线性代数模试题试题库带答案.docx
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线性代数模试题试题库带答案
第一套线性代数模拟试题解答
一、填空题(每小题4分,共24分)
1、若玄和82383585ja44是五阶行列式中带正号的一项,贝Ui1,j2
令i1,j2,(12354)(13524)134,取正号。
2、若将n阶行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D,则D=
(1)nD
5、A为n阶方阵,AAt
E且A0,则AE
即行列式D的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D=
(1)nD
1
1
1
100
3、设A
则
a100=
。
0
1
0
1
1
1
1
1
1
23
1
2
11
1
3
a2
a3
L可得
0
1
0
1
0
1
0
1
01
0
1
4、设A为
5
阶方
阵,
a
5,
则5A
5n
1
。
由矩阵的行列式运算法则可知:
5A5nA5n1
1,a1,
2
由已知条件:
aAeaataatae1a
而:
aeaaat
aeatAae
6、设三阶方阵a
200
0xy可逆,则x,y应满足条件3x2y。
023
2(3x2y)0
3x2y。
二、单项选择题
(每小题4分,共24分)
a11
a12
a13
2an
2a12
2a13
7、设
a21
a22
a23
M0,则行列式
2a31
2a32
2a33
a
a31
a32
a33
2a21
2a22
2a23
A.
8M
B.2MC.
2M
D.
8M
可逆,则行列式不等于零:
2a11
2a12
2a13
a11
ai2
a13
a11
a12
a13
2a31
2a32
2a33
23
a31
a32
a33
8
(1)
a21
a22
a23
2a21
2a22
2a23
a21
a22
a23
a31
a32
a33
由于
0的必要条件是
Dn
D。
&设n阶行列式Dn,则
9、对任意同阶方阵A,B,下列说法正确的是—C—
“"T、1…1、T
D.(A)(A)
一111由运算法则,就有(A)A
11、设A为n阶方阵,且Aa0,则A
1
2
1
0
12、矩阵3
1
0
2的秩为2,则a=
D
1
a
2
2
o
A.2B.3C.4
1
2
1
0
1
2
10
通过初等变换,由秩为2可得:
3
1
0
2:
0
7
32
1
a
2
2
0
a5
00
三、计算题(每小题7分,共42分)
4
1
1
1
13、计算行列式:
1
4
1
1
1
1
4
1
1
1
1
4
4
1
1
1
7
解:
1
4
1
1
7
1
1
4
1
各列加到第一列上
7
1
1
1
4
7
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
7
0
3
0
0
1
1
4
1
第一行乘-1加到各行上
0
0
3
0
1
1
1
4
0
0
0
3
=7
第二=提7
到外面
3o
3=189
14、计算行列式:
ai00th
0a2b20
0b3a30
b400a4
解:
先按第一行展开,再按第三行展开,有:
a
0
0
b4
00
a2b2
b3a3
00
b
0
0
a4
a2
=印b3
b2
a3
a2
b3
b2
a3
佝比bb4)(a2a3bA)。
15、问取何值时,齐次线性方程组
(1
)X1
2X2
4X3
0
2x-i
(3
)X2
X3
0有非零解。
x
X2
(1
)X3
0
a4
1
2
4
03
4
(1)2
0=
2
3
1
=====
01
1+2
1
1
1
r1
(1)ra
11
1
齐次线性方程组有非零解,则系数行列式为零:
解:
0,
2,3
16、设矩阵
,计算B2
A2(B1A)
解:
因为A
2,B
7,所以都可逆,
B2A2(B1A)1
B2A2A1BB2
AB
(B
A)B
2
o
19
17、解矩阵方程AXB
X,求X,其中
解:
AXBX(AE)X
1
BX(AE)B,
0
23
13
31
(AE)11
23
13
X(AE)1B20
0
13
13
11
o
0
0
解:
所以A不可逆,即A不是满秩矩阵。
第二套线性代数模拟试题解答
因为B可逆,AB相当于对A作列初等变换,不改变A的秩。
4,则t=-4
非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组AXB的3个解是 3。 其中 3,如 4 R(A) 3,则方程组AXB的通解是 0 1k 2 3 1 1。 1 1 因为 R(A)3,所以AX0的基础解系含4-3=1个解向量;又2 都是AX0的解,相加也是AX0的解,从而可得AX0的一个解为: 2 1 0 3 1 1 21312 321 2 4 1 2 5 1 3 0 1 1 1 于是AXB的通解为: Xk 1k 。 2 1 3 1 、单项选择题(每小题4分,共24分) 7、对行列式做—D_种变换不改变行列式的值。 A.互换两行B.非零数乘某一行 C.某行某列互换D.非零数乘某一行加到另外一行 &n阶方阵A,B,C满足ABCE,其中E为单位矩阵,则必有—D—。 A.ACBEB.CBAEC.BACED.BCAE 11 矩阵乘法不满足变换律,而D中ABCEAABCAAEABCAE。 1 2 1 0 9、矩阵3 1 0 2的秩为2,则t= D 1 t1 2 2 A.3 B.4 C.5 1 21 0 1 2 1 0 通过初等变换,由秩为2可得: 3 10 2: 0 7 3 2。 1 t12 2 0t6 0 0 10、若方阵An不可逆,则A的列向量中—C—。 A.必有一个向量为零向量B.必有二个向量对应分量成比例 C.必有一个向量是其余向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵Ann不可逆,则A的列向量线性相关,,由定义可得。 11、若r维向量组1,2m线性相关,为任一r维向量,则一A一。 A.1,2m,线性相关B.1,2m,线性无关 C.1,2m,线性相关性不定D.1,2m中一定有零向量 由相关知识可知,个数少的向量组相关,则个数多的向量组一定相关。 12、若矩阵At5有一个3阶子式为0,则—C_。 A.秩(A)w2B.秩(A)w3C.秩(A)<4D.秩(A)w5 、计算题(每小题7分, 共42分) 由矩阵秩的性质可知: RA45min{4,5},而有一个3阶子式为0,不排除 4阶子式不为0。 13、计算行列式 3 2 1 3 1 16、求矩阵 2 1 3 1 3 的秩, 并找出一个最高阶非零子式。 7 0 5 1 8 3 2 13 1 1 3 44 2 1 3 4 4 2 1 3 4 4 2 解: 2 1 31 3 : 2 1 31 3 0 7 11 9 7: 0 7 11 9 7 7 0 51 8 7 0 51 8 0 21 33 27 22 0 0 0 0 1 R(A) 3, 最高阶非零子式是 1, 2,5 。 2x1 X2 X3 X4 1 17、写出方程组 X1 2x2 X3 X4 2的通解。 X1 X2 2X3 X4 3 2 1 11 1 1 1 21 3 1 0 3 3 4 1 0 0 32 r 1 解: 1 2 11 2 0 1 12 1 : 0 1 1 2 1: 0 1 0 32 1 0 1 1 21 3 0 1 51 5 0 0 6 3 6 0 0 1 12 1 X1 =-3/2 X3 1 3/2 1 X (c R) c 1 0 1 0 32 1/2 1 X2=3.2X3 X3=-1.2X3 因为D,b2,b3相关,所以 b33k1线性相关,求k值。 k22 2 33 3 k 1 31 1k 22 2 3 3 0 1k3 0 1 0 k 1 1k2 0 k 1 0 2 0, 23 0 0 1 1 3 由1,2,3线性无关,得 1,2,3有非零解,故系数行列式 =0,得k 四、证明题(每小题5分,共10分) 19、设A,B为n阶方阵,若AB0,则秩(A)秩(B)n。 证明: 因为线性方程组Ax0,当秩Ar时,基础解系为nr个,由 ABA(bi,b2,,bn)(Abi,Ab2,,Abn)0 则有Abj0(j1,2,,n),即B的列均为Ax0的解,这些列的极大线性无关 组的向量个数wnr,即秩(B)nr,从而秩(A)秩(B)n。 20、如果1,2,3,4线性相关,但其中任意3个向量都线性无关,证明必存在一组全不 为零的数k11k21k31k4,使得k11k22k33k440。 证明: 因为1,2,3,4线性相关,所以存在一组“不全为零”的数k1.k2.k3.k4, 使得k11k22k33k440,如果k10,则 k22k33k440,且由于k2,k3,k4不全为零,所以2,3,4 线性无关,与题设矛盾,所以k10; 同理,可证明k20,k30,k40。 第三套线性代数模拟试题解答 、填空题(每小题4分,共24分) 1、已知三阶行列式D 123 456,州表示它的元素aj的代数余子式,则与 789 aA21bA22叭3对应的三阶行列式为 由行列式按行按列展开定理可得。 由于: 沙(丁姑(扪Ab「 3 0 0 1 0 0 3、A 1 4 0,则(A2E)1= 12 12 0。 0 0 3 0 0 1 由于 3 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 4 0 20 1 0 1 2 0 12 12 0 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4、向量组1(1,2,3), 2 ( 1, 2,1), 3 (2,0,5) 线性 无关。 11 2 1 1 2 1 1 2 因为: 22 0 0 0 4 0 4 1 0。 31 5 0 4 1 0 0 4 5、设6阶方阵A的秩为5, 是非齐次线性方程组Axb的两个不相等的解,则 Axb的通解为Xk 、单项选择题(每小题4分,共24分) a11 a12 a13 a21a22a23 0 1 0 7、A a21 a22 a23 B a11a12厲3,P 1 0 0 a31 a32 a33 a31a11a32a12a33a13 0 0 1 1 0 0 P2 0 1 0 则D_ 。 1 0 1 对A作行变换,先作P2,将第一行加到第三行上,再作R,交换一二行。 &n元齐次线性方程组AX0有非零解的充分必要条件是_B—。 A.R(A)nb.R(A)nc.R(A)nd.R(A)n 齐次线性方程组AX0有非零解的定理。 9、已知mn矩阵A的秩为n1,1,2是齐次线性方程组AX0的两个不同的解,k为任意常数,则方程组AX0的通解为_D_。 A.k1B.k2C.k(12)D.k(12) 基础解系只含一个解向量,但必须不等于零,只有D可保证不等于零。 10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是_B_。 A.秩(人)=秩(B)B.A=BC.ABD.A与B有相同的特征值 相似不是相等。 11、若n阶方阵A的两个不同的特征值1,2所对应的特征向量分别是x1和x2,则_B_。 A.X1和X2线性相关B.X1和X2线性无关 C.x-i和x2正交D.x-i和x2的内积等于零 特征值,特征向量的定理保证。 12、n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的—C—条件。 A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。 三、计算题(每小题7分,共42分) 201 13、设A与B均为3阶方阵,E为3阶单位矩阵,ABEAB,且A020; 101 求B。 解: 因为AB+E=A? +B(AE)B(AE)(AE) 1 1 2 0 1 1 2 0 当k(k3)0时方程组r(A)r(B),当k0时1 2 0 0〜 -0 1 2 0 2 1 0 0 0 0 2 0 这时方程组只有零解。 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 当k3时,1 2 3 9〜 0 1 5 6 〜0 1 5 6这时方程组有无 2 1 9 0 0 1 5 6 0 0 0 0 2101 0210 1011 1 0 1 0 1 0, AE 1,AE可逆 1 0 0 穷多解。 量 畫用该极大无关组线性表示。 解: R(1,2,3,4,5)3,1,2,3为个极大无关组, 21110 431323,5313203 计算该向量组的秩, 01 0 0 16、设矩阵A1 0 0 0 的一个特征值为 3,求y。 00 y 1 00 1 2 3 1 0 0 解: |A3E| 1 3 0 0 8(2 y)0, y2. 0 0 y 31 0 0 1 1 1 1 0 17、计算矩阵4 3 0 的特征值与特征向量。 1 0 2 1 1 0 解: |AE| 4 3 0 (2) (1)(3 )4 (2) (1)2, 1 0 2 所以得: 特征值 1 2 1,解方程组 AEX 0, 只得一个对应特征向量为: T 1,2,1 18、当t为何值时, f (X1 ,X2 X3) xj4〉 1 t 1 解: f t 4 2 1 2 4 1t 1 1 t 1 t4 2 0 4 t22t 12 4 0 2 t3 解不等式: 4 t2 0 (2t) 四、证明题(每小题 5 分, 共 10 分) 19、设向量b能由 1, 2 3这 文三 个向量线性 32,解方程组A2E 性无关。 X0,可得特征向量为 0,0,1T。 24xf 2tx1x22x1x3 4X2X3为正定二 : 次型 1C 1t ); t4 4t20; 12 3t2 (2t)2 2(2t)(1t) 0 1t) 0 2 t 1。 ; 证明: 向量组1,2,3线 33,结合 (1)式得 但12a23a3= (1),由已知设b112 (2) b0b(11)a1(22)a2(33)a3 由于 3不完全为零,则11,22, 3必与 3不同, 样b已有两种表示,与表示法惟一相矛盾,证毕。 20、设 3是n阶方阵A的3个特征向量,它们的特征值不相等,记 证明不是A的特征向量。 证明: 假设A 又: 从而: 0,由于特征值各不相等,所以 3线性无关, 所以的 123,矛盾。 一、填空题。 (每小题5分,共30分) a12a13a14 1a31 a22a23a24 1、在四阶行列式中,包含因子 a31的项是 a42a43a44 2x312 xx01 4 2、设fX ,则x项的系数为 8 21x4 x214x 1 2 3 O 已知 1,2, 4是线性无关的4维向量, 1? 2>3? k11k22k33 k44|k1,k2,k3,k4R,则V是 维向量空间。 4、已知阶3方阵A的3个特征值分别为1,2,3,贝UA 11 5、若x是方阵A的特征向量,那么Px是方阵p1AP的特征向量。 6、线性方程组XiX2X3X4X5X60的基础解系含有5个解向量。 二、选择题。 (每小题5分,共30分) 1、设A,B为n阶方阵,满足AB0,则C。 AAB0,BAB0,CA0或B0,DABO。 21 2、已知A为n阶方阵,且满足关系式A3A4E0,贝UAE___________o 1cL1A1 AAE,BEA,CEA,DA4E。 22 3、A为3阶可逆方阵,且各列元素之和均为2,则Ao AA必有特征值2,BA1必有特征值2,CA必有特征值2, 1 DA必有特征值2o 1、设可由1,2,s线性表出,但不能由向量组: 1,2,s1线性 DA的列向量组线性相关。 表出,记向量组: 1,2,s1,,贝UsBo A 不能由 ,也不能由线性表出,B 不能由,但能由 线性表出, C 能由 ,也能由线性表出,D 能由,但不能 线性表出。 6、 设A为m n的非零矩阵,方程Ax0存在非零解的充分必要条件是 D____ AA的行向量组线性无关, BA的行向量组线性相关, 5 0 0 三、 已知 A 0 1 2 1 ,求Ao(10分) 0 3 1 解: A11 O A ---3 O A22 1 1 5 1 5 CA的列向量组线性无关, 解: 对增广矩阵作初等行变换如下 BAb 保留方程组为: xyz 1 1 1 1 原方程组通解为: XC1 1 C20 010 0 1 0 b- b- 五、已知向量 1,0,1 2,2,0 ,3,5,2, (10分) —»! ■ ►>_b-
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