正方体展开图规律.docx
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正方体展开图规律
正方体展开图规律
一、基本知识
1.点、线、面、区域的关系---平面图形和立体图形的欧拉公式 2.截面形状的确定
①立方体被某平面所截,可以得到截面形状有:
三角形、四边形、五边形、六边形。
②其他图形的截面。
例:
圆锥被被某平面所截,可以得到截面形状有:
三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
尤其是圆锥被平行于轴对称面的竖直平面截取,截面形状不是三角形,而是抛物线。
二、正方体展开图规律的研究
试着将一个正方体的盒子剪开,我们会发现:
随着剪纸的方向不同,展开图完全不同,似乎没有什么规律可遵循,但不要着急,换个角度来考虑问题。
我们知道,所有正方体都是六个面,同时找6个面展开图的分布规律的确很困难,我们能不能先找出其中4个面展开的分布规律,然后再研究其他两个面的分布规律呢?
4个面展开的分布规律有两个。
最容易想到的分布规律是第一个,如图1,我们称其为“长方形结构”
它组合起来恰好是一个无两个底的立方体桶状图形,仅缺少上下两个底面,而上下两个底面的位置恰好可由上图中的的上下两条边来定,图2中标号为1的面其位置有4个,代表上底面,标号为2的面其位置也有4个,代表下底面。
第2个分布规律如图3所示,我们可以形象地称它为“Z字结构”,大家一定能想象到,它拼合起来是个什么图形,对,应该是个类似撮箕的东西,现在缺少两个面:
上边的面和前边的面,我们现在研究如何把2个面补上。
经研究发现,当我们将一个面连接在AB、BC、DH边上时,恰好可以封闭上面的面,而将另一个面连接在AE、FG、GH边上时,可以封闭前面的面。
由于Z字结构可看成是由两个图形“┐”和“└”叠加而成,而拼合时,C和D两点重合,E和F两点重合,故AB、BC、DH恰好位于“┐”边上, AE、FG、GH则恰好是位于“└”边上。
找到规律后,我们便可以很方便的确定具有Z字结构的分布规律。
图4给出了两种具有
图1 分布规律一 图2 展开图例
1 2 1 2 C
B A H
G F E
D 图3 Z字结构分布规律
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Z字结构的正方体展开图,其中图4 A是正写的Z字,图4 B是反写的Z字。
反写的Z字,其分布规律和正写的Z字类似,区别仅仅是将反写Z看成是两个图形┌和叠加而成。
我们研究不难发现,如果展开图旋转、翻转,移动可以重合的算同一种情况,则正方体展开图不同的共有11种情况。
三、展开图的特点 1.对面的确定,
①Z字结构的头和尾属于对面,②对于
面1和面3为对面。
2.展开图中的垂直边,在组成正方体时会重合。
3.重合的顶点确定
图4 Z字结构展开图例 (A) 正写Z字结构 (B) 反写Z字结构 1 3
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4.展开图中某些面上线的画法。
基本做法,先原图中按顺序读。
再在展开图中按顺序写出即可。
D C B
D1
B1
C1 A1
A
◎ △
◎ ◎ △
○ ○ ☉ ☆ ☉ ☆ A B C D B C B1
C1 D1 D A1 A D1 C1
A B C D
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四、右手法则:
面2、面3和面1的组成符合右手法则,因此不论立方体如何旋转,面2、面3和面1的组成符合右手法则的规律不变,通过右手法则,可以很容易判断立方体所对应的展开图。
例1:
把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如右下图),请根据各面上的图案判断这个正方体是( )
例2:
如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是 ( )
五、视图的规律
将俯视图看做是一块地,地中长了很多麦子,将左视图和主视图想象为土地上长出的麦子的投影,因为麦子有高有低。
所以对应的左视图和主视图将不同。
例1. 下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图。
这些相同的小正方体的个数是( )
例2. 由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图(如图7)。
2
3 1 1
2 3 (正方体纸盒) (A) (B)
(C) (D)
图7
(1)请你画出这个几何体的一种左视图;
(2)若组成这个几何体的小正方形的块数n,请你写出n的所有可能值。
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