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福州份质检文数扫描版
2015年福州市高中毕业班质量检测
文科数学能力测试参考答案及评分细则
一、选择题:
本题共有12个小题,每小题5分,满分60分.
1.A2.A3.C4.D5.D6.C
7.C8.B9.D10.B11.B12.D
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,满分16分.
13.14.15.216.55
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.
17.本小题主要考查三角函数的图象与性质(对称性、周期性、单调性)、二倍角的余弦公式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分12分.
【解析】(Ⅰ)因为,
所以.2分
所以.
因为函数与直线的相邻两个交点之间距离为,
所以,3分
所以,解得4分
所以.
令,5分
解得.6分
所以函数的单调递增区间是.7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,因为,
所以.8分
所以10分
11分
.12分
18.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.满分12分.
【解析】(Ⅰ)计算10名被采访者的综合指标,可得下表:
人员编号
综合指标
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3
1分
由上表可知:
成就感为三级(即)的只有一位,其频率为.3分
用样本的频率估计总体的频率,可估计该群体中成就感等级为三级的人数有.
5分
(Ⅱ)设事件为“从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人,他们的综合指标均为4”.由(Ⅰ)可知成就感是一级的()有:
,共6位,从中随机抽取两人,所有可能的结果为:
,共15种.9分
其中综合指标有:
,共3名,事件发生的所有可能结果为:
,共3种,10分
所以.12分
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.
证明:
(Ⅰ)连结.
因为是长方体,且,
所以四边形是正方形,1分
所以.2分
因为在长方体中,
平面,平面,
所以.4分
因为平面,平面,
且,
所以平面.5分
因为平面,
所以6分
(Ⅱ)点到平面的距离,
的面积,7分
所以.8分
在Rt△中,,所以,9分
同理.又,所以的面积.10分
设三棱锥的高为,则
因为,所以,11分
所以,解得.
即三棱锥的高为12分
20.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.
解:
(Ⅰ)设第年初M的价值为,
依题意,当时,数列是首项为20,公比为的等比数列,
所以.故,,所以.
2分
当时,数列是以为首项,公差为4的等差数列,又,所以.3分
令,得,又因为,所以.4分
因此,第7年初M开始的价值超过原购买的价值.5分
(Ⅱ)设表示前年初M的价值的和,则
由(Ⅰ)知,当时,,①;
7分
当时,由于,故,
.②9分
当时,由①得,,,,所以10分
当时,由②知,,当且仅当,即时等号成立.即.11分
由于,故在第4年初的值最小,其最小值为11.12分
21.本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.
解:
(Ⅰ)因为,所以,1分
由是的极值点,得,2分
解得,3分
此时,经检验,是的极值点.
所以所求的实数的值为0.4分
(Ⅱ)证明:
取时,,此时.6分
构造函数,7分
所以在上恒负,
所以在上单调递减,8分
所以,9分
故在恒成立,说明在上单调递减.10分
所以当时,,又因为,所以,
所以,11分
所以成立.12分
22.本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分14分.
【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,则
2分
解得,3分
所以,4分
所以椭圆的方程为.5分
(Ⅱ)方法一:
依题意得,与坐标轴不垂直.设.因为点与点关于轴对称,所以.由(Ⅰ)讨论可知,.
因为,所以直线与直线的斜率相等,故,7分
解得.8分
又因为点在椭圆上,所以,或.9分
由椭圆对称性,不妨取,则直线的斜率.
所以直线方程为.10分
由得点坐标为.11分
所以,12分
.13分
所以.14分
方法二:
依题意得,与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.
又因为椭圆关于轴对称,所以点也在椭圆上.6分
由消去得.
所以.7分
因为,所以直线的方程为.
由消去得.
因为直线交椭圆于两点,
所以,故.9分
所以,
解得.
所以.11分
所以,12分
.13分
所以.14分
方法三:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.
又因为椭圆关于轴对称,所以点也在椭圆上.6分
由消去得.
所以.7分
因为,所以直线的方程为.
由消去得,.
因为直线交椭圆于两点,
所以,即.9分
设(),则,所以.11分
所以,解得,13分
所以,即.14分
方法四:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.6分
因为三点共线,所以与共线,
所以.7分
因为,所以可设(),即,
所以.8分
所以,即.9分
依题意,,所以.10分
因为点在椭圆上,所以,
解得或.11分
由椭圆对称性,不妨取,则
,因为点在椭圆上,所以,解得或(舍去).13分
所以,即.14分
方法五:
依题意,得与坐标轴不垂直.
设方程为(),.
因为点与点关于轴对称,所以.6分
直线过定点,理由如下:
7分
由消去得.
所以.8分
所以,
.9分
因为,
所以,
所以,11分
所以三点共线,即直线过定点.12分
因为为线段中点,,所以.14分
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