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高三数学试题(理科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)
→
1.已知复平面内的平行四边形ABCD中,定点A对应的复数为i(i是虚数单位),向量BC对应的复数为2+i,则点D对应的复数为()
A.2B.2+2iC.-2D.-2-2i
2.在判断两个变量y与x是否相关时,选择了4个不同的模型,它们的相关指数分别为:
模型1的相关指数为0.98,模型2的相关指数为0.80,模型3的相关指数为0.50,模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是().
A.模型1B.模型2C.模型3D.模型4
3.设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a-b=()
A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4
4.若方程x3-3x+m=0在[0,2]上有解,则实数m的取值范围是()
A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)5.已知圆上9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有()
A.36个B.72个C.63个D.126个
6.函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是()A.a<0B.a>0C.a<-1D.a<1
7.若(n∈N*),且,则()
A.81B.16C.8D.1
8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1))
,已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()
A.
B.
C.
D.
9.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是()
A.
B.
C.
D.
10.已知x与y之间的几组数据如表:
假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为
则以下结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
11.某人射击一发子弹的命中率为0.8,现在他射击19发子弹,理论和实践都表明,在这19发子弹中
命中目标的子弹数X的概率满足P(X=k)=(k=0,1,2,…,19),则他射完19发子弹后,击中目标的子弹最可能是()
A.14发B.15发C.16发D.15发或16发
12.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若a+b+c=0,导函数f′(x)满足f′(0)f′
(1)>0,设f′(x)=0的两根为x1,x2,则|x1-x2|的取值范围是()
⎡32⎫⎡1,4⎤
⎡13⎫
⎡11⎫
A.⎣⎢3,3⎭B.⎢⎣3⎥9⎦C.⎢⎣,33⎭
,
D.⎣93⎭
第II卷非选择题
二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)
13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:
分钟)X~N(50,),
则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为.14.如图
(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;若类比该命题,如图
(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有.
15.
设M=,则M与1的大小关系是.
16.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M={-1,0,,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题共12分)已知一元二次方程x2-ax+1=0(a∈R).
3+i
(1)若x=44是方程的根,求a的值;
(2)若x1,x2是方程两个虚根,且|x1-1|>|x2|,求a的取值范围.
18.
(本小题共12分)随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人
,其中男性占调查人数的
的休闲方式是运动,而女
运动.
(1)完成如图2×2列联表:
.已知男性中有一半的人
性只有
的人的休闲方式是
(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“休闲方式有关与性别”,那么本次被调查的人数至少有多少?
(3)根据
(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动?
参考公式:
=,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
19.若n为正整数,试比较3·2n-1与n2+3的大小,分别取n=1,2,3,4,5加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.
20.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳
.各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标
准差为
.
(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率.
21.已知函数f(x)=(ax-x2)ex.
(1)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1]上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数?
若是,求出a的取值范围,若不是,说明理由.
22.设函数f(x)=|x-a|+x.
(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.
答案解析
1.B2.A3.C4.A
5.D【解析】此题可化归为:
圆上9个点可组成多少个四边形,每个四边形的对角线的交点即为所求
,所以,交点有=126(个)6.C7.A8.D9.C10.C
11.
D【解析】由
≥
且≥
,解得15≤k≤16,即P(X=15)=P(X=16)最大
12.A【解析】由题意得f′(x)=3ax2+2bx+c,∵x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,
24𝑏2‒12𝑎𝑐
∴x1+x2=-3𝑎,x1·x2=3𝑎,∴|x1-x2|2=(x+x2)2-4x1·x2=92.
4𝑏2‒12𝑎𝑐444
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,∴|x1-x2|2=92=9(𝑎)2+3·𝑎+3.
∵f′(0)·f′
(1)>0,f′(0)=c=-(a+b),且f′
(1)=3a+2b+c=2a+b,∴(a+b)(2a+b)<0,
即2a2+3ab+b2<0,∵a≠0,两边同除以a2,得(𝑎)2+3𝑎+2<0,解得-2<𝑎<-1.
314
由二次函数的性质可得,当=-2时,|x1-x2|2有最小值为3,当趋于-1时,|x1-x2|2趋于9,
1432
故|x1-x2|2∈[3,9),故|x1-x2|∈[3,3).
2
13.0.954414.△𝐴𝐵𝐶=S△BCM·S△BCD
15.【答案】M<1
【解析】∴M==1.
16.【答案】15
【解析】具有伙伴关系的元素组有-1;1;
,2;
,3;共4组,所以集合M的所有非空子集中
,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、
四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为+++=15.
17.解
(1)已知一元二次方程x2-ax+1=0(a∈R),
3737
若x=4+4i是方程的根,则x=4-4i也是方程的根.
33
(4+4i)+(4-4i)=a,解得a=2.
(2)x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个虚根,不妨设x1=2
,
,x2=2,a∈(-2,2)
|x-1|>|x|,∴(2-1)2+(-2
)2>
(2)2+
(2)2,
∴a<1.综上,-2<a<1.
18.
【解】
(1)依题意,被调查的男性人数为,其中有人的休闲方式是运动;被调查的女性人数为
,其中有
人的休闲方式是运动,则2×2列联表如图。
(2)
由表中数据,得=,要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“性别与休闲方式有关”,则≥3.841,∴
≥3.841,解得n≥138.276.又n∈N*且∈N*,∴n≥140,即本次被调查的人数至少是140.
(3)由
(2)可知,140×
=56,即本次被调查的人中,至少有56人的休闲方式是运动.
19.解
当n=1时,3·2n-1<n2+3;n=2时,3·2n-1<n2+3;n=3时,3·2n-1=n2+3;n=4时,3·2n-1
>n2+3;n=5时,3·2n-1>n2+3;猜想:
当n≥4且n∈N*时,3·2n-1>n2+3.证明:
当n=4时,3·2n-1>n2+3成立,
假设当n=k(k≥4且k∈N*)时,3·2k-1>k2+3成立,
则当n=k+1时,左式=3·2k=2·3·2k-1>2(k2+3),右式=(k+1)2+3,因为2(k2+3)-[(k+1)2+3]=k2-2k+2=(k-1)2+1>0,
所以,左式>右式,即当n=k+1时,猜想也成立.综上所述,当n≥4且n∈N*时,3·2n-1>n2+3成立.
20.
【解】由题意知,ξ服从二项分布B(n,p),P(ξ=k)=,k=0,1,…,n.
(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=
,从而n=6,p=
.
ξ的分布列为
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),
得P(A)=,或P(A)=1-P(ξ>3)=1-=.
所以需要补种沙柳的概率为
.
21.【解】
(1)当a=2时,f(x)=(2x-x2)ex.f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex,令f′(x)≤0,即2-x2≤0,解得x≤-2或x≥2,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-
(2)函数f(x)在(-1,1]上单调递增,所以f′(x)≥0,对于x∈(-1,1]都成立,
2)和(2,+∞).
即f′(x)=[a+(a-2)x-x2]ex≥0,对于x∈(-1,1]都成立,
2+21
故有a≥𝑥+1=x+1-𝑥+1,
11
令g(x)=x+1-𝑥+1,则g′(x)=1+(𝑥+1)2>0,
3
故g(x)在(-1,1]上单调递增,g(x)max=g
(1)=2,
3
所以a的取值范围是[2,+∞).
(3)假设f(x)为R的上单调函数,则为R的上单调递增函数或单调递减函数.
①若函数f(x)为R上单调递增函数,则f′(x)≥0,对于x∈R都成立,即
[a+(a-2)x-x2]ex≥0恒成立.
由ex>0,x2-(a-2)x-a≤0对于x∈R都恒成立,由h(x)=x2-(a-2)x-a是开口向上的抛物线,则h(x)≤0不可能恒成立,
所以f(x)不可能为R上的单调增函数.
②若函数f(x)为R上单调递减函数,则f′(x)≤0,对于x∈R都成立,即
[a+(a-2)x-x2]ex≤0恒成立,
由ex>0,x2-(a-2)x-a≥0对于x∈R都恒成立,
故由Δ=(a-2)2+4a≤0,整理得a2+4≤0,显然不成立,所以,f(x)不能为R上的单调递减函数.
综上,可知函数f(x)不可能为R上的单调函数.
22.【答案】
(1)f(x)的值域为[2,+∞).
(2)a>1或a<-3.
【解析】
(1)由题意得,当a=2时,
∵f(x)在(2,+∞)上单调递增,
∴f(x)的值域为[2,+∞).
(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,有|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min
>2.
而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,
∴|1+a|>2,解得a>1或a<-3.
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