(B)=1-q?
.
根据分布列知:
=0时P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.75(1-q2)2=0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8.
(2)当=2时,Pi=P(ABBABB)二P(AbB)P(ABb)
=P(A)P(B)P(B)+P(N)P(B)P(B)=0.75q2(1—q?
)>2=1.5q2(1—q2)=0.24
当=3时,P2=P(ABB)二P(A)P(B)P(B)=0.25(1—q2)2=0.01,
当=4时,P3=P(ABB)=P(A)P(B)P(B)=0.75q22=0.48,
当=5时,P4=P(aBbAB)二P(ABB)P(AB)
二P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)=0.25q2(1-q2)0.25q2=0.24
所以随机变量'的分布列为
£
0
2
3
4
5
p
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
随机变量■的数学期望E、00.0320.2430.0140.4850.24=3.63
(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为
P(BBBBBBBB)二P(BBB)P(BBB)P(BB)
22
=2(1-q2)q2q20.896;
该同学选择
(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
12.生物统计学上研究一个区域的生态情况,有一种方法叫做“标志重捕”法,意思是说:
研究一个区域内的某种动物的生存发展情况,主要是种群数量,由于区域地形复杂、动物特
性、群体数量庞大等多种原因,难以将它们一一捕获进行研究.研究人员采取如下做法:
如
研究某山区某一类鸟的繁殖数量,捕获s只,做上标志,过一段时间后再捕获M只,检查做
过标志的有t只,研究人员就可估计此山区这类鸟的总数量N为N二型•你知道研究人员
t
这样做的道理吗?
【分析】对此跨学科的实际应用问题,可用概率统计学知识给予解释。
【解答】解释1当此山区这类鸟总数量(即总体容量)N很大时,可以用样本频率丄去近
M
stssM
似估计总体频率-,即,于是有N.这是最通俗、最易为广大读者所接受的
NMNt
解释•
解释2当N很大时,可以认为这一试验近似为M重独立重复试验.设第2次捕鸟所捕的
s
M只鸟中含有标志鸟数为随机变量•,第2次捕鸟每捕到一只是做标志的鸟的概率为P二上,
N
则•服从二项分布B(M,讣随机变量•的期望值(即做标志鸟数的平均值)为E二M眷我们把E•作为t的估计值.于是令E=t,易得N二sM•
解释3设第2次捕鸟所捕的M只鸟中含有标志鸟数为随机变量•,则有k只鸟做标志的
P(F:
=k)sM-kN
可得1•
P(©=k-1)N(N-s-M+k)
当sM-kN0时,P(二k).P(=k-1),有P(=k)单调递增;
当sM-kN:
:
0时,P「二k):
:
:
P「二k一1),有P(二k)单调递减;
当sM-kN=0即N工字时,P「二k)达到最大值.我们把半作为此山区这类鸟
kk
一、、sM
总数的估计值.显然我们取t=k,即N■•
t
【小结】“标志重捕法”是一种很典型而常用的生物学统计方法,可以从用样本估计总体、
独立重复试验、超几何分布等统计模型给予合理解释。
解释3中的分布是超几何分布,其期
证明如下:
s
kMMV
首先证明结论(Cs/CnJ二CN_1:
kd
N-1s-JN-sM-1
在恒等式(1x)=(1x)(1-x)展开中两边都取x项的系数,有左边为
s
k-1M-4M~4
即(Cs4CN_s丿-CN4°kd
CSM上
P(=k)加,k=o,12,s.则
CN
s
E八kP(
k_0
k.
CsC
M_k
N_s
应用上述结论有
若直接应用结论
M
CNJ
sM
N
sM
M
CN
(Csk;C
M_k
N_s
).
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