中考数学考点第09讲不等式组及其应用.docx
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中考数学考点第09讲不等式组及其应用
第9讲 不等式(组)及其应用
1.不等式的基本性质
性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不改变;如果a>b,那么a±c>b±c;
性质2:
不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号方向不改变;如果a>b,c>0,那么ac>bc,
>
;
性质3:
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变;如果a>b,c<0,那么ac < . 2.一元一次不等式 (1)定义: 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,且不等式左右两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式. (2)解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变). (3)解集在数轴上表示: ①画数轴 ②定边界 ③定方向 x>a x<a x≥a x≤a 3.一元一次不等式组 (1)定义: 一般地,关于同一个未知数的几个不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组. (2)一元一次不等式组的解集: 组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集. 注意: 不等式的解可以是一个或多个数值,而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合. (3)解一元一次不等式组的步骤: ①分别解每个一元一次不等式;②在数轴上表示各不等式的解集;③确定各不等式解集的公共部分;④得到不等式组的解集; (4)几种常见的不等式组的解集(a>b,且a、b为常数): 不等式 组(a>b) 图示 解集 口诀 x≥a 同大取大 x≤b 同小取小 a≤x≤b 大小、小大 中间找 无解 小小、大大 找不到 4.一元一次不等式的应用 (1)列不等式解应用题的基本步骤: ①审题;②设元;③找出能够包含未知数的不等量关系;④列出不等式;⑤解不等式;⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值;⑦写出答案. (2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系,如最大利润、最优方案等,一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(>)”、“不大于(≤)”等词,要正确理解这些词的含义. 考点1: 解一元一次不等式 【例题1】(2018广西桂林)(6.00分)解不等式 <x+1,并把它的解集在数轴上表示出来. 【解析】: 去分母,得: 5x﹣1<3x+3, 移项,得: 5x﹣3x<3+1, 合并同类项,得: 2x<4, 系数化为1,得: x<2, 将不等式的解集表示在数轴上如下: 归纳: 1.本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解不等式的步骤: ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1;2.将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上,体现数形结合的思想;3.在画图时,先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈,再确定方向(大向右,小向左). 考点2: 解一元一次不等式组 【例题2】(2018·自贡)解不等式组 并在数轴上表示其解集. 【解答】解: 解不等式①,得x≤2. 解不等式②,得x>1. ∴不等式组的解集为1<x≤2. 将其表示在数轴上,如图所示. 归纳: 在数轴上表示解集时,大于号向右,小于号向左,有等号的用实心圆点,无等号的用空心圆圈. (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用,即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,不等号要改变方向; (2)求不等式组的整数解时,“实心”点所表示的实数如果是整数,则该点也是所求整数解,如果不是整数,要从离该点最近的整数点开始算起;“空心”点所在的实数如果是整数,则该点不是整数解,如果不是整数,则要从解集中离该点最近的整数点开始算起. 考点3: 一元一次不等式的实际应用 【例题3】(2019湖南益阳10分)为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾•稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价﹣成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元. (1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价; (2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为25元/千克,该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克? 【分析】 (1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意列出方程组,解方程组即可; (2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意列出不等式,就不等式即可. 【解答】解: (1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元, 由题意得: , 解得: ; 答: 去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元; (2)设今年稻谷的亩产量为z千克, 由题意得: 20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000, 解得: z≥640; 答: 稻谷的亩产量至少会达到640千克. 归纳: 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用;根据题意列出方程组或不等式是解题的关键.归纳总结: 1.利用不等式(组)解决实际问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.2.在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法,对方案的优劣进行探讨. 考点4: 一元一次不等式与其它知识的综合应用 【例题4】(2018·河北中考预测)如图,在数轴上有A,B,C,D四点,点A对应的数为a,点B对应的数为3,点D对应的数为t,若CD=4,且在数轴上移动. (1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧,求a的取值范围,并把解集表示在数轴上; (2)当t为何值,且是整数时,点B落在C,D两点之间. 【解析】: (1)∵AB=3-a,2AB表示的数始终位于点A的左侧, ∴2(3-a)2. ∵a<3,
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- 中考 数学 考点 09 不等式 及其 应用