八年级数学理科班讲义教学几何证明.docx
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八年级数学理科班讲义教学几何证明
8、八年级数学理科班:
直角三角形全等判定、性质
姓名
一、【直角三角形全等的特殊判定方法】
知识要点:
一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
简记为HL。
1、【定理证明】
已知:
如图,在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,AC=A’C’,AB=A’B’
求证:
Rt△ABC≌Rt△A’B’C’
2、【直角三角形全等判定方法梳理】
如图,具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A’B’C’(其中∠C=∠C’=90°)是否全等?
如果全等在()里打“√”,并在“——”上填写判定三角形全等的理由,如果不全等,在()里打“×”.
(1)AC=A’C’,∠A=∠A’()_______
(2)AC=A’C’,BC=B’C’()_______
(3)AB=A’B’,BC=B’C’()_______
(4)∠A=∠A’,∠B=∠B’()________
3、【应用练习】
选择题
1.下列说法正确的有()
1斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
2两条边分别相等的两个直角三角形全等
3两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
4斜边相等的两个等腰直角三角形全等
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知,如图,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于O,
且BD=CE,则图中全等的三角形共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
3.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边
所对的角()
A.相等B.不相等C.互余或相等D.相等或互补
4.如图,已知:
∠A=∠D=90°,AB=CD,求证:
AC=DB
5.如图,已知:
AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,BF=CE.求证:
AB∥CD
6.如图,已知:
AB=AE,∠B=∠E=90°,AF垂直平分CD,求证:
BC=DE
7.如图,已知:
AD平分∠BAC,DB⊥AB,DF⊥AC于点F,ED=CD,求证:
AC=AE+2BE.
8.已知:
AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F,
求证:
CE=DF
二、直角三角形的性质
1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余(显然)
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2、【定理证明】
已知:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线.
求证:
例1.共斜边型直角三角形
1.如图,△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB与E,连接DE,取BC的中点M,DE的中点N,
问:
MN与DE有什么样的位置关系,并说明理由。
2.如图,△ABC和△ABD是以AB为斜边的直角三角形,如果E、F分别是AB、CD的中点。
问:
EF与CD有什么样的位置关系,并说明理由。
例2.直角三角形性质的逆命题成立
4.已知:
如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上任一点。
求证:
△ACB是直角三角形
4、【推论】
1.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.
含30°的直角三角形边的速算
1.已知:
以下直角三角形中,较小的角是30°,求另外两条边的长。
2.△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,则∠A=____________.
3.△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=3,则b=_________.
含30°的直角三角形性质应用
1.已知:
△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,DA平分∠BAC,BD=2DC.
求证:
(1)∠B=30°;
(2)D在线段AB的垂直平分线上.
2.已知:
如图,△ABD中,∠B=90°,∠BAD=60°,点C是BD上一点,且∠BAC=45°,CD=10,求BC的长。
3.如图,在四边形ABCD中,
,对角线AC与BD
相交于点O,M、N分别是边AC、BD的中点.
(1)求证:
MN⊥BD;
(2)当
,AC=10cm,OB=OM时,求MN的长.
拓展思考
1、已知四边形ABCD是正方形,当点E在BC上,点F在CD
上,AE和BF交于点G且AE=BF。
求证:
AE⊥BF。
2、已知:
如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,
G是垂足.
求证:
(1)G是CE的中点;
(2)∠B=2∠BCE
【回家作业】:
一、填空:
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为_____;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A=___,∠B=___;
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,那么,
与∠B互余的角有____,与∠A互余的角有____,与∠B相等的角有___,
∠A相等的角有_____。
4、在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,
与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB=_________.
5、在直角三角形中,斜边及其中线之和为6,那么该三角形的斜边长为________.
6.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A=25度,那么∠BCD=度.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,AB=4厘米,那么CD=厘米.
8.在△ABC中,∠ACB=90º,∠A=20º,CD与CE分别是斜边AB上的高和中线,∠DCE=_____
二、简答:
1.如图,M是Rt△ABC斜边AB上的中点,D是边BC延长线上一点,∠B=2∠D,AB=16cm,求线段CD的长.
2.已知,如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD⊥BC于D,E为AC的中点,AB=6,求DE的长。
3.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,点F在AC边上,DE与CF平行且相等。
求证:
AE=DF。
4.已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD,BE交AD的延长线于点E,
点F是AB的中点.
求证:
EF∥AC
5.已知:
如图,在△ABC中,CD⊥AB垂足为D,BE⊥AC垂足为E,联结DE,点G、F分别是BC、DE的中点.求证:
GF⊥DE.
6.在△ABC中,AD⊥BC,CE是AB上的中线,BE=CD,DF⊥EC,垂足为F.
求证:
(1)F是EC的中点;
(2)∠B=2∠BCE.
7.已知:
如图△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上任意一点,DE⊥AB于E,M,N分别是BD,CE的中点,求证:
MN⊥CE.
8.
如图,AC、BD相交于点E,且BA=BE,CE=CD,M、N、P分别是AE、DE、BC的中点.求证:
MP=NP.
9.
已知:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,M为AB边的中点,联结ME、MD、ED。
(1)求证:
△MED为等腰三角形;
(2)求证:
∠EMD=2∠DAC.
10.
如图,∠ABC=90°,M为AC的中点,CD∥MB,AD⊥CD,点N在CD上,DN=MB,试说明BD与MN的位置关系.
11.如图,AD是△ABC的∠BAC内部的任意一条射线,BD⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为D、E,M是BC的中点.
求证:
MD=ME
12.已知,如图:
在四边形ABCD中,BD⊥DC,AC⊥AB,E为BC的中点,∠EDA=60°.
求证:
AD=ED.
13.如图,在△ABD中,∠D=90°,点E在AD上,且∠ABE=2∠EBD,AC∥BD.
求证:
EC=2AB.
14.在△ABC中,点D在AC上,且BD⊥AB,∠C=2∠A.
求证:
AD=2BC.
15、已知:
如图29,△ABC为Rt△,∠BAC=90°,AB=AC,D、E是BC上两点(与BC不重合)且∠DAE=45°。
求证:
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- 八年 级数 学理 科班 讲义 教学 几何 证明