全国初中数学竞赛试题及答案.docx
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全国初中数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试题
题号
一
二
三
总分
1~5
6~10
11
12
13
14
得分
评卷人
复查人
答题时注意:
1.用圆珠笔或钢笔作答;
2.解答书写时不要超过装订线;
3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1(甲).如果实数,,在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为().
A.
B.
C.
D.
1(乙).如果,那么的值为().
A.B.C.2D.
2(甲).如果正比例函数与反比例函数的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为,那么另一个交点的坐标为().
A.B.C.D.
2(乙).在平面直角坐标系中,满足不等式的整数点坐标的个数为().
A.10B.9C.7D.5
3(甲).如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().
A.1B.C.D.
3(乙).如图,四边形中,、是对角线,是等边三角形.,,,则的长为().
A.B.4C.D.4.5
4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:
"你若给我2元,我的钱数将是你的倍";小玲对小倩说:
"你若给我元,我的钱数将是你的2倍",其中为正整数,则的可能值的个数是().
A.1B.2C.3D.4
4(乙).如果关于的方程是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是().
A.5B.6C.7D.8
5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,则中最大的是().
A.B.C.D.
5(乙).黑板上写有共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是().
A.2012B.101C.100D.99
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6(甲).按如图的程序进行操作,规定:
程序运行从"输入一个值x"到"结果是否"为一次操作.如果操作进行四次才停止,那么的取值范围是.
6(乙).如果,,是正数,且满足,,那么的值为.
7(甲).如图,正方形的边长为2,、分别是、的中点,与、分别交于点、,则的面积是.
7(乙).如图,的半径为20,是上一点。
以为对角线作矩形,且.延长,与分别交于两点,则的值等于.
8(甲).如果关于的方程的两个实数根分别为,,那么的值为.
8(乙).设为整数,且.若能被5整除,则所有的个数为.
9(甲).2位八年级同学和位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:
每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则的值为.
9(乙).如果正数,,可以是一个三角形的三边长,那么称是三角形数.若和均为三角形数,且,则的取值范围是.
10(甲).如图,四边形内接于,是直径,.分别延长,,交点为.作,并与的延长线交于点.若,,则的长为.
10(乙).已知是偶数,且.若有唯一的正整数对使得成立,则这样的的个数为.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11(甲).已知二次函数,当时,恒有;关于的方程的两个实数根的倒数和小于.求的取值范围.
11(乙).如图,在平面直角坐标系中,,,.
与轴交于点,且.已知经过,,三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
12(甲).如图,的直径为,过点,且与内切于点.为上的点,与交于点,且.点在上,且,BE的延长线与交于点,求证:
.
12(乙).如图,的内接四边形中,,是它的对角线,的中点是的内心.求证:
(1)是的外接圆的切线;
(2).
13(甲).已知整数,满足:
是素数,且是完全平方数.
当时,求的最小值.
13(乙).凸边形中最多有多少个内角等于?
并说明理由.
14(甲).求所有正整数,使得存在正整数,满足,且.
14(乙).将任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数(可以相同)使得,求的最小值.
中国教育学会中学数学教学专业委员会
2012年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1(甲).C
解:
由实数,,在数轴上的位置可知
,且,
所以.
1(乙).B
解:
.
2(甲).D
解:
由题设知,,,所以.
解方程组得
所以另一个交点的坐标为.
注:
利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为.
2(乙).B
解:
由题设,得.
因为均为整数,所以有
解得
以上共计9对.
3(甲).D
解:
由题设知,,所以这四个数据的平均数为
,
中位数为,
于是.
3(乙).B
解:
如图,以为边作等边,连接.
由于,,
,
所以,.
又因为,所以.
在中,
于是,所以.
4(甲).D
解:
设小倩所有的钱数为元、小玲所有的钱数为元,均为非负整数.由题设可得
消去得,
.
因为为正整数,所以的值分别为1,3,5,15,所以的值只能为4,5,6,11.从而的值分别为8,3,2,1;的值分别为14,7,6,7.
4(乙).C
解:
由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为,故方程的根为一正一负.由二次函数的图象知,当时,,所以,即.由于都是正整数,所以,;或,,此时都有.于是共有7组符合题意.
5(甲).D
解:
掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大.
5(乙).C
解:
因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则
,
解得,.
二、填空题
6(甲).
解:
前四次操作的结果分别为
,,,
由已知得
解得.
容易验证,当时,,故的取值范围是
.
6(乙).7
解:
由已知可得
.
7(甲).8
解:
连接,记正方形的边长为2.由题设易知,所以
,
由此得,所以.
在中,因为,所以
,
于是.
由题设可知,所以,
.
于是,
,
.
又,所以.
因为,所以.
7(乙).
解:
如图,设的中点为,连接,则.因为,所以
,
.
所以.
8(甲).
解:
根据题意,关于的方程有
,
由此得.
又,所以,从而.此时方程为,解得.
故.
8(乙).1610
解:
因为==.
当被5除余数是1或4时,或能被5整除,则能被5整除;
当被5除余数是2或3时,能被5整除,则能被5整除;
当被5除余数是0时,不能被5整除.
所以符合题设要求的所有的个数为.
9(甲).8
解:
设平局数为,胜(负)局数为,由题设知
,
由此得.
又,所以.于是
,
,
由此得,或.
当时,;当时,,,不合题设.
故.
9(乙).
解:
由题设得
所以,
即.
整理得
,
由二次函数的图象及其性质,得.
又因为,所以.
10(甲).
解:
如图,连接,,.
由是的直径知.
依题设,四边形是
的内接四边形,所以
,
所以,因此.
因为是的半径,,所以垂直平分,,
于是.因此
.
由,知.因为,
所以,,故
.
10(乙).12
解:
由已知有,且为偶数,所以同为偶数,于是是4的倍数.设,则.
(Ⅰ)若,可得,与是正整数矛盾.
(Ⅱ)若至少有两个不同的素因数,则至少有两个正整数对满足;若恰是一个素数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对满足.
(Ⅲ)若是素数,或恰是一个素数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对满足.
因为有唯一正整数对,所以m的可能值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有12个.
三、解答题
11(甲).解:
因为当时,恒有,所以
,
即,所以.
............(5分)
当时,;当时,,即
,
且,
解得.
............(10分)
设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得
.
因为,所以
,
解得,或.
因此.
............(20分)
11(乙).解:
因为,,所以
由勾股定理,得.
易知,因此.
于是,,.
设点的坐标为,由,得.所以
,
,
解得.
因此为的中点,点的坐标为.
............(10分)
因此,分别为,的两条中线,点为的重心,所以点的坐标为.
设经过,,三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.将点的坐标代入,解得.
故经过,,三点的抛物线对应的二次函数的解析式为
.
............(20分)
12(甲).证明:
连接,因为为的直径,所以.又因为,所以是等腰三角形.
............(5分)
设与交于点,连接,则.又因为,所以
.
............(15分)
又因为分别是等腰△,等腰△的顶角,所以
.
............(20分)
12(乙).证明:
(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
所以.
同理,.
故点是的外心.
连接,,因为是的中点,且,
所以,即.
故是外接圆的切线.
............(10分)
(2)如图,过点作于点,设与交于点.
由,知.
因为,,所以
,
所以.
又因为是的内心,所以
.
故.
............(20分)
13(甲).解:
设(是素数),(是正整数).
因为,
所以,
............(5分)
因为与都是正整数,且(为素数),所以
,.
解得,.
于是.
............(10分)
又,即.
又因为是素数,解得.此时,.
当时,,,.
因此,的最小值为2025.
............(20分)
13(乙).解:
假设凸边形中有个内角等于,则不等于的内角有个.
(1)若,由,得,正十二边形的12个内角都等于;
............(5分)
(2)若,且,由,可得,即.
当时,存在凸边形,其中的11个内角等于,其余个内角都等于,.
............(10分)
(3)若,且.
当时,设另一个角等于.存在凸边形,其中的个内角等于,另一个内角.
由可得;由可得,且.
............(15分)
(4)若,且,由(3)可知.当时,存在凸边形,其中个内角等于,另两个内角都等于.
综上,当时,的最大值为12;当时,的最大值为11;
当时,的最大值为;当时,的最大值为.
............(20分)
14(甲).解:
由于都是正整数,且,所以
,,...,.
于是.
............(10分)
当时,令,则
.
............(15分)
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