北京市高考试题立体几何大全.docx
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北京市高考试题立体几何大全
2011-2017北京市高考试题立体几何汇编
1、(2011文5)某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥的表面积是()
A.32B.16+16,2
C.48D.16+322
2、(2011理7)某四面体的三视图如右图所示,个面的面积中最大的是()
A.8B.6,2D.82
3、(2012理7,文7)某三棱锥的三视图如右图所示,该三棱锥的表面积是()•
A.286.5B.306.5
C.5612.5D.6012,5
4、(2013,文8)如右图,在正方体ABCD-ABCD中,P为对角线BD的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有().
A.3个B.4个C.5个D.6个
5、(2013,文10)某四棱锥的三视图如下图所示,该四棱锥的体积为.
h—2—l-h
M-I2H
黜左拠图
&(2013,理14)如右图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1
中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CG的距
离的最小值为.
7、(2014,理7)在空间直角坐标系
Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),
D(1,1^2),若S,S2,S3分别表示三棱锥
ABC在xOy,yOz,zOx坐
标平面上的正投影图形的面积,则
(A)S1S2S3
(B)S1S2且SS3
(C)S,S3且S2S3(D)S2S3且SS3
8、(2014,文11)某三棱锥的三视图如右图所示,则该
三棱锥的最长棱的棱长为
9、(2015理5)某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的表面积是
2
\
V
\
\
2
侧(左)视图
A.25
10、(2015文7)某四棱锥的三视图如右图所示,该四
棱锥最长棱的棱长为
(A)1(B)诂勺(B)'(D)2
11、(2016理6)某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为()
A.丄B.丄C.丄D.1
632
12、(2016文11)某四棱柱的三视图如右图所示,则该四棱柱的体积为.?
13、(2017理7)如右图,某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()
(A)32
(B)2_3
侧(在:
•槐国
(C)22
(D)2
DC丄PACPAB丄PACEABPBFPA丄CEF
(2)求证:
平面MO丄平面EAB.
(3)求三棱锥E-ABC的体积。
20、(2015理17)如图,在四棱锥AEFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFIIBC,BC4,EF2a,EBCFCB60,0为EF的中点.
(I)求证:
AOBE;
(II)求二面角FAEB的余弦值;
(川)若BE平面AOC,求a的值.
21、(2014文17)如图,在三棱柱ABCABQ,中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,E、F分别为AG、BC的中点.
(1)求证:
平面ABE平面B1BCC1;
(2)求证:
GF〃平面ABE;
(3)求三棱锥EABC的体积.
22、(2014理17)如图,正方形AMDE的边长为2,B、C分别为AM、MD的中点,
在五棱锥PABCDE
中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.
(I)求证:
AB//FG;
(U)若PA平面ABCDE,且PAAE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,
并求线段PH的长.
23、(2013理17)如图,在三棱柱ABCABC中,AAGC是边长为4的正方形.平面ABC平面AAGC,AB3,BC5.
(I)求证:
AA1平面ABC;
(U)求证二面角ABGB!
的余弦值;
(川)证明:
在线段BG上存在点D,使得ADAB,并求黑的值.
AL,
24、(2013文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CDAB丄AC,CD=2AB,平面PADL平面ABCDPA丄和F分别是CD和PC的中点.求证:
⑴PA丄底面ABCD
⑵BE//平面PAR
⑶平面BE巳平面PCD
25、(2012,文16)如图1,在Rt△ABC中,/C=90,D,E分别为ACAB的中点,点F为线段CD上的一点,将厶AD0ftDE折起到△ADE的位置,使AF丄CD如图2。
(I)求证:
DE//平面ACB
(II)求证:
AF丄BE;
(III)线段AB上是否存在点Q使AC丄平面DEQ说明理由。
(IV)
图1图2
26、(2012理16)如图1,在RtABC中,C
AC6,D、E分别为AC、AB上的点,且
ADEDEADEA,CCD2ACBCDE
MA1DCMA1BEBCPA,DPABE
PABCDPAABCDABCD
AB2,BAD60BDPACPAABPB
ACPBCPDCPA(I)求证:
DE//平面BCR
(U)求证:
四边形DEF助矩形;
(川)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等说明理由.
答案:
1、B2、
C
3、B4、B
5、3
6、
2一T
7、D
5
8229、C10、
C
11、A12、
313
、B
14
、D
2
15、(I)设AC,BD交点为
E,连接ME•
因为PD//平面MAC
,平
面MAC^平面
PDB
ME,
所以
PD/ME
因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点•
如图建立空间直角坐标系
Oxyz,则P(0,0,.2),D(2,0,0),B(2,4,0),
BD(4,4,0),PD
(2,0,-2).
令工=1,则f二i,tsm=cu=^)
平面PAD的法向量为&0),所以=-
l«l|Pl2
由题知二面角BPDA为锐角,所以它的大小为
(III)由题意知M(1,2,-^),C(2,4,0)
2
设直线MC与平面BDP所成角为,
sin|cos
|n||MC|9
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2-6.
9
16、解:
(I)因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC,又因为BD平面ABC,所以PABD.
(II)因为ABBC,D为AC中点,所以BDAC,
由(I)知,PABD,所以BD平面PAC.
所以平面BDE平面PAC.
(Ill)因为PA//平面BDE,平面PACp]平面BDEDE,所以PA//DE.
因为D为AC的中点,所以DE-PA1,BDDC.2.2
由(I)知,PA平面ABC,所以DE平面PAC.
11
所以三棱锥EBCD的体积V1BDDCDE-.
63
17、(I)证明:
•••平面PADL平面ABCD且平面PAD?
平面ABCD=AD且AB丄ADAB?
平面ABCD
•••AB丄平面PAD
•••PD?
平面PAD
•••AB丄PD,
又PDLPA且PA?
AB=A
•••PDL平面PAB
(U)解:
取AD中点为0,连接COPO
-CD=AC=匚,
•••COAD,
又•••PA=PD
•••POLAD.
以0为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:
则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,—1,0),C(2,0,0),
由(U)知,A(0,1,0),P(0,0,1),區©-1,1),B(1,1,0),
汕:
-I,
则有…占:
可得M(0,1-入,入),
••閒=(■1,■k,k),•••BM/平面PCD;二(寺-1,1)为平面PCD的法向量,
•••顾■:
二0,即一务入十k二0,解得入誌.
综上,存在点M,即当时,M点即为所求.
AP4
18、证明:
(I)因为PC丄平面ABCD,所以PC丄DC,
又因为DC丄AC,
所以,DC丄平面PAC.
(n)因为AB//DC,DC丄AC,所以AB丄AC,
又因为PC丄平面ABCD,所以AB丄PC,
所以AB丄平面PAC.
由AB?
平面PAB,所以平面PAB丄平面PAC.
(川)棱PB上存在点F,使得PA丄平面CEF,理由如下:
取PB的中点F,连结EF,CE,CF.
因为点E为AB的中点,所以EF//PA.
又因为PA不在平面CEF内,所以PA//平面CEF.
19、解:
(I)因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM又因为VE平面MOC
所以VB(II)因为AC=BC,O为AB的中点,
所以OCAB.
又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.
(III)在等腰直角三角形ACB中,ACBC2,
所以AB2,OC1.
所以等边三角形VAB的面积Svab3.
又因为OC平面VAB,
所以三棱锥CVAB的体积等于-OCSvab.3.
3\3
又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等,
所以三棱锥VABC
■■3
20、解:
(I)因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,
所以ACLEF.
又因为平面AEF丄平面EFCBAO平面AEF,
所以AO丄平面EFCB.
所以AO丄BE.
(H)取BC中点G,连接OG.
由题设知EFCB是等腰梯形,
所以OG!
EF.
由(I)知AOL平面EFCB
又OG平面EFCB
所以OA!
OG.
如图建立空间直角坐标系O-xyz,
则E(a,0,0),A(0,0,.3a),
B(2,亦(2-a),0),eA=(-a,0,),
设平面ABE的法向量为
n=(x,y,z)
则:
neA0?
即BE0?
ax、3az0?
(a2)x.3(a2)y0
令z=1,贝Ux=3,y=-1.于是n=(3,-1,1)
平面AEF是法向量为p=(0,1,0)
由题知二维角F-AE-B为钝角,所以它的余弦值为
(川)因为BEX平面AOC所以BE!
OC即乍EOC
0),OC=(-2,
0.
因为BE=(a-2,3(a-2),
所以bEoC=-2(a-2)-3(a
J3(2-a),0),
2)2.
4
a=.
3
21、
(1)证明:
•••三棱柱ABC-A1B1G中,侧棱垂直于底面,•••BBi丄AB
•/AB丄BCBBABC=B
•AB丄B1BCG,
•/AB?
平面ABE
•平面ABELB1BCC;
(H)证明:
取AB中点G,连接EQFQ则
•••F是BC的中点,
•••FG//ACFG=LaC,
2
•••E是AG的中点,
•FG//EG,FG=EC,
•四边形fgec为平行四边形,
•CiF//EG•CiF?
平面ABEEG?
平面ABE
•CiF//平面ABE
(川)解:
•AAi=AC=2BC=1,AB丄BC
E-AB=
22、解:
(I)在正方形AMDE中,因为B是AM的中点,所以AB//DE.又因为AB平面PDE,所以AB//平面PDE.因为ABABF,且平面ABF平面PDE
FG,所以AB//FG.
(II)因为PA底面ABCDE,所以PAAB,PAAE.
C2,1,0,P0,0,2,F0,1,1
1,1,0
.设平面ABF
的法向量为nx,y,z,则n
n
0,,即
0,
:
0.令z
.所以n
0,1,1.
设直线BC与平面ABF所成角为
,则sin
cosn,
nBC
n||bC
1.因此直线BC与
2
平面ABF所成角的大小为n.设点
6
的坐标为
u,v,w.因为点H在棱PC上,
所以可设
phPc0
1,即u,v,w
2,1,
2.所以u2,v,w2
2.因为n
是平面ABF的法向量,所以naH
0,即0,1,12,,220.解得
一422
点H的坐标为3,?
3.所以PH
2
42.
3
23、解:
⑴因为AACiC为正方形,所以AA丄AC
因为平面ABCL平面AACC,且AA垂直于这两个平面的交线AC,所以AA丄平面ABC
(2)由
(1)知AALACAALAB
由题知A吐3,BC=5,AC=4,所以AB丄AC
如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),Ai(0,0,4),Bi(0,3,4),C(4,0,4).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
0,即3y4zo,
0,4x0.
令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).
同理可得,平面BBC的法向量为(3,4,0).
所以cos〈n,m〉=nm16
|n||m|25
由题知—面角Ai—BC—Bi为锐角,
所以二面角A—BG—Bi的余弦值为16.
25
⑶设qx,y,z)是直线BC上一点,且
所以(x,y—3,z)=入(4,—3,4).
解得x=4入,y=3—3入,z=4入.
由AD•
-A1B=
0,即卩9—25X
=0,解得
_9
25
因为—
€[0,1]
,所以在线段
BC上存在点
D,使得
25
此时,
BD
9
BC1
25
所以
=(4入,3—3入,4入).
ADLAiB.
24、证明:
(1)因为平面PADL底面ABCD且PA垂直于这两个平面的交线AD,
所以PAL底面ABCD
(2)因为AB//CDCD=2AB,E为CD的中点,
所以AB//DE且A吐DE
所以ABED为平行四边形.
所以BE//AD
又因为BE平面PADAD平面PAD
所以BE//平面PAD
⑶因为AB丄AD而且ABED为平行四边形,
所以BELCDADLCD
由⑴知PA丄底面ABCD所以PALCD
所以CD!
平面PAD所以CDLPD
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD//EF所以CDLEF.
所以CD!
平面BEF
平面BEFL平面
PCD
25、
“曲已鬧心扩壮皿〃斫以DE丄』
所UM丄W"EW
(DD约段"上存在恵0—平面。
£0理由如N如图・分制収命匚討:
B的中点p・e-ZPQHBf、
丈阳为防:
M・
所UDERPQ.
所IU单面DEQ如为¥面DAT・
由(11>知"凝丄半面右DC-
所目IDF;丄右「,
乂因为P卑零R*ft雁DAyC氓进H&的中点・
J.DP,
WU^iC丄甲面DEP.
从面比Q丄平箭DEQ’
故线讹dM1-心在点0・ItitJd,C丄曙血DEy*
DE平面ACD,
又AC平面ACD,
26、解:
(1):
CDDE,AEDE
AC
DE
又AC
CD,
AC
平面BCDE
(2)如图建系Cxyz,则D2,0,0,AO,0,23,BO,3,0,E2,2,0
设平面ABE法向量为.nx,y,z
3y
2
y
2
则A1Bn0...3y23zA^En02xy
又•••
1,
…n
1,0,3
…cos
|CM||n|
14313
与平面ABE所成角的大小45
(3)设线段
则A1P
0,a,
23,
DP2,
设平面ADP法向量为1
X1,%,
则ay1
23z1
0.
z
"_;3
ay1
6
2x1
ay10
x
1
ay1
2
.n
3a,6,
3a
假设平面
LL
ADP与平面
ABE垂直
则n1n
0,
BC上存在点P,设P点坐标为
0
a,
Z1
•3a123a0,6a12,a
,则a0,3
•••0a3
•••不存在线段BC上存在点P,使平面
ADP与平面ABE垂直
27、(I)因为四边形ABCD是菱形,
所以ACLBD.
又因为PAL平面ABCD.
所以PALBD.
所以BDL平面PAC.
(n)设Acnbd=o.
因为/BAD=60,PA=PB=2,
所以BO=1AO=CO=3.
如图,以o为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则
P(0,—73,2),A(o,—73,0),B(1,0,0),c(0,J3,0)
设P(0,—J3,t)(t>0),则bp(1,\3,t),
设平面PBC的法向量m(x,y,z),则BCm0,BPm0,
x3jy0,
所以、y,
x^/3ytz0
令y-3,则x3,z6.t
6
所以m(3,-3,-)-
同理,平面PDC的法向量n(3八3,半),
因为平面PCBL平面PDC,
所以mn=0,即6=0,解得t6,
t2
所以PA=.6.
28、解:
(I)因为D,E分别为AP,AC的中点,
所以DE
1
丄分别取PCAB的中点MN连接MEEN,NGMGMN
2
EG的中点Q,
与(n)同理,可证四边形MEN劭矩形,其对角线点为
且QM=QN=EG所以Q为满足条件的点.
2
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